Approximations Fourier et Polynômiales.

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1 Approximations Fourier et Polynômiales.
1. Génération d’une base fonctionnelle orthogonale la base Fourier modes propres du problème de Sturm-Liouville procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt et évaluation des polynômes de Legendre et Chebyshev. 2. Approximation L2 continue (Fourier et Chebyshev). 3. Vers le discret : notions de quadrature 4. Approximation L2 discrète. .

2 1. Génération d’une base fonctionnelle orthogonale
La base Fourier : Voyons ce qui se passe pour des polynômes… Construisons des bases polynômiales orthogonales.

3 Bases construites à partir du problème de Sturm-Liouville :
Il se définit sur [a,b] par :

4 Cas particuliers : Fonctions de Bessel Polynômes de Legendre Polynômes de Hermite Polynômes de Laguerre Polynômes de Chebyshev sympa, mais nécessite de bons pré-requis mathématiques : adoptons une démarche plus pédestre.

5 Générer une base polynômiale orthogonale : le procédé d’orthogonalisation
de Gram-Schmidt. Soit un produit scalaire ( , ) et une norme 2 associée définis par une fonction de pondération w(x). Algorithme itératif : On choisit le polynôme xn que l’on rend orthogonal à l’ensemble des fonctions de degré inférieur. Procédé sûr, mais difficile à mettre en œuvre.

6 Utilisation d’une relation de récurrence à 3 termes
Tout ensemble de polynômes orthogonaux vérifie le relation de récurrence à trois termes : L’utilisation de fonctions de pondération définit la famille des polynômes de Jacobi… dont les deux qui nous intéressent

7 Le produit scalaire donne :

8 Le produit scalaire donne :

9 2. Approximations L2 continues.
Fourier complexe : Le « continu » désigne la prise en compte de f(x) comme une fonction continue et non discrète. N est la troncature de l’approximation.

10 Fourier réelle : Chebyshev Ecrire la décomposition Legendre…

11 Convergence des spectres (illustration en Fourier complexe).
Si f présente une discontinuité en x0 et/ou n’est pas périodique alors le spectre décroit en 1/n. Sinon, il décroit comme 1/n fois le spectre de la dérivée première de f.

12 En supposant la périodicité et la continuité des dérivées successives de f
jusqu’à un degré a de dérivation, le même calcul implique que le spectre décroitra comme 1/na+1.. Si f et toutes ses dérivées sont continues et périodiques sur I, alors le spectre convergera plus vite que n’importe quelle puissance de 1/n, soit une convergence exponentielle. L’erreur d’approximation décroitra donc aussi exponentiellement avec n. Sinon, des erreurs apparaissent sous forme d’oscillations localisées : c’est le phénomène de Gibbs. En Chebyshev, le même phénomène est observé, mais la fonction f n’a plus besoin d’être périodique pour assurer la convergence.

13 3. Notions de quadrature Les produits scalaires nous imposent d’évaluer numériquement des intégrales d’une fonction f, qu’à priori nous ne connaîtrons pas.analytiquement. Voyons comment relier ces intégrales à la connaissance de la fonction f en un nombre donné de points.

14 On impose l’exactitude de la quadrature en imposant que l’intégration
soir exacte sur une base de polynômes de degré le plus grand possible. Pour chaque fonction f de cette base, on impose : Le problème est à 2n+2 inconnues Wp et xp, on peut donc imposer l’exactitude pour 2n+2 fonctions de base f, soit sur un espace polynômial P2n+1. Le points obtenus en optimisant la quadrature seront utilisés pour définir le polynôme d’interpolation de Lagrange représentant la fonction f.

15 Quadrature de Gauss Quadrature de Gauss-Radau Quadrature de Gauss-Lobatto

16 Différences sur les points : incluent ou non les points de bord.
En utilisant la base Chebyshev : Différences sur les points : incluent ou non les points de bord.

17 Produits scalaires discrets :
Pseudo-spectre : Le produit scalaire discret n’est qu’une approximation, uniquement exacte sur un espace polynômial restreint. Les fonctions de base ne sont donc pas tout à fait orthogonales aux fonctions de base tronquées.

18 Le spectre discret d’une approximation optimale évoluera
L’aliasing Le produit scalaire discret n’est qu’une approximation, uniquement exacte sur un espace polynômial restreint. Les fonctions de base ne sont donc pas tout à fait orthogonales aux fonctions de base tronquées. Le spectre discret d’une approximation optimale évoluera avec le degré de l’approximation polynômiale effectuée.

19 Approximation L2 discrète en Chebyshev Gauss-Lobatto

20 Un premier outil numérique !
Relation de passage Physique-Spectral On peut aussi utiliser l’inverse numérique de la matrice de passage spectral-physique : légèrement moins précis.

21 Approximation L2 discrète en Chebyshev Gauss-Radau
En imposant le point de gauche en -1

22 En imposant le point de droite en 1

23 Observation de pseudo-spectres Chebyshev sous matlab.