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1 Des progressions pour lenseignement de lalgèbre Brigitte Grugeon IUFM dAmiens et DIDIREM Élisabeth Delozanne IUFM de Créteil et LIUM.

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1 1 Des progressions pour lenseignement de lalgèbre Brigitte Grugeon IUFM dAmiens et DIDIREM Élisabeth Delozanne IUFM de Créteil et LIUM

2 2 Plan Comment analyser les progressions des manuels ? Place de lalgèbre Prise en compte des ruptures mises en évidence (entre arithmétique et algèbre,..) Choix de critères Des éléments à prendre en compte pour accompagner les ruptures à chaque niveau denseignement entre deux niveaux denseignement Des pistes pour des progressions

3 3 Plan (suite) Comment analyser les progressions des manuels ? Des éléments à prendre en compte pour accompagner les ruptures Des pistes pour des progressions Choix de problèmes pour introduire la résolution formelle déquations Choix de problèmes pour des séances de remédiation Synthèse

4 4 Place de lalgèbre Retour sur les programmes L organisation des manuels La place de lalgèbre en liaison avec lentrée dans le raisonnement mathématique

5 5 Programmes de 6°,5°, 4, 3°, 2nde Objectif principal des « travaux numériques » : Résolution de problèmes issus de domaines variés (géométrie, gestion de données, autres disciplines, vie courante) En 6° Intérêt propre Continuité avec lécole élémentaire Associer à une situation concrète une activité numérique Saisir le sens des opérations et équations aux programme

6 6 Programmes de 6°,5°, 4, 3°, 2nde En 5° Problèmes associant situations et activités numériques Renforcent le sens des opérations numériques et littérales Linitiation aux écritures littérales se poursuit mais le calcul littéral nest pas au programme En 4° La résolution de problèmes nourrit les activités numériques et littérales Ne pas privilégier les exercices de technique pure Calcul littéral introduit avec prudence Veiller à ce que les élèves puissent donner du sens (ex. utilisation de formules de science et techno)

7 7 buts recherchés par le programme Développer progressivement la pensée symbolique Comment ? Amener les élèves à recourir au calcul algébrique Accompagner le passage du langage naturel augmenté du calcul sur des nombres à la représentation formelle et au calcul sur des expressions littérales pour résoudre des problèmes Rendre fonctionnelles les écritures littérales pour les élèves afin quils les mobilisent pour résoudre des problèmes où le recours à loutil algébrique est nécessaire. hypothèse ces ruptures dont la prise en compte est peu marquée sur le plan institutionnel et dans la classe peuvent être la source dimportantes difficultés chez les élèves.

8 8 Par niveau

9 9 Prise en compte des ruptures dans lenseignement de lalgèbre Des critères retenus : la prise en compte du rôle de lalgèbre comme outil de résolution (production dexpressions, généralisation, preuve, modélisation) en liaison avec le statut des lettres et les types de problèmes du statut du signe dégalité des différents aspects de la manipulation formelle (syntaxique, sémantique, technique) de la nécessaire articulation entre lécriture algébrique et dautres modes de représentation

10 10 Outils de travail Pour réaliser diagnostic puis « remédiation », à chaque exercice on associe : une liste dobjectifs et une grille descriptive caractérisant le type de solution attendu, une grille danalyse permettant de décrire les productions des élèves relatives à chaque exercice compte tenu du type de solution attendu, des démarches et des modalités incorrectes de fonctionnement envisageables. La grille descriptive précise les compétences algébriques mises en jeu par lexercice : lactivité algébrique à réaliser, les lettres et objets à mettre en jeu pour la résolution (ici, formules ou expressions algébriques ou équations ou fonctions et le statut des lettres associé) ainsi que les transformations à réaliser, et de plus le ou les registres de représentation à gérer, le niveau de rationalité algébrique attendu.

