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Alain Bouquet PCC- Collège de France - Mars 2003 Eléments de relativité générale.

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2 Alain Bouquet PCC- Collège de France - Mars 2003 Eléments de relativité générale

3 Relativité générale 2 Alain Bouquet - PCC Collège de France 2 La pesanteur n Aristote Les choses pesantes tombent Les choses légères montent n Ce sont des propriétés inhérentes aux objets n Lespace est un cadre fixe à l intérieur duquel se déroulent les phénomènes n Symétrie sphérique, référentiel privilégié

4 Relativité générale 3 Alain Bouquet - PCC Collège de France 3 Espace et temps absolus Espace et temps absolus n Pour Newton, le poids d un objet résulte de son attraction par la Terre n Cest une propriété extérieure à l objet n La gravitation est universelle n La même loi explique le mouvement des planètes n Les phénomènes se déroulent encore dans un cadre fixe qui leur est extérieur : lespace et le temps n Le temps est uniforme et illimité n Lespace n a aucune structure – Espace illimité sans origine – Invariance complète par translation et par rotation n Relativité galiléenne t = t x = x -vt n Référentiels inertiels

5 Relativité générale 4 Alain Bouquet - PCC Collège de France 4 Relativité restreinte n La relativité restreinte ne change rien dessentiel n Galilée -> Lorentz n Espace + temps -> Espace-temps Plus despace ni de temps absolus, mais un espace-temps absolu n Différences mineures (?) Causalité restreinte à lintérieur du cône de lumière Abandon de la notion de simultanéité absolue Conséquences sur la logique formelle n Du mille-feuilles au quatre-quarts Tous les feuilletages sont équivalents Mais certains peuvent être plus pratiques que dautres n Espace-temps absolu de Minkowski UNE EVOLUTION PAS UNE REVOLUTION

6 Relativité générale 5 Alain Bouquet - PCC Collège de France 5 Parallèle entre électrodynamique et gravitation n Loi de Coulomb F = q 1 q 2 /r 2 n Equation de Poisson U = 4π n Densité = q i /Volume n Relativité restreinte – Densité -> quadricourant J – Potentiel U -> A (photon) n Equation de Maxwell A = J n Loi de Newton F = G m 1 m 2 /r 2 n Equation de Poisson U = 4π G n Densité = m i /Volume n Relativité restreinte – Densité -> énergie-impulsion T – Potentiel U -> h (graviton) n Equation dEinstein h = T

7 Relativité générale 6 Alain Bouquet - PCC Collège de France 6 Gravitation relativiste n Il est donc classiquement possible de décrire la gravitation comme un échange de gravitons dans un espace-temps de Minkowski n Equation dEinstein h = T n Le champ de gravitation est auto- couplé => théorie non linéaire n En plus elle est non-renormalisable – Rosenfeld (1930), Pauli&Fierz (1939), Gupta (1952) – Feynman (1963) : théorie à lordre zéro = RG linéarisée, mais unitarité violée à une boucle – DeWitt ( ) : unitarité à une boucle [avec « fantômes » de Fadeev- Popov] – t Hooft [1973] : divergence à une boucle et non-renormalisabilité – Stelle (1977) : renormalisabilité à une boucle mais au prix de lunitarité – Compensation fermion-boson des divergences par supersymétrie (1976) – Plusieurs supersymétries : supergravité N=8 (Cremmer-Julia- Scherk 1978) équivalente à N=1 en 11 dimensions Contient la contribution de la matière et des termes quadratiques (et plus) en h et ses dérivées secondes

8 Relativité générale 7 Alain Bouquet - PCC Collège de France 7 Principe déquivalence n Masse inertielle F = m i n Masse grave F = m g m g /r 2 n Principe déquivalence – Laccélération de la gravité est identique pour toutes les masses – => La gravité ne se distingue pas dune force fictive comme la « force » centrifuge – => Elle disparaît par un choix de repère approprié « en chute libre » n Lexpérience de Galilée La trajectoire dun corps ne dépend ni de sa composition ni de sa structure interne

9 Relativité générale 8 Alain Bouquet - PCC Collège de France 8 Les tests du principe déquivalence Paramètre dEötvös = 2|a 1 -a 2 |/(a 1 +a 2 ) Chute libre (110 m de chute) n Pendules en matériaux différents – Newton – Potter n Balance de torsion – Eötvös – Dicke – Eöt-Wash (Adelberger et al.) n La Terre na pas la même composition chimique que la Lune – Laplace10 -7 – Laser-Lune Satellites (MICROSCOPE) à (STEP)

10 Relativité générale 9 Alain Bouquet - PCC Collège de France 9 Einstein et lascenseur n Localement Minkowski n Recollement des Minkowski => Riemann n Gravitation -> métrique -> – Champ sur lespace-temps ? – Propriété de lespace-temps ! Couplage universel de la gravitation n Théories métriques de la gravitation – Lespace-temps possède une métrique (tenseur symétrique) – Les trajectoires libres décrites par les objets sont des géodésiques n Exemples Relativité générale Théorie scalaire-tenseur de Brans-Dicke Pas les supercordes (dilaton et modules) Le temps propre est une propriété de lespace-temps, non des horloges de mesure

11 Relativité générale 10 Alain Bouquet - PCC Collège de France 10 Déviation de la lumière n Un rayon de lumière traverse un ascenseur en accélération n De lextérieur : Trajectoire rectiligne n De lintérieur : Trajectoire parabolique n Effet identique dans un champ de gravitation

12 Relativité générale 11 Alain Bouquet - PCC Collège de France 11 Ralentissement du temps n Une expérience de pensée facile Ascenseur de hauteur H durée H/c Accélération V = H/c Doppler : / = V/c = H/c 2 n Potentiel gravitationnel équivalent U = H t/t = / = U/c 2 n Ralentissement des horloges dans un champ de gravitation t/t = U/c 2 n La notion de potentiel nest pas définie en relativité générale (théorie locale) – A l extrême rigueur, on peut lui donner un sens pour une géométrie sphérique statique (Schwarzschild) n La courbure est plus forte près dune masse, les lignes dunivers des horloges y sont plus longues et le temps y ralentit

13 Relativité générale 12 Alain Bouquet - PCC Collège de France 12 Géométries n Géométrie euclidienne – Somme des angles = 180° – Périmètre dun cercle P = 2πR – Une seule parallèle à une droite par un point extérieur n Géométrie riemannienne – Somme des angles < 180° Somme des angles > 180° – Périmètre dun cercle P > 2πR Périmètre dun cercle P < 2πR Ecart proportionnel à la surface – Une infinité de parallèles ou aucune Point

14 Relativité générale 13 Alain Bouquet - PCC Collège de France 13 Prenons -par exemple- une sphère n Sur la Terre – Géodésique = arc de grand cercle. Exemples : méridiens, Equateur, vols intercontinentaux – Le périmètre de cercles centrés sur un point (pôle et parallèles, par exemple) augmente avec le rayon jusquà lEquateur, puis diminue. Mais on a toujours : Périmètre < 2π Rayon Exemple : Périmètre(Equateur) = 4R – Dans le triangle formé par 2 arcs de méridien et dun arc dEquateur, la somme des angles est de 180° +. Son aire est R 2 [R 2 (sin )/2 sur un plan] R

15 Relativité générale 14 Alain Bouquet - PCC Collège de France 14 Accélération et géométrie n Plateau tournant – Longueur conservée dans la direction radiale – Longueur contractée (Lorentz) le long de la périphérie Rapport Périmètre/Rayon > 2π n Une accélération est équivalente à une géométrie non- euclidienne n La table de marbre – Poincaré suggère lanalogie de la « table de marbre », chauffée à la périphérie et habitée par des êtres utilisant des règles métalliques – Les longueurs sont dilatées à la périphérie Rapport Périmètre/Rayon < 2π n Géométrie non-euclidienne en apparence

16 Relativité générale 15 Alain Bouquet - PCC Collège de France 15 Gravitation et géométrie n Géométrie => gravitation – Un objet libre se déplace « en ligne droite » – Dans un espace-temps courbe, ce sera sur une géodésique – Courbure faible -> géodésique ~ plate n En un point donné passe une infinité de géodésiques – Le choix de la géodésique est fixé par la vitesse dans lespace-temps n Gravitation => géométrie – Laccélération due à une masse se traduit par une courbure locale de lespace-temps – Cette courbure induit une courbure un peu plus loin, qui elle-même… n La relation entre masse et courbure dépend de la théorie métrique de la gravitation qui est adoptée n La relativité générale est la plus simple 2 secondes 4 semaines Lune

17 Relativité générale 16 Alain Bouquet - PCC Collège de France 16 Convergence et divergence n Une seule géodésique ne permet pas de connaître la courbure de lespace- temps n La convergence ou la divergence de géodésiques initialement parallèles permet de la déterminer

18 Relativité générale 17 Alain Bouquet - PCC Collège de France 17 Un exemple simple n Autour dune masse isolée Déviation des trajectoires = « attraction » gravitationnelle Orbites quasi-elliptiques (décalage du périastre) Lentilles gravitationnelles Trous noirs Retard des signaux (effet Shapiro) Décalage gravitationnel vers le rouge Solution statique

19 Relativité générale 18 Alain Bouquet - PCC Collège de France 18 Un autre exemple simple Une densité uniforme de masse Une courbure spatiale partout identique Une courbure spatio-temporelle = dilatation des distances Un cône de lumière qui se referme dans le passé : Solution non-statique décrivant le modèle du big bang

20 Relativité générale 19 Alain Bouquet - PCC Collège de France 19 Lespace comme ensemble de relations n Leibniz : lespace est un ensemble de relations, pas un cadre préexistant – Analogie avec une phrase : il nexiste pas de phrase sans mot. – Toute description dune entité se réfère nécessairement à dautres entités : tout mouvement est relatif n Le temps est le changement dans le réseau des relations Donc le temps est relatif n La finitude de la vitesse de la lumière crée des cônes de causalité (passé et futur) pour chaque observateur Univers relationnel et causal n Conséquences – Assertions indécidables quand elles se réfèrent à des événements hors du cône de lumière – Cependant cohérence entre observateurs pour les événements situés dans l intersection de leurs cônes de lumière n Quantification – Impossibilité dune théorie quantique globale de lunivers – Mais possibilité dune théorie quantique par observateur, avec cohérence des réponses des observateurs à une même question Lunivers est formé de processus et non dobjets n Evénements discrets à l échelle de Planck?

21 Que nul nentre ici sil nest géomètre

22 Relativité générale 21 Alain Bouquet - PCC Collège de France 21 La gravitation comme géométrie n Principe déquivalence n Ainsi pour Newton, le Soleil exerce sur la Terre une traction qui la maintient en orbite La trajectoire dun corps ne dépend ni de sa composition ni de sa structure interne n Autrement dit, tous les corps suivent les mêmes trajectoires n Donc ces trajectoires sont des propriétés de lespace(-temps) lui- même, et non des corps n Les corps se déplacent suivant une « ligne droite » que courbe lespace n Pour Einstein, le Soleil déforme lespace autour de lui en orbite, et la Terre va « droit devant elle »

23 Relativité générale 22 Alain Bouquet - PCC Collège de France 22 Modifier la géométrie n Il faut abandonner Euclide ou plus exactement Minkowski n Il faut une géométrie où les notions de distance et de longueur et les notions dangle varient dun lieu à lautre n Mais on demeure prudent : on veut rester aussi près que possible de lespace-temps rigide de Minkowski …et continuer à y définir des fonctions et des dérivées presque comme avant n Ce que lon veut conserver : Un espace-temps continu Et sans pli ni bord En fait on veut juste du Minkowski un peu déformé n On connaît les surfaces courbes (à 2 dimensions) qui ne sont jamais que des plans un peu déformés n Il « suffit » de construire leur analogue à dimensions… …les variétés

24 Relativité générale 23 Alain Bouquet - PCC Collège de France 23 Variétés n Intuitivement Lanalogue dune surface à n dimensions n Mathématiquement – Une variété est un espace topologique dont chaque point possède un voisinage homéomorphe à n – Localement, cela ressemble à n – Globalement, cela peut être très différent n Exemples – Une sphère, un anneau, une bouteille de Klein, etc. – Contre-exemple : une croix X Espace topologique : ensemble E muni dune famille de parties de E (les ouverts) telle que toute union ou intersection douverts soit un ouvert Homéomorphie : application continue

25 Relativité générale 24 Alain Bouquet - PCC Collège de France 24 Variétés différentiables n Variété différentiable Variété « lisse », sans point anguleux n Cartes et atlas – Carte : application bijective et continue dun ouvert U i de M dans n associant à tout point P ses « coordonnées » x (P) – Il faut nécessairement plusieurs cartes pour recouvrir une variété M [sauf bien sûr si M est homéomorphe à n ] – Atlas : ensemble de cartes recouvrant M, tel que les changements de cartes soient des applications bijectives et différentiables de n dans n Classe C 1 = une fois différentiable Classe C k = k fois différentiable n Intuitivement : P

26 Relativité générale 25 Alain Bouquet - PCC Collège de France 25 Cartes, atlas et coordonnées n Variété n Atlas + n Carte

27 Relativité générale 26 Alain Bouquet - PCC Collège de France 26 Difféomorphismes n Application différentiable dune variété M sur elle-même Définie localement comme une application bijective différentiable de n dans n Un homéomorphisme est continu, un difféomorphisme est différentiable n L ensemble des difféomorphismes sur une variété a une structure de groupe, le groupe Diff(M), pour la loi de composition des applications La relativité générale demande linvariance de la physique sous Diff( 4 ) n Physiquement, cela signifie que les lois de la physique sont : les mêmes en tout point de lespace- temps indépendantes de la paramétrisation de lespace-temps

28 Relativité générale 27 Alain Bouquet - PCC Collège de France 27 Transformations actives/passives n Transformations actives/passives Transformation active = application de M dans M qui envoie un point P vers un point Q Transformation passive = changement de carte (changement de coordonnées du même point P) n La différence est parfois subtile Si M = n, les deux coïncident Si M n – un changement de coordonnées est un difféomorphisme local de n dans n – un élément de Diff(M) est un difféomorphisme global sur M, qui induit des difféomorphismes locaux de n dans n P Q P P

29 Relativité générale 28 Alain Bouquet - PCC Collège de France 28 Que faire sur une variété ? 1 ) Définir des fonctions en un point P f[P] 2) Aller dun point à un autre, suivant une courbe v(t) Vecteurs tangents et cotangents n 2 courbes [continues] passant au même point sont équivalentes si la variation de toute fonction est la même pour ces 2 courbes 3) Et sintéresser à la façon dont la fonction varie le long dune telle courbe : d/dt f[v(t)] P n 2 fonctions en un point sont équivalentes si leur variation est la même pour toute courbe [continue] passant par ce point Leur classe déquivalence définit un vecteur cotangent en ce point Leur classe déquivalence définit un vecteur tangent en ce point Pour un physicien : la tangente à la courbe Pour un physicien : le gradient de la fonction

30 Relativité générale 29 Alain Bouquet - PCC Collège de France 29 Vecteurs n Intuitivement Un vecteur en un point P est donc une quantité infinitésimale associée à une orientation Ce vecteur est tangent à une famille de courbes passant par P, il est aussi tangent à la variété M n Espace tangent à une variété Lensemble des vecteurs tangents en un point P forme un espace vectoriel, lespace tangent à la variété en ce point V est tangent en P aV+bV est tangent en P [a,b ] n Coordonnées On choisit un système de coordonnées arbitraires {x 0, x 1, x 2, x 3 } sur la variété M, ou, de façon plus concise, x m Un vecteur V est décrit dans ces coordonnées par lensemble V m {V 0, V 1, V 2, V 3 } de ses composantes On parle aussi de vecteur contravariant n Propriétés de transformation x a x b V a V b = [ x b / x a ] V a

31 Relativité générale 30 Alain Bouquet - PCC Collège de France 30 Covecteurs n Covecteur (vecteur cotangent) Classe déquivalence des fonctions en un point qui varient de la même façon Elle transforme linéairement un vecteur V en nombre f(V) V f f(V) n Dualité Les covecteurs en un point forment un espace vectoriel, le dual de celui des vecteurs n Coordonnées Dans un système de coordonnées locales, un covecteur f a pour composantes {f 0, f 1, f 2,f 3 } qui sont les nombres obtenus en appliquant f à chacun des vecteurs de base On parle aussi de vecteur covariant (= variant comme le gradient) n Propriétés de transformation x a x b f a f b = [ x a / x b ] f a Dualité On peut aussi bien considérer que le vecteur V transforme le covecteur f en nombre f(V) Dualité On peut aussi bien considérer que le vecteur V transforme le covecteur f en nombre f(V)

32 Relativité générale 31 Alain Bouquet - PCC Collège de France 31 Vecteurs et covecteurs n Vocabulaire Vecteur= vecteur tangent = vecteur contravariant = tenseur (1,0) Covecteur= vecteur cotangent = vecteur covariant = tenseur (0,1) = 1-forme n Exemple Une guêpe se dirige vers un pot de miel La vitesse de la guêpe en un point est un vecteur Le gradient de lodeur de miel est un covecteur Relier vitesse de la guêpe et intensité de lodeur nécessite une notion de distance n Dualité Un covecteur f prend un vecteur V et en fait un nombre Un vecteur V prend un covecteur f et en fait un nombre Un nombre résulte de lassociation dun vecteur et dun covecteur n On se doute bien qu il doit y avoir un lien entre un vecteur et un covecteur

33 Relativité générale 32 Alain Bouquet - PCC Collège de France 32 Tenseurs n Tenseur (0,l) Fonction en un point P de la variété, qui prend l vecteurs en entrée et renvoie un nombre, qui dépend linéairement de chacun des l vecteurs dentrée n Un covecteur est donc un tenseur de rang (0,1) n Coordonnées Dans les coordonnées locales x a, un tenseur T de rang (0, l) a pour composantes T a…b avec l indices « en bas » n Tenseur (k,l) Fonction en un point P de la variété, qui prend k covecteurs et l vecteurs en entrée et renvoie un nombre, qui dépend linéairement de chacune des entrées n Un vecteur est donc un tenseur de rang (1,0) n Coordonnées Dans les coordonnées locales x a, un tenseur T de rang (k, l) a pour composantes T a…b m…n avec k indices « en haut » et l indices « en bas »

34 Relativité générale 33 Alain Bouquet - PCC Collège de France 33 Métrique n Tenseur symétrique de rang (0,2) En chaque point de la variété, il absorbe 2 vecteurs U et V et il renvoie un nombre g(U,V) le « produit scalaire » des 2 vecteurs n La métrique mesure longueurs || U || 2 g(U,U) et angles Cos(U,V) g(U,V) / || U || || V || n Coordonnées Le tenseur g a pour composantes g ab et on peut écrire : g(U,V) = g ab U a V b n Lien entre vecteurs et covecteurs On peut aussi bien considérer que la métrique transforme un vecteur V [V a ] en un covecteur V défini par : V a g ab V b On vérifie que V (W) = V a W a = g(V,W) n Métrique inverse Tenseur symétrique de rang (2,0) tel que g ab g bc = a c Cela permet de « monter » les indices V a g ab V b

