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Soutenabilité, risques climatiques et équations de Reynolds moyennées (RANS) Doctorat – université de Rennes 1 – IRMAR - 31 janvier 2006 par Julien Lederer.

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1 Soutenabilité, risques climatiques et équations de Reynolds moyennées (RANS) Doctorat – université de Rennes 1 – IRMAR - 31 janvier 2006 par Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

2 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski Introduction Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Première partie : motivation Couplage finance – économie – Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS) - RANS (à 1 d° de fermeture), Finance- Economie (FE) - couplages : + FE - RANS + Black & Scholes (BSC) - RANS Soutenabilité et quelques problèmes mathématiques - critère doptimisation et soutenabilité - maximisation du critère s.c. FE-RANS - FE-RANS, BSC-RANS, RANS existence, unicité Deuxième partie : RANS 3D stationnaire sans convection avec viscosités non bornées régularisées en 0 1- Cas scalaire (sans pression et sans convection) stationnaire - formulation variationnelle : espaces de Sobolev à poids dépendant des solutions - densité de fonctions régulières / Sobolev à poids - estimations à priori - passages à la limite 2 - Cas périodique stationnaire sans convection avec pression et viscosité concave - construction de solutions régulières ( ) - estimations à priori - passages à la limite

3 Climat Finance - Economie Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski Couplage finance-économie-fluides Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 ETAT FINANCE ECONOMIECONSOMMATEURS CLIMAT (RANS) PRODUCTEURS Réglementation, contrôle (taxation, dépenses) Offre, demande, dommages Production Epargne Consommation Financement Capitalisation Transfert de risques Prix Sensibilité Externalités

4 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski Couplage finance-économie-fluides Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 ETAT FINANCE ECONOMIECONSOMMATEURS CLIMAT (RANS) PRODUCTEURS Revenus Gestion de lenvironnement, agrégation de comportements, maximisation des profits et satisfactions Production Epargne Consommation Financement Capitalisation Transfert de risques Prix Politique environnementale Climat Finance - Economie

5 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski Couplage finance-économie-fluides Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Modèles FE - RANS et BSC - RANS RANS symbolisant le climat : - océans et atmosphère centraux pour le climat => NS incompressible - équations chaotiques => probabilités => RANS - forces, domaines, sources et puits dépendant de léconomie grande complexité => HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES MAIS difficultés dues aux - viscosités turbulentes - terme quadratique de production dECT - cascade inverse en ECT Finance / Economie: - T.E.E. - lien avec le climat par les prix, usure du capital et renouvellement des matières premières - absence dopportunité darbitrage - transfert de risques par les options grande complexité mais PAS (trop) DHYPOTHESES REDUCTRICES =>ouvertures - analyse fondamentale = Keynes, néo-classiques, théorie des jeux … - analyse technique = modélisation statistico-financière

6 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski Décisions soutenables et problèmes mathématiques Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Soutenabilité et contrôle optimal Soutenabilité : - dépend des sociétés et cultures qui la définissent => consensus international et hiérarchisation de situations insoutenables - soutenabilité vérification de contraintes sur les variables détat => critère doptimisation = 1 dans le domaine et sinon - critère défini à priori ( = celui des forces politiques en place ) Exemple : limitation de la température Le problème à résoudre : maximiser (f est intégrable et = 1 lorsque la limitation est vérifiée et sinon, sous contrainte FE-RANS ou BSC-RANS, avec les contrôles des forces politiques en place)

7 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski Décisions soutenables et problèmes mathématiques Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Première partie : motivation Sous problème : existence de solutions du modèle RANS 3D + stationnaires + sans convection + avec des conditions homogènes + viscosités non bornées ( cas des viscosités bornées : Lewandowski 97, Lewandowski-Murat 97, Gallouët-Herbin 97, Brossier-Lewandowski 02, Bernardi-Chacon-Lewandowski- Murat 03) (ouvert borné et régulier 3D) Cas physique :

8 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski Décisions soutenables et problèmes mathématiques Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Première partie : motivation Contexte : - viscosités turbulentes + non bornées + dérivables en 0 et + vérifiant - terme de production quadratique - cas tri-dimensionnel stationnaire sans convection Contributions : - existence de solutions dans le cas scalaire (sans pression ni convection) sans terme de cascade inverse - existence dans le cas tri-dimensionnel périodique (avec pression) sans convection avec cascade inverse pour des viscosités concaves : estimation L infini sur lECT