11 11 Des pistes pour des progressions En cinquième, des étapes pour une entrée dans lalgèbre En quatrième, des étapes pour faire du calcul littéral Des pistes pour gérer la transition entre la troisième et la seconde

12 12 En 5ième : des étapes pour une entrée dans lalgèbre Travailler la pratique de lécriture et du calcul des expressions numériques en liaison avec dautres registres Faire résoudre des problèmes aux élèves pour leur faire produire des formules qui expriment de façon générale un calcul ou une propriété Permettre ainsi aux élèves de découvrir de nouveaux statuts des lettres et de donner du sens aux expressions littérales, Permettre aux élèves de faire émerger la non-unicité des lettres, la non- unicité des écritures, Permettre aux élèves dutiliser les règles décriture mathématique (parenthésage, priorité des opérations,...) et de mettre en évidence les implicites liées aux écritures (syntaxique) Renforcer lidée que le symbole « =« n est pas seulement un signe dannonce de résultat Amener les élèves à concevoir quon peut réécrire des expressions littérales : selon le choix des écritures (sémantique), la résolution d un problème peut en être facilitée Aborder la résolution des équations à partir de la résolution de problèmes

13 13 Exemples de situations Situations de modélisation conduisant à des formules mathématiques, à des écritures mathématiques généralisant une relation donnée, à des écritures génériques où les lettres apparaissent comme des variables (situation des carreaux, situation de message, … Situation de preuve dans le cadre algbrique : une assertion mathématique n² = 2n est-elle vraie ? Situations de modélisation, de message qui permettent de mettre en évidence des règles de formation des expressions algébriques, la non unicité du choix des lettres, de débattre de léquivalence ou non des formules syntaxiquement proches, … (famille de figures (INRP), périmètre dun polygone (Dupérret), …)

14 14 Situation des carreaux But : Amener les élèves à établir une formule permettant le calcul du nombre de carreaux hachurés dune figure construite sur le modèle ci-contre, quel que soit le nombre de carreaux sur le côté du carré. Objectif : Passage dune formulation écrite à une formule mathématique Enjeu : Activité algébrique attendue : utilisation de lalgèbre pour produire une formule, pour généraliser Statut des objets en jeu : nombres généralisés Articulation entre les registres de représentation : des dessins, des écritures numériques, du langage naturel, des écritures littérales Travail dans le registre des écritures algébriques sur la non unicité des lettres, des écritures, sur les règles décriture Organisation : Différentes phases du scénario envisagées Modalités de travail prévues Gestion de la classe envisagée pour faire vivre cette situation

15 15 Stratégies d'introduction de l'algèbre ( A partir des travaux anglo-saxons (Bernarz, Kieran, Lee, 1996) et français) Quatre perspectives dintroduction de lalgèbre Approche par la généralisation / justification Approche par la résolution de problèmes /mise en équation Approche par la modélisation Approche fonctionnelle et technologique Nécessaire complémentarité des approches pour développer une nécessaire flexibilité et adaptabilité dans linterprétation des lettres et des expressions dans différents modes de représentations pour en faire des usages variés

16 16 Approche par la généralisation / justification Objectifs : Engager les élèves dans la construction de la rationalité algébrique Faire émerger les nombres généralisés comme préconcepts des variables Engager les élèves dans lutilisation du symbolisme pour mémoriser propriétés Difficultés : Accès à lutilisation des nombres généralisés, à la production de formules Gestion de nécessaires phases de formulation

17 17 Approche par la résolution de problèmes (culturelle) Objectifs : Engager les élèves dans la mise en équation et la résolution des équations Faire émerger le concept dinconnue et de raisonnement algébrique Difficultés : Nécessaire choix des problèmes en rupture avec larithmétique Accès au raisonnement algébrique

18 18 Approche par la modélisation Objectifs : Faire émerger le concept de grandeur, variable Engager dans la production de formules avec du sens Difficultés : Choix des situations réelles adaptées Accès à lutilisation des variables, à la production de formules Gestion de nécessaires phases de formulation

