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LIngénierie didactique des mathématiques. LIngénierie didactique des mathématiques Rationnels et des décimaux dans la scolarité obligatoire Nadine et.

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1 LIngénierie didactique des mathématiques

2 LIngénierie didactique des mathématiques Rationnels et des décimaux dans la scolarité obligatoire Nadine et Guy Brousseau DAEST Janvier-février 2006 Université Victor Segalen Bordeaux 2

3 Programme du cycle Une introduction à lingénierie didactique Lingénierie du schéma général du curriculum et des processus Lingénierie des situations a-didactiques, en particulier les situations fondamentales Lingénierie des situations didactiques en particulier «intermédiaires» Lingénierie de la conduite des situations denseignement

4 I. Une introduction à lingénierie didactique

5 Essai de « définition » « Lingénierie didactique est létude dun projet denseignement sous ses aspects didactiques, techniques, économiques, financiers et sociaux… et qui nécessite un travail de synthèse coordonnant des travaux de diverses équipes de spécialistes ».

6 The concept of didactic engineering entered the didactics of mathematics in the early 1980s. The aim was to use this term to label a form of didactic work: we may compare the work of an engineer who, in order to carry out a particular project, draws support from scientific knowledge in the domain, accepts scientific verification, but at the same time, has to work on objects which are far more complex than the simplified objects of the science. Engineers must therefore treat in a practical way, with ail the means at their disposal, problems which science does not wish to or is not able to tackle Michèle Artigue 1992

7 Lingénierie didactique consiste au sens strict … en la conception et en la réalisation de tout ou partie de curriculums : une suite de leçons, une leçon, un assortiment dexercices, un manuel, un programme informatique etc. cette conception est accompagnée de létude des diverses possibilités entre lesquelles il est fait un choix, et de lexplicitation des raisons de ces choix (techniques, scientifiques, et autres).

8 Mais en un sens plus large, on peut y admettre la simple production dun curriculum – sans ses justifications précises – et, par conséquent aussi sa conduite, … dans la mesure ou tout curriculum laisse nécessairement un certain champ de décisions didactiques à lenseignant qui lutilise Et en un sens plus large…

9 Les techniques spécifiques à ce genre de travaux sont adaptées de nombreuses disciplines dont la psychologie, lépistémologie, la sociologie, la pédagogie etc. sous le contrôle de la didactique des mathématiques Dans le cas des mathématiques les plus importants moyens sont de nature mathématique

10 On peut y intégrer les recherches technologiques : des problèmes techniques, identifiés précisément, font lobjet détudes théoriques ou expérimentales, directement liées aux conditions de projets denseignement déterminés. Certaines de ces recherches ont conduit à résoudre des questions scientifiques plus générales, par exemple lanalyse implicative des données statistiques

11 On peut distinguer lingénierie de production et de développement qui vise uniquement à réaliser un enseignement … et Lingénierie phénoménotechnique qui a pour objet de permettre létude empirique de phénomènes didactiques, dans des circonstances compatibles avec léthique de lenseignement Exemple : les rationnels et les décimaux tels quils ont été enseignés pendant près de 20 ans à lécole Michelet de Talence nétaient pas destinés au développement

12 Lingénierie didactique est : lindispensable instrument de confrontation de la science didactique avec la contingence Linstrument et lobjet des observations le moyen de mise en œuvre et de diffusion de ses résultats vers les enseignants et le public Par là elle est le cœur de la didactique

13 II. Lingénierie du schéma général du curriculum et des processus

14 Continuité et ruptures …de la didactique actuelle avec la didactique classique 0. Coménius et la méthodologie classique 1. Interrogation première de la discipline 2. Réexamen de tout apport « extérieur » 3. La méthode : modélisation 4. Exigences scientifiques 5. Acceptation dun saut de complexité et de moyens

15 Principes et méthodes de la théorie des situations didactiques Définition des connaissances par les situations, (« les cognitrons ») Méthodes inductives et constructives Universalité des principes ; le COREM, « didactotron »

16 Les étapes de lingénierie didactique: Les niveaux Étude mathématique, situations fondamentales, canevas du processus, linstitutionnalisation situations intermédiaires, et la familiarisation. Les réajustements des niveaux

17 Les techniques dordonnancement Principes : Décomposer, regrouper, économiser ordonner Le labyrinthe des connaissances, et des savoirs de leurs formes et de leurs dépendances logiques et temporelles

18 Les formes de connaissances Connaissances implicites La connaissance implicite dun milieu. La connaissance implicite dune situation caractéristique dune connaissance La connaissance, même implicite mais régulière, dune solution dans une situation donnée : modèle implicite daction, théorème en acte, schème. Exemple : la connaissance des trajets dans une grande ville.

