Activité maximale Très forte activité Activité réduite De gauche à droite ou de droite à gauche ? Du simple au complexe ou en simplifiant le complexe.

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4 Activité maximale Très forte activité Activité réduite De gauche à droite ou de droite à gauche ? Du simple au complexe ou en simplifiant le complexe ?

5 Activité maximale Activité forte Activité réduite Complexe Forte concentration Automatisme 1 ère heure Tétris Après entraînement 1 ère leçon en auto Un peu plus tard Maintenant ?

6 Cerveau de l’analogie Compréhension du contexte Synthèse : sous forme de perception globale Créativité Autonomie Humour Transfert Très lié à la culture À quoi ça sert ? Quand ? Pour quoi ? Exemple : blanc comme … plusieurs possibilités Premières étapes de la résolution de problèmes : 1.Percevoir globalement le problème; 2.Imaginer des voies de solution Activité maximale. Kirk

7 Cerveau logique Raisonnement Analyse Conflit cognitif (Déficiences neurologiques) Preuve Confiance en soi, comme conséquence. Pourquoi ça fonctionne? Explications et démonstrations Exemple : Si a < b et si b < c alors a < c. 3 e, 4 e et 5e étapes de la résolution d’un problème : 3. Analyser les idées de solutions et les données; 4. Construire la solution; 5. Valider la solution. Spock

8 Cerveau de l’efficacité Connaissances et automatismes A: Communication efficace Connaissances de la terminologie, du symbolisme. Comment l’exprime-t-on ? Dernière étape de la résolution d’un problème. B: Techniques efficaces Algorithmes variés. Tables. Trucs de calcul efficace. Comment le fait-on ? Accessoire lors de la résolution d’un problème. La mère de Toto. R2D2

9 Normal Déficient L’individu qui souffre d’une déficience intellectuelle est incapable de réduire l’activité de son cerveau. Par contre, il semble y avoir un rapport entre un QI élevé et la capacité à réduire rapidement l’activité de son cerveau.

10 Comparaison : normal vs déficient

11 1$ ÷ ½ =

12 1$ ÷ ½ = ??? 50 ¢ ??? 2$ ??? 2(tout court) ??? 2 fois 50¢ bref 1$ !!!

13 Technique plutôt connue … 1$ ÷ ½ … on fait pas ça !!! On garde 1$ On remplace ÷ par × … Pourquoi? Chut! On obtient donc 1$ × … On remplace ½ par 2 Ah oui! Pou …Chut! On obtient 1$ × 2 = 2$

14 Technique du «poussage» de la virgule 1$ ÷ ½ peut être remplacé par 1$ ÷ 0,5 Que l’on calcule comme suit : 1$ |0,5 Il faut faire tomber la virgule en bas du plateau. On pousse fort les virgules vers la droite : 10$ | 5 Et nous trouvons que 10$ ÷ 5 = 2$ donc 1$ ÷ ½ = 2$

15 Combien de divisions de fractions par ½ faut-il faire pour comprendre à quoi 1$ ÷ ½ est égal ?

16 Automatismes vs compréhension La maîtrise d’automatismes, la multiplication d’exercices (drill), la mémorisation ne développent pas la compréhension. Elles court-circuitent les fonctions logiques et analogiques du cerveau.

17 Comment définir la division?

18 La division est : Un partage ? Une mesure ? Une soustraction répétée ?

19 Perte de sens D’abord, avec les naturels : Diviser c’est partager : 6$ ÷ 2 = 3$ Diviser c’est mesurer : 6$ ÷ 2$ = 3 Ensuite, avec les fractions : Diviser c’est mesurer : 6$ ÷ ½$ = 12 Ensuite, avec les relatifs : …Une abstraction

20 Égal ou non ? 4$ 2$ 2 1

21 Vérification de l’égalité (1) Simplification 4$ ÷ 2 2$ 2 ÷ 2 1 Produit croisé 4$ × 1 = 2$ × 2 Division 4$ ÷ 2 = 2$ ÷ 1

22 Vérification de l’égalité (2) Simplification 4$ ÷ 2 = 2$ 2 ÷ 2 = 1 2$ ÷ 2 = 1$ 1 ÷ 2 = ½ Donc 4$ ÷ 2 = 1$ ÷ ½ = 2$

23 Vérification de l’égalité (3) Produit croisé : 4$ 1$ 2 ½ D’où 4$ × ½ = 2 × 1$ = 2$ Donc 1$ ÷ ½ = 2$

24 Opération inverse Si 6$ × 2 = 12$ alors 12$ ÷ 2 = 6$ Si 2$ × ½ = 1$ alors 1$ ÷ ½ = 2$ C.Q.F.D. Avez-vous compris ? Si c’est le cas vous pouvez donner des exemples courants de la division par ½.

