Cours 4-a Méthode des éléments finis 2D

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1 Cours 4-a Méthode des éléments finis 2D
Généralités Technique d’affaiblissement en 2D et 3D Approximation d’un élément triangulaire simple : T3 Intégration des termes de contour Application à la thermique : ailette de refroidissement Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

2 Passage 3D 2D 1D Réaliste mais complexe Basique et/mais simple
3 dimensions caractéristiques = aucune négligeable 2 dimensions caractéristiques = 1 négligeable 2D-Plan ou 2D-axi 1 dimension caractéristique = 2 négligeables Le choix dépend du degré de réalisme recherché mais aussi du phénomène que l’on souhaite étudier, car tout est 3D dans la nature ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

3 Équation de la chaleur en 2D
Équation d’équilibre thermique : Conditions aux limites : Domaine : A (Aire) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

4 Formes intégrales en 2 dimensions (2D)
Démarche identique au cas 1D Pondération et intégration : Intégration par parties : Propriété k isotrope (simplification volontaire) Car 2D On l’élimine par la suite Normale extérieure au domaine Important : à l’issue de ces 2 étapes, vérifier que chacun des termes de W est toujours un scalaire ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

5 Termes de contour : C. aux L. naturelles
Écriture formelle de W : Où : Triangle à 3 nœuds : T3 Barre Cauchy Terme qui sera éliminé par la prise en compte des conditions de Dirichlet ! Barre Neumann Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

6 Maillage 2D : exemple Eléments barre Convention : sens de lecture des nœuds = sens trigonométrique Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

7 Formes intégrales élémentaires
Avec : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

8 Élément triangulaire à 3 nœuds : T3
Sens de lecture des nœuds ! Ae Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

9 Choix des fonctions d’approximation
Approximation par éléments finis : Fonctions d’approximation linéaires : (équation d’un plan) Astuce : utiliser le triangle de Pascal pour choisir la forme de l’approximation Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

10 Calcul des fonctions d’approximation
On applique la relation générale : Soient les 3 systèmes à 3 équations suivants à résoudre : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

11 Calcul des fonctions d’approximation
Après résolution des 3 systèmes : Avec : (Aire de l’élément) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

12 Calcul de la surface élémentaire
La surface élémentaire d’un triangle quelconque se calcule à l’aide d’un simple produit vectoriel Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

13 Illustration des fonctions d’approximation
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14 Reconstruction globale à partir d’approximations élémentaires
L’approximation par éléments finis T3 assure la continuité inter-éléments sur la variable inconnue mais pas sur ses dérivées ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

15 Calcul des formes intégrales discrètes
Pour rappel, la forme élémentaire à discrétiser est : Le terme de gradient est déduit de l’approximation sur T : avec [B] : matrice gradient De même pour le gradient de la fonction-test. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

16 Suite … La forme élémentaire s’écrit alors :
Si f =f(x,y), on considèrera : Pour l’élément T3, la matrice [B] est composée de constantes, d’où : Avec : Intégration rendue possible (!!) soit : Par changement de variables (prochain cours) Intégration numérique (prochain cours) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

17 Traitement des termes de contour : Neumann
La ou les conditions de Neumann sont « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds. Les fonctions sont (cf cours « Eléments finis 1D ») : Soit : S : abscisse curviligne Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

18 Traitement des termes de contour : Cauchy
La ou les conditions de Cauchy sont aussi « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds. Soit : S : abscisse curviligne Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

19 Assemblage Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

20 Traitement des termes de contour : Dirichlet
Ces conditions sont introduites dans le système en TOUTE DERNIERE ETAPE : Par la méthode du terme unité sur la diagonale ou Par la méthode du terme diagonal dominant ou Par élimination de la ligne et colonne correspondante (hors NF04). Ces méthodes sont analogues au cas 1D (cf cours « Eléments finis 1D ») Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

21 Application : ailette de refroidissement
Modèle physique + maillage Table des coordonnées : Table des connectivités : f=0 Flux nul Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

22 Calcul des matrices et vecteurs élémentaires
Elément T3 n°1 : Elément T3 n°2 : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

23 Calcul des matrices et vecteurs élémentaires
Elément Neumann n°3 : Elément Cauchy n°4 : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

24 Phase d’assemblage Connectivités : Matrice globale : Vecteur global :
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25 Application : ailette de refroidissement
Résolution et post-traitement Affichage des champs de couleurs Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC