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Calcul et Numération du CP au CE1 2ème partie Crée par Véronique Jullien - CPC Saint Sébastien Vertou -

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1 Calcul et Numération du CP au CE1 2ème partie Crée par Véronique Jullien - CPC Saint Sébastien Vertou -

2 A - laddition des nombres à 2 ou 3 chiffres Laddition naturelle améliore la connaissance de la numération décimale Laddition naturelle est une technique orale employée souvent par des gens non scolarisés et qui consiste à commencer par compter les centaines, les dizaines puis les unités = ou même = Soit lenfant a mémorisé égal 60 Soit lenfant sait retrouver cette relation en disant 20 cest 2 dix, 40 cest 4 dix… Soit quil compte de 10 en 10 : 10, 20, 30 … Dans ce cas on favorisera le passage à une deuxième formulation du type 1 dix, 2 dix 20, 3 dix trente… Daprès les travaux de Rémi Brissiaud

3 Enseigner laddition naturelle avant laddition en colonne de manière à ce que lélève comprenne bien le sens de ce quil fait dans la technique en colonne. Seul problème restant à résoudre : la retenue = On procèdera selon le même principe pour les nombres à 3 chiffres La signification des chiffres est souvent perdue 5 plus 3, 8 pour 8 unités et 2 plus 4, 6 pour 6 dizaines Daprès les travaux de Rémi Brissiaud On favorisera cette oralisation tout au long de l'apprentissage On favorisera le retour à la dizaine : c'est …donc une dizaine de plus… Afin que l'élève donne du sens à la retenue.

4 Quelles sont les difficultés des élèves dans la résolution de problème ? B – Enseigner la résolution de problèmes

5 Pour résoudre un problème Il existe deux voix de résolutions Opérations itérées, dessin, schéma … « Solution personnelle » Opérations attendues « Solution experte »

6 Certains élèves ne reconnaissant pas lopération ou les opérations attendues ne sautorisent pas ou nenvisagent pas une solution personnelle. La tradition scolaire offre une part très importante aux problèmes dapplication : problèmes que lélève doit être capable de résoudre avec une solution experte déjà rencontrée et entraînée de nombreuses fois. A 15 ans, les élèves français obtiennent des résultats supérieurs à la moyenne de lOCDE, en résolution de problèmes dapplication. Mais ce nest plus le cas lorsquils sont confrontés à des problèmes qui nécessitent une prise dinitiative : les problèmes pour chercher. Problèmes pour lesquels les élèves ne disposent pas de la technique opératoire attendue étant donné son âge et son niveau de classe. Lenjeu de lécole primaire est de travailler la prise dinitiative faire en sorte que lélève prenne conscience quavec des connaissances réduites de linitiative et un peu dimagination il est possible de résoudre des problèmes complexes. Une priorité : la Démarche de résolution

7 Comment arriver à ce que lélève se construise une démarche de résolution de problème ? Il convient dinterroger les pratiques de classe et de les faire évoluer.

8 La tradition scolaire offre une part très importante aux problèmes numériques Cela provoque une représentation erronée de ce quest un problème. Un problème = une ou plusieurs opérations. Lélève se sert de toutes les données numériques sans exception.

9 Maman veut acheter des gâteaux. Elle a son porte-monnaie : - un billet de 10 - un billet de 5 - deux pièces de 2 - trois pièces de 1 Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7. Combien d'argent lui reste-t-il après avoir payé ? Ajout de toutes les données numériques puis retrait de la dernière « 7 » sans pour autant que le retrait ne soit pris en compte, dans la réponse.

10 La tradition scolaire offre une part très importante aux problèmes dapplication : problèmes que lélève doit être capable de résoudre avec lopération attendue et entraînée de nombreuses fois. Dans les petits niveaux de classe, on a donc tendance à donner des problèmes simples à une seule étape qui peuvent être résolus avec lopération quils connaissent. Cela génère une représentation erronée de lélève Un problème = Une opération Lélève sarrête à la première étape de résolution

11 Maman veut acheter des gâteaux. Elle a son porte-monnaie : - un billet de 10 - un billet de 5 - deux pièces de 2 - trois pièces de 1 Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7. Combien d'argent lui reste-t-il après avoir payé ? Après un premier essai, lélève représente le contenu du porte-monnaie et sarrête là. Il fait une erreur puisquil représente deux pièces de 1 au lieu de trois.

12 Proposer des problèmes de logique ne mettant en jeu aucune données numériques (Voir les documents des éditions Access : jeux de logique de …à …ans) Utiliser des situations pratiques (en contexte ou imagées) mais en faisant en sorte que les élèves soient contraints de passer par la représentation des quantités sans manipulation de balle. La résolution pratique servant dautocontrôle. Ex : Dans une classe, il y a 28 élèves ; on distribue une balle pour deux élèves. Combien faut-il de balles ? Lélève doit se représenter les quantités : envisager 28 comme une quantité de 28 unités. Lélève doit résoudre le problème numérique : se représenter 28 sous forme dune collection témoin, former des groupes de 2 et dénombrer ces groupes : 14 groupes. Lélève doit réaliser la solution : construire une collection de 14 balles. La simulation pratique permettra de vérifier la solution proposée. La résolution pratique sera utilisée comme une aide aux élèves en difficulté. Aider lélève en difficulté à raconter comment il ferait pour résoudre de façon pratique ce problème. Proposer en partie du matériel pratique : Etiquettes portant le prénom des élèves plutôt que des jetons. Daprès les travaux de Rémi Brissiaud A - Quelles pratiques mettre en place ?

13 Varier le type de problème proposé aux élèves. - D'après les travaux de Vergnaud - 4 catégories de problèmes Composition de 2 états Transformation dun état Comparaison de 2 états Composition de transformations

14 Dans un problème : ei T + ef létat initial et létat final sont connus et on recherche la transformation dont on sait en plus quelle est positive, cest-à-dire quelle correspond à une augmentation.

15 Composition de 2 états sur une quantité ou une mesure Recherche dun tout Recherche dune partie e1 e2 Ef ? Un bouquet est composé de 8 roses et 7 iris. Combien y-a-t-il de fleurs ? Une classe est composée de 25 élèves dont 14 filles. Combien y-a-t-il de garçons ? ?

16 Transformation dun état sur une quantité, une mesure, ou une position sur piste graduée / transformation positive ou négative Recherche de létat final ei t + Ef Paul avait 17 billes. Il en a gagné 5 Combien en a-t-il maintenant ? Recherche de létat initial Ei t + ef Léo a gagné 5 billes. Il en a maintenant 22. Combien en avait-il avant la partie ? Recherche de la transformation ei T+ef Léo avait 17 billes avant de jouer. Il en a maintenant 22. Combien en a-t-il gagné ? ? ? ?

17 Comparaison de 2 états sur une quantité, une mesure, ou une position sur piste graduée / comparaison positive ou négative Recherche dun état : e1c - E2 Basile a 25 ans. Il a 5 ans de moins que Steven. Quel Age a Steven ? Recherche de la comparaison : e1C - e2 Karim possède 18 voitures. Son frère Kader en possède 13. Combien de voitures Kader a-t-il en moins ? ? ?

18 Composition de transformations les transformations sont positives ou négatives Recherche de la transformation composée Kim a joué 2 parties de billes. A la 1ère il gagne 7 billes, à la 2ème il en gagne 8. Combien en a-t-il gagné en tout ? Rosa a joué 2 parties de billes. A la 1ère elle gagne 7 billes, à la 2ème elle en perd 12. Combien a-t-elle gagné ou perdu de billes ? Recherche de lune des composantes Au jeu de loie Julie joue 2 coups. Au 2ème coup elle avance de 9 cases. Au total elle s'aperçoit quelle a reculé de 4 cases. Que sest-il passé au premier coup ? T ? ? t1t2 T1 t2 t

19 B - Comment aider lélève dans la démarche de résolution ? …………………………………….. Pour la classe ……..………………………… Construire avec les élèves un affichage (et/ou outil élève ) méthodologique sur les différentes étapes de résolution de problème : - Contexte général de la situation problème - Chronologie pour les problèmes relevant d'une transformation et qui présentent une temporalité - Souligner la question à résoudre - Surligner les informations utiles dans les énoncés - Identifier et formuler les questions intermédiaires - Ecrire la phrase réponse Anticiper : penser aux différentes étapes et opérations mentales afin de prévoir la différenciation. ……..…………………….… Pour lélève en difficulté ……..…………………. Lister les étapes intermédiaires avec certains élèves. Donner un support différent sur lequel figure les étapes intermédiaires. Fournir des supports ou du matériel à manipuler pour aider aux étapes de calcul. ( Cf. Diapos à suivre) Degré détayage plus ou moins important EtayageEtayage

20 A PRATIQUER EN CLASSE ENTIERE Analyse de la chronologie des évènements pour les problèmes relevant d'une transformation On amènera les élèves en les accompagnant à perturber cet ordre chronologique pour attirer, leur attention sur le fait que dans un énoncé de problème l'ordre des évènements peut varier et donc qu'il faut bien lire tout l'énoncé pour pouvoir refaire la chronologie des évènements. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat. Après la récréation, il lui en reste 12 bâtons. Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Après la récréation, il lui reste 12 bâtons. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat. Exemple : Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation, il joue et perd 5 bâtons. Combien a-t-il de bâtons de chocolat après la récréation ?

21 Pour les amener à comprendre qu'il y a toujours une question à la fin mais qu'il ne faut pas toujours rechercher la même information, on jouera avec des caches. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat. Après la récréation, il lui en reste 12 bâtons. Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Après la récréation, il lui e reste 12 bâtons. Après la récréation, il lui reste 12 bâtons. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat. Combien lui reste-t-il de bâtons ? Combien avait-il de bâtons avant la récréation ? Combien a-t-il perdu de bâtons ?

22 OUTILS SUPPLEMENTAIRES D'AIDE à construire avec des élèves en difficulté pendant la résolution d'un problème A PRATIQUER AVEC LES ELEVES EN DIFFICULTES

23 Eclaircir le contexte du problème Eclaircir lénoncé au même titre quun texte de lecture est essentiel ; certains élèves narrivent pas du tout à se représenter le contexte de laction, son lieu, les intervenants…. De quoi parle ce texte ? Combien y a-t-il de personnes ? Que veut faire la maman ? Nb : on pourra même aller parfois jusquà mettre en scène la situation. Outil d'aide à l'analyse du contexte Maman veut acheter des gâteaux. Elle a son porte-monnaie : un billet de 10, un billet de 5, deux pièces de 2, trois pièces de 1 Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7. Combien d'argent lui reste-t- il après avoir payé ?

24 Outil d'aide au repérage de la chronologie des évènements à construire avec les élèves en difficulté pendant la résolution. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat. Après la récréation, il lui en reste 12 bâtons. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation, il joue et perd 5 bâtons. Combien a-t-il de bâtons de chocolat après la récréation ?

25 Repérer les informations utiles 1 - Où est largent de la maman ? 2 – Combien y a-t-il de billets de 10 ? 3 – Combien y a-t-il de billets de 5 ? 4 – Combien y a-t-il de pièces de 2 ? 5 – Combien y a-t-il de pièces de 1 ? 6 - Combien coûte un gâteau ? 7 - Combien la maman achète-t-elle de gâteaux ? Outil d'aide au repérage des informations utiles à construire avec les élèves en difficulté pendant la résolution Maman veut acheter des gâteaux. Elle a son porte-monnaie : un billet de 10, un billet de 5, deux pièces de 2, trois pièces de 1 Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7. Combien d'argent lui reste-t- il après avoir payé ?