19 Connaissances explicites reconnaissance explicite dune situation- solution. possibilité de formuler et de décrire tous les éléments de la connaissance de type 3 ci-dessus. algorithmes La connaissance « raisonnée » dune connaissance solution appuyée sur un répertoire de justifications, Le savoir « scolaire officiel » répertoire de référence

20 Les dépendances ente éléments Entre connaissances Entre connaissances et situations Entre situations Lanalyse et la combinaison de ces dépendances, a priori et a posteriori est linstrument de lingénierie et de lobservation scientifique de la didactique

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22 Une partie de la matrice des dépendances statistiques entre les résultats des leçons dun curriculum pour le C.P.

23

24 Exemple : III. lexpérience sur les rationnels et les décimaux 65 leçons : 6 a-didactiques fondamentales, 59, mixtes intermédiaires

25 Le canevas densemble Fractions et rationnels Trois fonctions de ces nombres Mesures Fonctions Rapport Grandes parties: Construction mathématique, utilisations, institutionnalisation, algèbre

26 a. Commensuration Lépaisseur des feuilles de papier, situation fondamentale des mesures Ces choses sont-elles des nombres? Comparaisons, Opérations différentes grandeurs Unités secondaires

27 b. Rationnels décimaux Rationnels et décimaux Localiser des nombres, 2 ième situation fondamentale La dialectique des rationnels et des décimaux Lécriture et la division (rationnels non décimaux)

28 c. Applications linéaires 3 ième Situation fondamentale: lagrandissement du puzzle La multiplication et la dénomination des fonctions Lidentification avec les décimaux

29 d. applications formes et fonctions des R&D dans leurs applications : pourcentages, échelles, taux…

30 e. Les rationnels unifiés La composition des applications rationnels mathématiques f. Lalgébrisation des rationnels Structure et propriétés Proportions et équations

31 IV. Quelques observations

32 Les procédés didactiques classiques multiplient les situations dapprentissage et remplissent tout le temps disponible avec nimporte quel programme de connaissances, aussi petit soit-il Lingénierie didactique a pour objet de limiter cette prolifération sans diminuer les résultats… donc Les curriculums doivent être comparées daprès le temps quils nécessitent, à taux de réussite constant.

33 Très peu dapprentissages « naturels » suivent des voies conformes aux méthodes « basiques » traditionnelle. Cest un argument insuffisant pour les rejeter tant quon nen connaît pas de meilleures En fait la construction dun curriculum ressemble plus à la composition dune fugue ou dune sonate quà celle dun logiciel dordinateur

34 Les mêmes principes dingénierie peuvent aboutir à des curriculums de structures très différentes suivant le sujet mathématiques: Les conceptions de « R&D » (très axiomatique) et de lenseignement des statistiques et des probabilités (très épistémologique) sont contemporaines :

35 V. Exemple dune situation a-didactique Lagrandissement du Puzzle

36 Une situation mathématique Proportionnalité ou agrandissement linéaire? (élèves de 9 à 11 ans)

37 Situation mathématique milieu S. actant S. apprenti milieu Lapprentissage est une réorganisation, consciente ou non, des moyens daction du sujet Activité Mathématique Connaissance Mathématique

38 Lagrandissement du puzzle Lenseignant : « Vous devez découper un puzzle pour lécole maternelle. Il doit être semblable à celui-là mais plus grand Le côté de cette pièce du modèle mesure 4 centimètres Il doit mesurer 7 centimètres sur la reproduction Chaque groupe nagrandit quune seule pièce ». Vous les assemblerez après

39 Figure 1 A

40 Première idée = = = 9 Et ce qui en résulte…

41 D E C B F A Figure 2 Résultat

42 Autres idées 4 --> 7, donc 8 -->14 et aussi 12 --> 21 (la proportionnalité, comme unique modèle familier, mais empirique, sans justification) 4 --> 2 x 4 – 1 = > 2 x 6 – 1 = > 2 x 2 – 1 = 3 Qui parait satisfaisant Comme aussi des découpages « à lœil »

43 a b c Figure 3a

44 a A Figure 3b

45 b B Figure 3c

46 c C Figure 3d

47 a b c Figure 3e

48 A B C Figure 3f

49 Pourquoi ? = = = = 6 mais !!

50 Modèle Figure 4 Image La somme des images doit être limage de la somme !

51 Le calcul final /4 7/4 = 7x25/100 = 175/100 = 1.75

52 VI. Conception et analyse dune situation didactique Topologie des fractions décimales (Séance 23)

53 Eh bien non ! Cest fini ! Pour aujourdhui en tout cas … Merci de votre attention


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