25 Le raisonnement ne conduit pas à comprendre La preuve mathématique peut être réalisée hors de tout contexte. Pour cette raison, elle est indépendante de la compréhension, laquelle associe les mathématiques avec l’environnement. Un ordinateur fonctionne logiquement, mais il ne comprend rien. La logique est l’outil de la preuve, non de la compréhension.

26 Pour comprendre, le cerveau doit être placé en état analogique Jusqu’à maintenant, le mode efficacité a été sollicité, mais la maîtrise de toutes les techniques de calcul possibles ne conduit pas à la compréhension. Le mode logique a été sollicité, puisque la preuve est plus évidente lorsqu’elle est dépouillée de tout contexte. La compréhension ne peut en découler.

27 Qu’est-ce qui empêche notre cerveau de se placer en mode analogique ? Le problème qui lui est posé. La perception du travail qu’on lui demande de faire. Des automatismes fortement implantés qui court-circuitent la pensée.

28 Nous pouvons décider Lorsqu’on présente aux élèves une situation-problème qu’ils ne relient à aucun automatisme ou à aucune connaissance antérieure, leur cerveau se met en état analogique, c’est-à-dire qu’il essaie de se faire une idée globale du contexte, des données et de ce qui est recherché.

29 Une situation-problème non-reliée à «du vécu» diminue les écarts entre les élèves, pouvant même les faire disparaître.

30 Est-ce que nous comprenons tous à la même vitesse ? Pensez à une histoire drôle. Pensez à ce petit, ou grand, «Ah!» que vous lancez lorsque vous avez compris. La compréhension apparaît à la vitesse de l’éclair. Nous comprenons ou nous ne comprenons pas.

31 Tout le monde ne comprend pas au même moment C’est la période avant que jaillisse l’éclair de la compréhension qui varie. Nous comprenons tous à la vitesse de l’éclair, mais suite à des indices différents.

32 Modes d’appropriation Ce ne sont pas les mêmes indices qui permettent, par exemple, à l’auditif et au visuel de comprendre. Les élèves kinesthésiques ont besoin de matériel afin de comprendre. Les priver de matériel, c’est leur refuser d’accéder naturellement à la compréhension.

33 Modes d’appropriation Une histoire donnée, un problème précis peuvent, de par leur présentation, être plus faciles à comprendre pour un auditif que pour un visuel, ou inversement. Idéalement, tout problème doit être présenté au moyen de matériel et d’un énoncé oral ou écrit. De cette façon, on augmente les chances de toucher tous les élèves.

34 Plus fort que les modes d’appropriation Un visuel réagira en visuel dans une situation nouvelle, mais il réagira comme un auditif s’il a des raisons de croire que c’est ce qu’on attend de lui. Auditifs et kinesthésiques réagissent de la même manière. Plus fort que nos talents et que nos modes normaux d’appropriation, il y a nos perceptions.

35 Lors de la présentation d’un problème, il y a donc lieu : de s’assurer que les élèves perçoivent bien ce qui est attendu d’eux. Cela permet d’éviter qu’après une bonne demi-heure d’essais infructueux, l’élève s’écrie : «Ah! C’est cela que tu voulais dire!».

36 Plus fort que nos perceptions Pensez à ces élèves incapables de continuer de travailler lorsqu’on leur annonce qu’il ne reste plus que dix minutes avant la fin d’un examen. Pensez à ceux qui sont incapables de travailler lorsque nous les observons. Pensez à ceux qui perdent une bonne partie de leurs moyens lorsqu’ils doivent parler devant leurs camarades.

37 L’obstacle le plus puissant : nos émotions. Passez près d’un élève et pointez une de ses réponses. Si ses émotions le dominent, il en dira une autre qu’il changera s’il ne perçoit pas de votre part un signe approbateur. Inutile de lui demander de réfléchir, il ne le peut plus. Sa seule préoccupation est de trouver la réponse qui vous éloignera.

38 D’abord et avant tout, neutralisez les émotions. En faisant régulièrement des erreurs vous- même. En réagissant avec humour. En annonçant à vos élèves que le problème qu’ils tentent de résoudre est difficile pour des élèves plus âgés, même pour des adultes. Défiez les élèves, évitez de les menacer.

39 Faites des erreurs Les élèves vont tous faire des erreurs. Si, devant eux, ils ont comme modèles des personnes qui n’en font jamais, ils ne peuvent apprendre comment gérer leurs erreurs. De cette façon vous dédramatisez l’erreur, vous rendez plus acceptable pour eux de prendre des risques lors de leurs tentatives en vue de solutionner un problème. Et si vous faites plus d’erreurs qu’eux, ils cesseront de s’en faire pour leur avenir en se promettant de devenir enseignant.