26 Déterminer les étapes de la résolution 1 – Combien y a-t-il dargent dans le porte monnaie de la maman ? 2 – Combien coûtent les trois gâteaux ? 3 – Combien reste-t-il dargent dans le porte monnaie de maman après avoir acheté les gâteaux ? Amener lélève à les déterminer seul et si nécessaire les lui fournir. On ne perdra pas de vue que le but sera d'amener progressivement l'élève à l'autonomie. Maman veut acheter des gâteaux. Elle a son porte-monnaie : un billet de 10, un billet de 5, deux pièces de 2, trois pièces de 1 Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7. Combien d'argent lui reste-t- il après avoir payé ? Outil d'aide au repérage des informations utiles à construire avec les élèves en difficulté pendant la résolution

27 Des supports daide pour les phases de calculs Il ne sagit pas là de travailler la monnaie qui sera travaillée dans une séance dédiée, mais de fournir à lélève une aide lui permettant, malgré ses difficultés en matière de monnaie, daccéder à la résolution du problème.

28 Déterminer la somme dargent du porte monnaie Colorie le contenu du porte monnaie de la maman Combien la maman a-t-elle dargent ? Relie le billet ou la pièce au bon ensemble

29 Déterminer le prix des gâteaux Un gâteau coûte 7 : Reporte le prix des trois gâteaux : Peut être fait par coloriage ou découpage et report de bandes

30 Déterminer largent restant Compare le prix des gâteaux à largent du porte-monnaie 1. Reporte le prix des trois gâteaux : Reporte largent du porte-monnaie : Combien reste-t-il dargent dans le porte-monnaie de la maman ?

31 Quand la démarche personnelle est acquise certains élèves peuvent avoir des difficultés à passer à la démarche experte.

32 Comment aider lélève à passer d'une solution personnelle à l'opération attendue ? Un exemple dactivité Lenseignant dispose dune boîte dans laquelle il demande à un élève de mettre 37 cubes. Devant les élèves, il prend sur le bureau une nouvelle poignée de cubes (sans dire combien aux élèves) quil met également dans la boîte. Après avoir dénombré les cubes contenus dans la boîte et annoncé le résultat (52 cubes), il demande aux élèves de trouver combien de cubes il a lui-même mis dans la boîte. La plupart dentre eux ont recours à des solutions personnelles consistant à rechercher le complément de 37 à 52, soit en dessinant les cubes, soit en recourant à un calcul qui leur permet de trouver ce quil faut ajouter à 37 pour obtenir 52. Une écriture, utilisée par certains, peut être associée à cette résolution : 37 + … = 52. Linterrogation porte ensuite sur la validation des réponses trouvées : comment faire pour navoir dans la boîte quune quantité de cubes correspondant à celle qui a été ajoutée par lenseignant. Lidée sera certainement émise quil suffit de retirer de la boîte 37 cubes. Incités à chercher le nombre de cubes que contient alors la boîte (avant de le vérifier effectivement), il est probable que certains élèves calculeront 52 – 37. Ainsi, deux écritures peuvent être associées à la recherche de la réponse au problème initial, lune de type « recherche de complément » qui correspond au problème posé au départ, lautre de type «soustraction» qui correspond au problème posé au moment de la validation. Le commentaire formulé par lenseignant prend alors tout son sens : pour chercher le nombre de cubes qui ont été ajoutés dans la boîte, on peut soit penser aux cubes quon a ajoutés et chercher le nombre qui, ajouté à 37, permet dobtenir 52, soit imaginer quon enlève 37 cubes de la boîte et chercher le résultat de 52 – 37. (Extrait du doc. Daccompagnement/CNDP, février 2005 p 18)

33 BIBLIOGRAPHIE ET SITOGAPHIE Comment les enfants apprennent à calculer de Rémi Brissiaud Editions RETZ, Paris 2003 Site Lakanal : rubrique Outils (outils d'aide à la résolution) EN RESUME GS Donner du sens aux nombres (problèmes) Consolider des compétences "techniques", surtout orales CP/CE1 Travailler rapidement sur un domaine étendu Poursuivre le travail sur le sens (problèmes) Structurer et étendre les compétences techniques Structurer les désignations écrites, puis orales


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