35 Relativité générale 34 Alain Bouquet - PCC Collège de France 34 Transport parallèle n On veut comparer des tenseurs en des points différents P et Q n Intuitivement Le transport parallèle associe à un tenseur V (en P) un tenseur V (en Q) dune façon : 1) linéaire 2) compatible avec la métrique [i.e. si V V et W W, g(V,W) = g(V,W)] le transport parallèle préserve longueurs et angles 3) sans torsion [i.e. un vecteur de direction A transporté // à B aboutit au même point qu un vecteur de direction B transporté // à A] le transport parallèle ne «tourne» pas le tenseur Il faut dabord se donner un chemin allant de P à Q. Un type de connexion parmi dautres P Q

36 Relativité générale 35 Alain Bouquet - PCC Collège de France 35 Connexions et holonomie n Fibrés Espace de base : la variété M Fibre : une symétrie locale sur M n Une courbe fermée dans lespace (de base) ne lest pas dans la fibre, et on passe dune extrémité à l autre par une transformation du groupe dholonomie n Connexion sur un fibré Une prescription pour relier la position le long de la fibre en P et la position en Q Q P P

37 Relativité générale 36 Alain Bouquet - PCC Collège de France 36 Connexion affine n Connexion affine – Champ de vecteurs A a (x) – Naïvement on dirait que A a (x+dx) = A a (x) + b A a (x) dx b – Mais lobjet b A a (x) dx b na, en général aucune raison dêtre un vecteur – On va ajouter une contribution || A a pour corriger cette transformation – Et on demande que || A a soit linéaire en dx a (= affine) : || A a = a bc dx b A c La donnée des valeurs de définit la connexion affine dans les coordonnées choisies A priori, on peut choisir nimporte quoi à condition bien sûr daboutir à un tenseur pour lobjet déplacé n Loi de transformation x a a bc a bc = [ x a / x m ][ x n / x b ][ x p / x c ] m np + ][ x q / x b x c ][ x a / x q ] nest pas un tenseur

38 Relativité générale 37 Alain Bouquet - PCC Collège de France 37 Dérivation covariante n Dérivée covariante D b A a b A a + a bc A c Souvent notée A a ;b. Le long dun chemin C (s), le vecteur tangent est z b = dx b /ds Un vecteur A a est transporté parallèlement le long de C si z b D b A a = 0 n Transport parallèle On dira que le vecteur A est transporté parallèlement de x à x+dx si ses composantes satisfont A a (x+dx) = A a (x) + b A a dx b + a bc A b dx c soit dx b D b A a = 0 n A ce stade, il ny a pas besoin de métrique Un vecteur transporté parallèlement de P à Q le long dune courbe C nest pas le même quun vecteur transporté parallèlement le long dune autre courbe C

39 Relativité générale 38 Alain Bouquet - PCC Collège de France 38 Dérivée covariante n Vecteur D a A m = a A m + m ab A b n Covecteur D a A m = a A m – n am A n n Tenseur quelconque D a T mn… kl… = a T mn… kl… + m ab T bn… kl… + n ab T mb… kl… – b ak T mn… bl… … Avec une connexion + m ab pour chaque indice contravariant m et une connexion – a bk poour chaque indice covariant k n Remarque D a A b – D b A b = a A b – b A a n La dérivée covariante suit les règles habituelles de dérivation D a (AB) = D a B + B D a B pour tout tenseur A et B

40 Relativité générale 39 Alain Bouquet - PCC Collège de France 39 Connexion métrique (symbole de Christoffel) n La connexion affine ne suppose pas lexistence dune métrique (elle est définie par la seule exigence que la dérivée covariante soit… covariante) n Quand existe une métrique, on souhaite que le transport parallèle conserve aussi les angles et les longueurs des vecteurs Donc que g(A,B) = g ab A a B b soit invariant le long d une courbe C (s) d(g ab A a B b )/ds = 0 = [ g ab / x c ][dx c /ds] A a B b + + g ab [dA a /ds] B b + g ab A a [dB b /ds] Equation vraie pour toute courbe C et tout vecteur A et B, doù : 0 = g ab / x c – g bd d ac – g ad d bc n Soit, par astucieuse combinaison linéaire a bc = g ad [ g bd / x c + g cd / x c – g bc / x d ]/ 2 n La connexion métrique sappelle aussi « symbole de Christoffel » n Propriété importante D a g mn =0 que l on peut utiliser inversement comme définition de la connexion métrique

41 Relativité générale 40 Alain Bouquet - PCC Collège de France 40 Géodésiques n Une géodésique est une courbe dont le vecteur tangent est transporté parallèlement à lui- même n Exemple simple : la sphère n Exemple simple : le plan euclidien Autrement dit : on va « tout droit » !

42 Relativité générale 41 Alain Bouquet - PCC Collège de France 41 Equation des géodésiques Le transport parallèle entre deux points de la géodésique C (s) transforme un vecteur tangent z a (s) en vecteur tangent. Doù : d z a /ds = – a bc z b [dx c /ds] Choix particulier z a = dx a /ds d[dx a /ds]/ds = – a bc [dx b /ds][dx c /ds] d 2 x a /ds 2 + a bc [dx b /ds][dx c /ds] = 0 n Trajectoire dune particule libre d 2 x a /ds 2 = g ad [ g bd / x c + g cd / x b – g bc / x d ] [dx b /ds][dx c /ds] n Paramétrisation affine Léquation d une géodésique garde la même forme pour s a s + b n Le ds 2 La longueur du vecteur tangent reste par définition constante le long de la géodésique

43 Relativité générale 42 Alain Bouquet - PCC Collège de France 42 Riemann n Bernhard Riemann : thèse de doctorat C 1851 : surfaces de Riemann sur C 1853 : intégrale de Riemann 1854 : variétés riemanniennes 1859 : la fonction de Riemann (s) = n -s et la conjecture : les zéros de ont une partie réelle = 1/2

44 Relativité générale 43 Alain Bouquet - PCC Collège de France 43 Le tenseur de Riemann n Circuit fermé Prenons un vecteur A Transport parallèle dans la direction B Transport parallèle dans la direction C Transport parallèle dans la direction -B Transport parallèle dans la direction -C n La différence entre A et A est un vecteur, et on peut écrire : A – A = – 2 R (B,C,A) + O( 3 ) R est un objet à qui on fournit 3 vecteurs et qui renvoie un vecteur. Cest donc un tenseur de rang (1,3) défini en chaque point de la variété, le tenseur de Riemann n Le tenseur de Riemann indique comment un transport parallèle le long dun chemin fermé modifie un vecteur. Cette modification est ce quon appelle la courbure de la variété A B C A Le vecteur A est devenu le vecteur A

45 Relativité générale 44 Alain Bouquet - PCC Collège de France 44 Le tenseur de Riemann (suite) n Variation sur le thème : par divers chemins on arrive à diverses fins n Commentaires Le tenseur de Riemann mesure la non-commutativité des translations Rien noblige le chemin à être un parallélogramme, ni même à être formé de géodésiques ! La différence entre les vecteurs darrivée selon 2 chemins différents est proportionnelle à laire enclose par ces chemins Autrement dit : lintégrale de la connexion le long dun chemin est égale à lintégrale de la courbure sur laire bordée par le chemin : Stokes ? On devine donc que la courbure est la « dérivée » de la connexion R ~ d A C B A1A1 A2A2 Le tenseur de Riemann mesure la différence entre A 1 et A 2

46 Relativité générale 45 Alain Bouquet - PCC Collège de France 45 Le tenseur de Riemann (suite, encore) n Le tenseur de Riemann est donc le commutateur des dérivées covariantes R a bcd A d [ D b D c – D c D b ] A a n Doù lexpression du tenseur de Riemann en fonction de la connexion R a bcd = c a bd – d a bc + + a rc r bd – a rd r bc n Notons bien que le tenseur de Riemann existe même si la variété nest pas une variété métrique n Le tenseur de Riemann mesure la différence entre le résultat de 2 déplacements successifs et le résultat de la succession dans lordre inverse n Le déplacement (infinitésimal) du vecteur A est donné par la dérivée covariante D b A a b A a + a bc A c Le vecteur R (B,C,A) a pour composantes R (B,C,A) a = R a bcd A b B c C d

47 Relativité générale 46 Alain Bouquet - PCC Collège de France 46 Le tenseur de Riemann (suite, toujours) n Pour des covecteurs ou des tenseurs, les équations sont similaires à celle pour un vecteur : [D b D c – D c D b ] U d R a bcd U a [D b D c – D c D b ] T de R a bcd T ae + + R a bce T ad n Quand on dispose d une métrique, on peut définir le tenseur complètement covariant R abcd g ae R e bcd n Symétries A partir de la définition (ou de lexpression) de R abcd, on vérifie que ce tenseur possède plusieurs symétries par permutation dindices : R abcd = – R abdc R abcd = – R bacd R abcd = R cdab plus la relation cyclique R abcd + R acdb + R adbc = 0 Il ne serait pas inutile de vérifier toutes ces formules, une faute de frappe n est jamais exclue…

48 Relativité générale 47 Alain Bouquet - PCC Collège de France 47 Le tenseur de Riemann (on continue…) n Ces symétries du tenseur de Riemann impliquent quil ny a pas n 4 composantes indépendantes mais seulement n 2 (n 2 -1)/12 n Remarquons quil ne peut y avoir de courbure intrinsèque en n = 1 dimension. n En n = 2 dimensions (les surfaces), il existe un seul degré de liberté, la courbure gaussienne n Mais 6 pour n = 3 et 20 pour n = 4 n Le tenseur de Riemann spécifie complètement la courbure dune variété (si elle est simplement connexe) n La variété est plate si le tenseur de Riemann est nul en tout point n Cela est alors vrai pour tout choix de coordonnées n La connexion est elle aussi identiquement nulle dans ce cas La connexion est nulle en un point dans un système de coordonées adéquat (inertiel), mais si le tenseur de Riemann est nul, cest aussi vrai des dérivées de la connexion

49 Relativité générale 48 Alain Bouquet - PCC Collège de France 48 Le tenseur de Riemann (enfin la fin !) Et avec une métrique g ? Avec la connexion de Christoffel, sexprime en fonction du tenseur métrique g et de ses dérivées 1 Le tenseur de Riemann sexprime alors en fonction de g et de ses dérivées 1° et 2° n Remarque On ne peut construire aucun tenseur utile à partir de la métrique g et de ses dérivées premières, puisque [principe déquivalence] on peut les annuler dans un référentiel inertiel. Il faut donc aller jusquaux dérivées secondes. Le tenseur de Riemann est le seul tenseur qui soit linéaire dans les dérivées secondes. Cest le seul objet utilisable pour géométriser la gravitation.

50 Relativité générale 49 Alain Bouquet - PCC Collège de France 49 Le tenseur de Ricci n Tenseur de Ricci Par contraction du tenseur de Riemann : R ab = – R m amb Le tenseur de Ricci est symétrique R ab = R ab Il a donc n(n+1)/2 composantes indépendantes, soit 6 pour n = 3 et 10 pour n = 4. n Scalaire de Ricci On contracte une dernière fois R = g ab R ab n Dépendances et indépendances Pour n = 1, la variété est plate Pour n = 2, la géométrie est définie par la seule courbure gaussienne R en chaque point, le tenseur de Riemann est juste : R abcd = R [g ac g bd – g ad g bc ]/ 2 Pour n = 3, les 6 composantes indépendantes du tenseur de Riemann sont déterminées par celles du tenseur de Ricci Pour n = 4, les 10 composantes indépendantes du tenseur de Ricci ne peuvent suffire à déterminer les 20 composantes indépendantes du tenseur de Riemann. Il « reste » le tenseur de Weyl.

51 Relativité générale 50 Alain Bouquet - PCC Collège de France 50 Le tenseur de Weyl n Conceptuellement Weyl = Riemann – Ricci n Mathématiquement W abcd R abcd – 2/(n-2) [g ac R bd – g ad R bc – g bc R ad + g bd R ac ] n Symétries Le tenseur de Weyl est défini de telle sorte que toute contraction sur 2 indices soit nulle : W a bad Autrement dit, le tenseur de Weyl est la partie de trace nulle du tenseur de Riemann n Degrés de liberté Le tenseur de Weyl possède évidemment n(n+1)(n+2)(n – 3)/12 composantes indépendantes (pour n>2) soit 0, 0, 0 et 10 pour n=1, 2, 3 et 4 dim n Einstein, Ricci, Riemann Le tenseur énergie-impulsion (= la distribution de matière) fixe le tenseur de Ricci (équation dEinstein cf. infra). En 1, 2 et 3 dimensions, le tenseur de Weyl est nul et le tenseur de Riemann est entièrement déterminé par le tenseur de Ricci. Ce nest plus le cas à 4 dimensions. Conséquence : il peut exister une courbure en dehors des masses en 4D.

52 Relativité générale 51 Alain Bouquet - PCC Collège de France 51 Signification physique n Un nuage de particules Un volume initialement sphérique se déforme peu à peu Dans lapproximation linéaire, la sphère peut – soit se dilater homothétiquement – soit se déformer en ellipsoïde n Déviation des géodésiques Soit une particule libre au point P de 4-vitesse V, et une seconde au point Q au repos par rapport à la première. La 4-vitesse V de la 2° particule est donc la //-transportée de V de P à Q et le diagramme despace-temps est V P Q Mais V finit par différer de V si lespace-temps a une courbure : les géodésiques dévient lune de lautre Ricci Weyl Les ondes gravitationelles sont liées au tenseur de Weyl

53 Relativité générale 52 Alain Bouquet - PCC Collège de France 52 Identité de Bianchi n Relation (cyclique) entre les dérivées du tenseur de Riemann D e R abcd + D c R abde + D d R abec = 0 n Pour le tenseur de Ricci On contracte sur les indices b et e g be D e R abcd + D c R ad – D d R ac = 0 puis sur les indices a et c g be D e R bd + g ac D c R ad – D d R = 0 on monte tous les indices par g df D e R ef + D c R cf – D d g df R = 0 qui sécrit aussi D a [ 2R ab – g ab R] = 0 n Remarque Identité de Bianchi ~ invariance de jauge n Signification physique Le tenseur G ab = R ab – g ab R/ 2 joue un rôle central dans la théorie de la relativité générale : cest le tenseur dEinstein ! Ce rôle central vient précisément de ce quil est conservé, tout comme le tenseur énergie-impulsion (conservé via Noether). Léquation dEinstein pose en effet tout simplement légalité de ces deux tenseurs. La dérivée covariante commute avec le tenseur métrique

54 Relativité générale 53 Alain Bouquet - PCC Collège de France 53 Et la gravitation dans tout çà ? n Les théories métriques de la gravitation possèdent 2 volets : 1) La matière courbe la géométrie 2) La géométrie dicte le mouvement de la matière n Le second volet est commun à toutes les théories métriques La matière suit les géodésiques de la variété riemannienne n Mais comment implémenter le premier volet ? n Plusieurs voies dapproche – Partir de la théorie de Newton et la réécrire sous forme covariante – Partir dune théorie lagrangienne des champs, insérer le tenseur métrique à la place de celui de Minkowski pour obtenir linteraction de la matière avec la gravitation, et imaginer un lagrangien pour la gravitation – Rechercher un lagrangien invariant par difféomorphisme, à la manière de linvariance de jauge n Plusieurs théories sont ainsi possibles

55 Relativité générale 54 Alain Bouquet - PCC Collège de France 54 Le tenseur énergie-impulsion n Objectif : décrire la matière Tenseur T de rang (0,2) Etant donnés 2 vecteurs A et B au point P, T (A,B) est un nombre qui indique la quantité dimpulsion- énergie dans la direction A qui passe au point P dans la direction B n Tenseur symétrique T ab = T ba n Tenseur conservé D a T ab = 0 Par application du théorème de Noether (conservation de lénergie et de limpulsion en cas dinvariance vis à vis des translations dans le temps et lespace) n Dans lespace de Minkowski – T 00 est la densité dénergie – T 0j est le flux dénergie dans la direction j, T i0 est la densité de limpulsion dans la direction i – T ij est le flux – dans la direction j – de limpulsion dans la direction i B A P

56 Relativité générale 55 Alain Bouquet - PCC Collège de France 55 Premiers essais n Courbure = matière n Proposition de Nordström (1913) Construire la théorie la plus simple reliant le tenseur de Riemann et le tenseur énergie-impulsion On peut construire un scalaire à partir du tenseur de Riemann, le scalaire de Ricci R On peut construire un scalaire à partir du tenseur énergie-impulsion, sa trace T Essayons R = 8πG T n Réussite partielle : on retrouve au 1° ordre la théorie de Newton n Echec final : mauvais périhélie n Deuxième essai (Einstein 1915) On est sur la bonne voie puisquon nest pas loin de la théorie de Newton Prenons le tenseur énergie-impulsion complet T ab, et un tensur de rang 2 lié au tenseur de Riemann à gauche Le choix le plus immédiat est le tenseur de Ricci R ab R ab = 8πG T ab n Conservation de lénergie D a T ab = 0 Mais D a R ab 0 [Identité de Bianchi !]

57 Relativité générale 56 Alain Bouquet - PCC Collège de France 56 Equation dEinstein n Nous avons 1) La conservation de l énergie : D a T ab = 0 2) Lidentité de Bianchi : D a [R ab – g ab R / 2 ] = 0 3) La nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique : D a g ab = 0 n Doù la forme possible [R ab – g ab R / 2 ] + g ab = 8πG T ab qui ne redonne la théorie de Newton au 1° ordre que si 0 (sinon on a une force répulsive augmentant avec la distance) n Comptages Léquation dEinstein est une équation tensorielle de rang 2 symétrique, elle a 10 composantes indépendantes (en 4 dimensions) Mais la loi de conservation fournit 4 équations de contrainte Il reste donc 6 équations pour déterminer les 10 composantes indépendantes du tenseur métrique Si on connaît les « sources », on peut en principe résoudre cette équation en tout point, avec 4 paramètres libres, les 4 coordonnées Mais cela ne détermine pas totalement le tenseur de Riemann : le tenseur de Weyl nest pas déterminé par les « sources »

58 Relativité générale 57 Alain Bouquet - PCC Collège de France 57 Limite newtonnienne n Gravitation faible n Espace-temps « presque » plat g ab = ab + h ab g ab = ab – h ab + O (h 2 ) a bc = ad [ c h bd + c h cd – d h bc ]/ 2 R a bcd = c a bd – d a bc + O (h 2 ) R ab = c c ab – a c bc + O (h 2 ) R = a b h ab – 2 h cc + O (h 2 ) n Equation des géodésiques d 2 x a /ds 2 + a bc [dx b /ds][dx c /ds] = 0 Particule lente dx a /ds ~ {1,0,0,0} d 2 x a /ds 2 + a 00 = 0 d 2 x a /ds 2 = a h 00 / 2 n On retrouve léquation de Newton d 2 x a /ds 2 = – a [où est le potentiel de gravitation] en identifiant à –h 00 /2 n Et dans léquation dEinstein ? Pour de la matière faiblement mobile, « non-relativiste » le tenseur énergie impulsion se réduit à T 00 = le tenseur de Ricci à R 00 = – 2 h 00 /2 le scalaire de Ricci à R = i j h ij – 2 [h 00 – h ij ] n On aboutit à léquation de Poisson = 4πG Cest pourquoi on a choisi 8πG comme constante de proportionnalité dans léquation dEinstein