40 Amusez-vous! L’humour a toujours sa place. La première étape de la résolution d’un problème est essentiellement de nature créatrice, or la créativité ne s’exerce bien que dans un environnement détendu. Un environnement dans lequel une idée nouvelle n’est pas perçue comme une erreur.

41 Amusez-vous Proposez vous-même des idées qui peuvent sembler loufoques. Avec les enfants de 6 ans, souvent, la seule façon de les amener à exprimer ce qu’ils pensent c’est de proposer une idée qui n’a pas de sens. À 6 ans, l’enfant pense que ce qu’il sait, vous le savez et il ne comprend pas ce que vous attendez de lui lorsque vous lui demandez d’expliquer ce qu’il a trouvé. S’il constate que, visiblement, vous n’avez rien compris, il comprendra qu’il est pertinent de vous expliquer. Votre travail ne consiste pas à faire étalage de vos connaissances, mais à faire en sorte que vos élèves les développent.

42 Jusqu’à quand peut-on permettre la manipulation ? On la permettra tant que l’on désirera que les kinesthésiques comprennent. On la permettra tant que l’on considérera qu’il est important que les élèves associent les mathématiques à l’environnement. En fait, il n’existe qu’une profession dans laquelle il est possible de survivre en jouant avec les symboles et les définitions mathématiques sans savoir à quoi ils servent : Prof. de maths. On permettra donc la manipulation si l’on accorde une certaine importance aux autres professions.

43 La manipulation favorise le copiage. Comment l’éviter ? Obligez les élèves à copier. Par exemple, donnez la proposition suivante à compléter : 3 < ___< 8 et annoncez aux élèves que vous n’accepterez leur réponse que si elle diffère de celle(s) de leur(s) voisin(s).

44 La manipulation favorise le copiage. Comment l’éviter ? Lorsqu’un élève vous donne une réponse que vous voulez écrire au tableau, si un élève vous a déjà donné cette réponse, manifestez un enthousiasme moins élevé que lorsque la réponse est nouvelle.

45 Vous voulez savoir si un élève a copié. Placez-vous devant lui, son travail étant entre vous deux, et dites-lui : «Tu t’es trompé!». Si l’élève dit : «Non!» en regardant son travail, il n’a pas copié. S’il regarde le travail de son voisin … Les enfants de 6 ans jettent alors de longs regards sur le travail de leur voisin alors que les enfants de 11 ans regardent rapidement ce travail et vous regardent aussitôt, comprenant qu’ils viennent de se trahir.

46 Comment présenter un problème aux élèves ? (1) Choisissez un thème pertinent, c’est-à-dire un thème qui prédispose l’élève à inventer la solution recherchée. Ainsi, si vous voulez que les élèves inventent le concept de groupement, il faut voir quel contexte a conduit nos ancêtres à inventer ce concept. C’est autour de ce contexte que sera construite la situation- problème à proposer.

47 Comment présenter un problème aux élèves ? (2) Choisissez un thème qui ne sollicite que les connaissances bien acquises des élèves. Si le thème sollicite une culture qui n’est pas commune à tous vos élèves, vous décidez, en partant, de défavoriser certains élèves à cause de leur culture générale déficiente. Choisissez un thème simple, qui sera décrit rapidement et dont les éléments seront perçus par les élèves avec un effort d’imagination très réduit.

48 Comment assister les élèves lors de la résolution collective d’un problème (1) La présentation terminée, demandez à vos élèves de décrire à quoi leur fait penser ce problème. Il ne s’agit pas de raconter le problème en leur mots, ce qui orienterait trop tôt leur travail vers l’analyse des données précises du problème. Il s’agit de lancer ce qu’évoque ce problème pour eux, même si le lien est fort mince.

49 Comment assister les élèves lors de la résolution collective d’un problème (2) Recueillez, sans les critiquer, les idées proposées par les élèves qui leur semblent pouvoir servir à résoudre le problème. La créativité et l’imagination nécessaires à la résolution d’un problème sont bien fragiles devant la rigueur de la pensée critique. Alors, à cette étape, aucune censure n’est permise. Seul le manque d’idées est problématique.

50 Comment assister les élèves lors de la résolution collective d’un problème (3) Procédez à l’analyse des idées de solutions en vérifiant si elles semblent pouvoir conduire à ce qui est recherché et en vérifiant aussi si les données dont elles ont besoin figurent dans les données du problème ou peuvent en découler.

51 Comment assister les élèves lors de la résolution collective d’un problème (4) Choisissez une première idée de solution et tentez de la mettre sur pieds. Passez ensuite aux autres idées sans négliger celles qui semblent absurdes lorsqu’aucune autre ne fonctionne. La preuve par l’absurde est souvent fort utile en mathématiques.

52 Comment assister les élèves lors de la résolution collective d’un problème (5) Validez les solutions construites et posez un jugement sur leur valeur : Plus efficace; Plus réaliste; Plus précise; Plus simple; …