19 19 Approche fonctionnelle et technologique Objectifs : Faire émerger le concept de variable, négocier la rupture avec larithmétique Engager les élèves dans la flexibilité entre différents modes de représentation : tableau de nombres, représentation graphique, symbolisme algébrique (dans un environnement informatique) »variable inconnue Difficultés : Accès à la flexibilité entre modes de représentation, mais semble faciliter laccès au raisonnement algébrique pour la résolution déquations

20 20 En 4ième : des étapes pour faire du calcul littéral Mettre en place des problèmes motivant la transformation décritures littérales (situations permettant de travailler les règles de formation, de transformation des écritures) Mettre en place des situations pour faire évoluer le statut de la lettre dans une expression littérale et les jeux dinterprétation dans la transformation décritures (classement dégalités, situation de modélisation, de généralisation) Mettre en place des situations où lalgèbre apparaît comme un outil de preuve dans le cadre numérique (propriétés des entiers) dans le cadre géométrique Amener les élèves à concevoir quon peut réécrire des expressions littérales : selon le choix des écritures, le changement de registre, la résolution dun problème peut en être facilitée Négocier le passage dune démarche arithmétique vers une démarche algébrique pour résoudre une équation Complémentarité des approches (INRP, Duperret) et choix des situations Distinction des moments : mise en équation puis résolution (INRP)

21 21 Négocier le passage dune démarche arithmétique vers une démarche algébrique pour résoudre une équation Insister sur la phase de mise en équation, voire la séparer de la résolution. Utiliser des problèmes se ramenant à une équation du type ax +b = cx +d Au début, proposer un énoncé conduisant à des relations fonctionnelles : parmi toutes les valeurs possibles, chercher celle pour laquelle deux expressions sont égales. Proposer une grande variété de problèmes nécessitant loutil algébrique en dehors dun aspect algorithmique : reformulation de lénoncé, transformation de formules, relations mettant en jeu plusieurs variables. Mettre en scène les problèmes et permettre des essais et un débat sur les procédures utilisées. Jouer sur des variables didactiques (le domaine numérique) pour faire évoluer les procédures.

22 22 Introduction à la résolution algébrique des équations Exercice 1 Deux élèves, Alice et Bertrand, ont chacun une calculatrice. Ils affichent le même nombre sur leur calculatrice. Alice multiplie le nombre affiché par 3, puis ajoute 4 au résultat obtenu. Bertrand, lui, multiplie le nombre affiché par 2, puis ajoute 7 au résultat obtenu. Quand ils ont terminé, ils saperçoivent que leurs calculatrices affichent exactement le même résultat. Quel nombre ont-ils affiché au départ ? Objectifs : Faire vivre les limites des démarches arithmétiques Mettre en évidence les règles décriture des équations Ce qui est en jeu :

23 23 Résolution algébrique déquation (suite) Ce qui est en jeu Activité algébrique : Production dune équation Gestion des écritures algébriques : Règles décriture des équations Statut des objets : Double statut du signe dégalité Double statut des lettres utilisés pour désigner les nombres : variable et inconnue Double interprétation des objets : dordre procédural ou structurel

24 24 Résolution algébrique déquation (suite) Analyse a priori : solutions envisageables : Les stratégies possibles Par essais-erreurs dans le numérique : Par une mise en équation (après changement de valeur des coefficients) : plusieurs selon le nombre de lettres, le nombre déquations et le type décriture utilisé 1er cas : deux équations Correct Incorrect Incorrect x x = y x x 3 = y + 4 = z x x = y x x = y x x 2 = y + 7 = z x x = z 2ème cas : une suite dégalités Correct x x = x x = y 3ème cas : une seule équation Correct Incorrect Incorrect x x = x x ou x x = y soit x x = y... x =... x 2 + 7x x = ysoit x x = z