59 Relativité générale 58 Alain Bouquet - PCC Collège de France 58 Action dEinstein-Hilbert-Cartan n Principe daction La trajectoire dune particule libre minimise I = ds où ds 2 = g ab dx a dx b n Gravitation Comment écrire un lagrangien pour la gravitation pure ? Il faut un scalaire construit à partir du tenseur de courbure On prend le scalaire de Ricci R doù : I = R -g d 4 x Le -g = -det(g ab ) sert à rendre la mesure d 4 x invariante par changement de coordonnées Variation infinitésimale g ab -g -g [1 + g a a / 2 ] R R – R ab g ab + dérivée totale n Doù la variation de laction I =–g d 4 x {– R ab + R g ab / 2 } g ab n Donc : I = 0 R ab – R g ab / 2 = 0 qui est l équation dEinstein pour la gravitation pure (sans « source ») n Le terme de source (T ab ) vient du lagrangien de la matière

60 Relativité générale 59 Alain Bouquet - PCC Collège de France 59 Isométries n Une isométrie est une application entre deux espaces métriques qui préserve les distances d(f(P),f(Q)) = d(P,Q) n Isométries du plan – Rotations – Translations – Réflexions – Identité P Q f(P) f(Q) f

61 Relativité générale 60 Alain Bouquet - PCC Collège de France 60 Isométries et symétries n Une isométrie est une symétrie de la métrique – La métrique de la sphère en 2 (ou n) dimensions possède une symétrie par rotation – La métrique de Minkowski a pour groupe disométrie le groupe de Poincaré i.e. les transformations de coordonnées correspondantes laissent la métrique invariante n Explicitement Changement de coordonnées x a y a [x a ] Métrique dans ces coordonnées : g ab (y[x]) = [ x c / y a ][ x d / y b ] g cd (x) Isométrie : g ab (x) = g ab (x) Rappel Transformation active : la variété subit la transformation Transformation passive : ce sont les coordonnées qui subissent la transformation Rappel Transformation active : la variété subit la transformation Transformation passive : ce sont les coordonnées qui subissent la transformation Soit le point P, qui a les mêmes coordonnées dans le nouveau système de coordonnées que le point P dans lancien système: y a (P)=x a (P) La nouvelle métrique au point P a la même dépendance dans les coordonnées que lancienne au point P. Soit le point P, qui a les mêmes coordonnées dans le nouveau système de coordonnées que le point P dans lancien système: y a (P)=x a (P) La nouvelle métrique au point P a la même dépendance dans les coordonnées que lancienne au point P.

62 Relativité générale 61 Alain Bouquet - PCC Collège de France 61 Physiquement n Voisinage dun point P n Le voisinage du point P après la transformation est identique au voisinage du point P avant la transformation. n Transformation (difféomorphisme ou changement de coordonnées) n Il peuvent être envoyés l un sur l autre en préservant toutes les propriétés métriques (angles et distances) P P

63 Relativité générale 62 Alain Bouquet - PCC Collège de France 62 Dérivée de Lie n Symétrie continue n Transformation infinitésimale La variété est identique au terme dun déplacement infinitésimal dans la direction du changement de coordonnées x a y a [x] = x a + V a [x] Dérivée de Lie de dans la direction V a L V = V a a n Pour un scalaire, cest simplement la dérivée directionnelle normale La fonction possède une symétrie quand la dérivée de Lie sannule dans la direction correspondante Ne nous limitons pas aux symétries de la métrique, généralisons aux symétries de fonctions ou de champs de vecteurs. Scalaire (x) On compare (y[x]) à (y[x]) = (x) ou (x) à (x), ce qui est équivalent (y[x]) - (y[x])= (x+ V) - (x) = V a a + O ( 2 )

64 Relativité générale 63 Alain Bouquet - PCC Collège de France 63 Dérivée de Lie dun vecteur n Partons dun champ de vecteurs W a (x) On a W a (y[x]) = W a (x) + V b b W a (x) Dautre part y a / x b = a b + b V a (x) Donc W a (y[x]) = [ y a / x b ] W b (x) = W a (x) + W b b V a (x) n Ce qui amène à définir la dérivée de Lie de W dans la direction V L V W a = V b b W a – W b b V a L V W a = V b D b W a – W b D b V a n La dérivée de Lie est anti- symétrique L V W = [V,W] = – L W V n Cest un crochet de Lie, i.e. elle satisfait lidentité de Jacobi [V,[W,X]] + [X,[V,W] + [W,[X,V] = 0 n Cela donne à lespace des champs de vecteurs une structure dalgèbre de Lie Cest lalgèbre diff (M) du groupe Diff(M) des difféomorphismes

65 Relativité générale 64 Alain Bouquet - PCC Collège de France 64 Isométries et vecteurs de Killing n Dérivée de Lie de la métrique L V g ab = V c D c g ab + g ac D b V c + g cb D a V c n Un (champ de) vecteurs V satisfaisant cette équation est un vecteur de Killing n Les vecteurs de Killing forment une algèbre de Lie : si V et W sont des vecteurs de Killing, [V,W] est aussi un vecteur de Killing C est bien sûr une (sous)algèbre de diff (M) n Exemple : les vecteurs de Killing de la métrique de Minkowski engendrent lalgèbre de Lie du groupe de Poincaré L V g ab = g ac D b V c + g cb D a V c ou n Une transformation infinitésimale de coordonnées est une isométrie si L V g ab = 0 soit D a V b + D b V a = 0 L V g ab = D a V b + D b V a

66 Relativité générale 65 Alain Bouquet - PCC Collège de France 65 Exemples de vecteurs de Killing n Prenons la 2-sphère n Elle est invariante par rotation On attend donc comme vecteur de Killing Composantes V = 1, V = 0 Métrique d 2 + sin 2 d 2 Covecteur V = sin 2, V = 0 n Equation de Killing D a V b +D b V a =0 D V = V - a V a = – sin 2 = 0 D V + D V = V - a V a + V - a V a = 2sin cos – 2cot sin 2 = 0 D V = V - a V a = 0 n Cest bien un vecteur de Killing n Il y a 2 autres vecteurs de Killing – – cos + cot sin – sin + cot cos Avec, ils forment les 3 générateurs des rotations

67 Relativité générale 66 Alain Bouquet - PCC Collège de France 66 Encore des vecteurs de Killing n Dans lespace euclidien à 3 dimensions – T 1 = x – T 2 = y – T 3 = z – R 1 = y z – z y – R 2 = z x – x z – R 3 = x y – y x Engendrant translations et rotations n Dans lespace de Minkowski Dix vecteurs de Killing : 4 translations – T i (i = 0, 1, 2, 3) 3 rotations dans lespace – R i (i = 1, 2, 3) 3 « boosts » de Lorentz – L i (i = 1, 2, 3)

68 Relativité générale 67 Alain Bouquet - PCC Collège de France 67 Espaces symétriques n On ne connaît pas beaucoup de solutions exactes de l équation dEinstein n En fait, on nen connaît que pour des espaces-temps symétriques – Statique à symétrie sphérique Schwarzschild – Espace maximalement symétrique Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker n Difféomarphisme/chgt coord. x a y a [x a ] Métrique dans ces coordonnées : g ab (y[x]) = [ x c / y a ][ x d / y b ] g cd (x) Isométrie : g ab (x) = g ab (x) pour tout x Infinitésimal équation de Killing x a y a [x] = x a + V a [x] D a V b + D b V a = 0 Isométries vecteurs de Killing V Variété de dimension n il existe au maximum n(n+1)/ 2 isométries n Isotropie n Homogénéité

69 Relativité générale 68 Alain Bouquet - PCC Collège de France 68 Homogénéité, isotropie n Isotropie On peut alors permuter les n vecteurs de base de lespace tangent en un point n(n–1)/2 permutations Le tenseur de Riemann prend alors une forme très simple R abcd = K (g ac g bd – g ad g bc ) La courbure gaussienne K peut varier dun point à un autre Espace(-temps) plat K = 0 Ces isométries sont des rotations et/ou des transformations de Lorentz n Homogénéité Il existe des isométries transportant la métrique dun point à un autre En dimension n, il y a n isométries, et n vecteurs de Killing correspondants En espace(-temps) plat, ce sont de simples translations dans lespace et dans le temps

70 Relativité générale 69 Alain Bouquet - PCC Collège de France 69 Espaces maximalement symétriques n Homogénéité + isotropie Comptons les isométries : n + n(n-1)/2 = n(n+1)/2 translations « rotations » n La symétrie est donc maximale La courbure K est constante sur toute la variété RicciR ab = K (n–1) g ab etR = K n (n–1) n Métrique g ab = ab + K x a x b /[1 – K x c x c ] Entièrement déterminée par la courbure K et la dimension n de lespace-temps

71 Relativité générale 70 Alain Bouquet - PCC Collège de France 70 Sous-espaces maximalement symétriques n On ne veut pas dun espace-temps maximalement symétrique, juste un sous-espace ! n Séparons les coordonnées x en 2 groupes u et v et demandons que le sous-espace engendré par les u soit maximalement symétrique n La métrique prend alors une forme ds 2 = g ab (v) dv a dv b + f(v) g ij (u) du i du j où g ij (u) est maximalement symétrique n Prenons un exemple au hasard n Espace-temps à 4 dimensions avec un sous-espace à 2 dimensions de symétrie sphérique Coordonnées u : et ou plus exactement sin cos et sin sin Coordonnées v : t et r n Alors g ij (u) = ij + K u i u j /[1 – K u k u k ] g ij (u) du i du j = d 2 + sin 2 d 2 et ds 2 = g tt (t,r)dt 2 + 2g tr (t,r)dtdr + g rr (t,r)dr 2 – f(t,r)[d 2 + sin 2 d 2 ]

72 Relativité générale 71 Alain Bouquet - PCC Collège de France 71 Métrique de Schwarzschild n Elle découle immédiatement de n Solution statique de léquation d Einstein dans le vide G ab = 0 A et B ne dépendent que de r et toutes les dérivées par rapport au temps sont nulles n Cela donne un jeu d équations sur A, B et leurs dérivées 1° et 2° par rapport à r n On aboutit à la forme canonique A( r) = 1/B( r) = 1 – k/r où k est une constante dintégration Limite newtonienne k = 2GM/c 4 n Par changement de variables ds 2 = A(t,r)dt 2 – B(t,r)dr 2 – r 2 [d 2 +sin 2 d 2 ] n Un peu de calcul tensoriel – On calcule les connexions – On calcule le tenseur de Riemann R abcd – On le contracte pour obtenir le tenseur de Ricci R ab – On le contracte pour obtenir le scalaire de Ricci R – On calcule le tenseur dEinstein G ab ds 2 = g tt (t,r)dt 2 + 2g tr (t,r)dtdr + g rr (t,r)dr 2 – f(t,r)[d 2 + sin 2 d 2 ]

73 Relativité générale 72 Alain Bouquet - PCC Collège de France 72 Métrique de Robertson & Walker n Cette fois on demande que lespace (à 3 dimensions) ait une symétrie maximale n Il y a 3 coordonnées u et une seule coordonnée v (de genre temps) n La métrique a donc la forme ds 2 = g(v) dv 2 + f(v) g ij (u) du i du j où g ij (u) est maximalement symétrique ds 2 = g(v)dv 2 + f(v)[du 2 + K(u.du) 2 /(1–Ku 2 )] n Changement de variables – dt = dv/g(v) – u 1 = r sin cos – u 1 = r sin sin – u 1 = r cos – a 2 (t) = f(v) n Forme « canonique » R.W. ds 2 = dt 2 – a 2 (t) [dr 2 /(1-Kr 2 ) + r 2 d 2 + r 2 sin 2 d 2 ] n On peut toujours redéfinir r tel que |K| = 1 ou 0 On peut aussi effectuer le changement r tel que d 2 = dr 2 /(1-Kr 2 ) r 2 = S K ( )

74 Relativité générale 73 Alain Bouquet - PCC Collège de France 73 Nunc dimittis Quand je connaissais peu de choses, javais beaucoup de certitudes. Plus japprends et moins je suis sûr. Principe dincertitude


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