25 25 Introduction à la résolution algébrique des équations (suite) Exercice 2 Les deux carrés (1) et (2) ont le même périmètre. Quelle est la longueur du côté du carré (1). Ce qui est en jeu Activité algébrique : Production dune équation Gestion des écritures algébriques : Règles décriture des équations Statut des objets : Double statut du signe dégalité Double statut des lettres utilisés pour désigner les nombres : variable et inconnue Double interprétation des objets : dordre procédural ou structurel Articulation entre registres : registre des dessins et celui des écritures algébriques Analyse a priori

26 26 Exercice 2 (suite) Analyse a priori : Les stratégies possibles Par essais-erreurs dans le numérique : Par une mise en équation : plusieurs selon le nombre de lettres, le nombre déquations et le type décriture utilisé 1er cas : des équations CorrectIncomplet 4 L 1 = P 1 L 1 + L 2 = 10 4 L 2 = P 2 P 1 = P 2 L 1 + L 2 = 10 ou... 2ème cas : une suite dégalités Correct 4 L 1 =P 1 = 4 x (10 -L 1 )= P 2 3ème cas : une seule équation Correct Incorrect 4 L 1 = 4 x (10 -L 2 ) ou4 L 1 = 4 x 10 -L 2 ou 4... = 4 x ( ) ou4 L 2 = 4 x 10 -L 1 4 L 2 = 4 x (10 -L 1 )

27 27 Introduction à la résolution algébrique des équations (suite) Exercice 3 Un homme a 23 ans de plus que son fils, 31 ans de moins que son père. La somme des âges des trois personnes est 119 ans. Calculez les âges. Ce qui est en jeu Actvité algébrique : Production dune équation Gestion des écritures algébriques : Règles décriture des équations Statut des objets : Double statut du signe dégalité Double statut des lettres utilisés pour désigner les nombres : variable et inconnue Double interprétation des objets : dordre procédural ou structurel Articulation entre registres : registre du langage naturel et celui des écritures algébriques (les représentations ne sont pas congruentes) Analyse a priori

28 28 Exercice 3 (suite) Analyse a priori : Les stratégies possibles Par essais-erreurs dans le numérique : Par une mise en équation : plusieurs selon le nombre de lettres, le nombre déquations et le type décriture utilisé x 1 âge du fils, x 2 âge de lhomme, x 3 âge du père 1er cas : des équations CorrectIncomplet x 1 = x x 1 + x 2 + x 3 = 119 x 3 = x ou.. x 1 + x 2 + x 3 = 119 2ème cas : une seule équation CorrectIncorrect (x 2 -23) +x 2 + (x ) = 119 Travail sur des reformulations internes au registre du langage naturel Travail sur des représentations schématiques pour permettre larticulation entre les registres.

29 29 Articulation troisième / seconde Les ruptures repérées Manipulation formelle enfermée dans des exercices non finalisés Emploi de loutil algébrique associé le plus souvent à des situations familières guidant la résolution Grande place laissée à une interprétation des expressions en termes de processus de calcul Grande place laissée au statut dinconnue, à la mise en équation de problèmes familiers et à la résolution déquation Manipulation formelle engagée dans de nouveaux emplois Emploi de l algèbre lié à des situations plus diversifiées et plus ouvertes Plus grande place laissée à linterprétation des expressions (sens) en liaison avec la finalité des exercices Plus grande place laissée à la production dexpressions et au travail dans le cadre fonctionnel

30 30 Des pistes pour la négociation Exploiter des profils délèves A un niveau local Par rapport à des modalités de fonctionnement Conception dexercices adaptés selon le moment de lapprentissage : Introduction ou Remédiation –Objectifs dapprentissage à préciser en liaison avec les programmeset les ruptures repérées –Gestion pédagogique à définir A un niveau global Par rapport aux élèves dune classe Gestion de lhétérogénéité dune classe Par rapport aux principales ruptures repérées dans lapprentissage de lalgèbre


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