9 1- Cas scalaire (Gallouët-Lederer-Lewandowski-Murat-Tartar, Nonlinear analysis TMA 03) Définitions : (ouverts bornés Lipschitziens simplement connexes) Généralisations : si le poids b et son inverse sont p-fois intégrables avec Représentation du dual, réflexivité, Banach, injections continues. Résultat : Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski Analyse fonctionnelle et quelques espaces à poids Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse déquations RANS

10 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski Analyse fonctionnelle et quelques espaces à poids Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS Densité : résultat connu (Cattiaux-Fradon). Preuve originale et plus courte (avec T. Gallouet, R. Lewandowski, F. Murat et L. Tartar) 3 étapes : densités respectives de 1. Par troncature et Lebesgue 2. et Lebesgue. 3. Convolution et convergence faible en utilisant la régularité de b puis Hahn-Banach

11 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS Résultat principal Solutions dénergie : et Système approché : viscosités bornées (existence par R.L.) et troncature du membre de droite de léquation de k.

12 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS Cas scalaire en 3D : estimations à priori Estimation standard : Boccardo-Gallouët : Principale estimation :

13 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS Cas scalaire en 3D : passages à la limite (en utilisant la densité …)

14 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS Cas scalaire en 3D : passages à la limite

15 2 - Cas périodique avec terme de cascade inverse et viscosité concave (J.Lederer et R. Lewandowski, accepté pour publication dans Ann. IHP, analyse non linéaire) Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de lECT Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS

16 Dans larticle, cas plus général : Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de lECT Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS

17 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de lECT Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS Cas périodique 3D avec terme de cascade inverse (avec R. Lewandowski) NB : la condition ci-dessus est due au terme de cascade inverse

18 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de lECT Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS Preuve en quatre étapes : 1 – Transformation du système 2 – Construction dun système approché par régularisation des viscosités et du terme de production dECT 3 – Estimations à priori 4 – Passages à la limite dans les équations

19 1- Transformation du système : (Kirchoff) en notant encore au lieu de le système devient NB : Comme on a Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de lECT Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS

20 2- Solutions approchées : - et deux fois dérivables et bornées - avec Par point fixe (Leray-Schauder), on résout où est étendu par 0 dans le complémentaire de Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de lECT Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS

21 3 – Estimations à priori : - pour les mêmes raisons que dans le cas scalaire, - comme et - on dérive formellement léquation pour le champ de vitesse : en multipliant par et en intégrant par parties (conditions périodiques), Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de lECT Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS

22 En intégrant encore par parties, Daprès léquation pour k, donc dans ce cas, comme la viscosité turbulente est minorée par une constante Comme la viscosité est CROISSANTE, POSITIVE ET CONCAVE donc Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de lECT Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS

23 On conclut en utilisant la borne pour : - une borne pour la vitesse (en particulier pour ) - une borne pour lECT (et en particulier L infini) car second membre de carré intégrable 4 – Passages à la limite : on peut remplacer par une troncature de niveau assez élevé et nous ramener au cas habituel des viscosités bornées Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de lECT Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Deuxième partie : analyse des équations RANS

24 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski Soutenabilité et risques climatiques : un domaine riche en problèmes ouverts Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Conclusion Soutenabilité => contrôle optimal … (financements F.A.O., banque mondiale, … ? ) Problèmes posés restant ouverts : + Limitation de la température sc FE-RANS + Coûts des risques climatiques sc FE-RANS + Existence et unicité pour FE-RANS et BSC-RANS + Existence et unicité pour RANS ° Cas stationnaire avec des viscosités non bornées dont linverse nest pas bornée ° Cas stationnaire non scalaire sans terme de transport dans des ouverts lipschitziens bornés simplement connexes ° Prise en compte du terme de transport ° Cas dévolution pour des viscosités non bornées avec et sans terme de transport + De Rham pour Sobolev à poids avec des poids et inverses non bornés à linfini + Densité des espaces de fonctions vectorielles à divergence nulle très régulières dans les espaces de Sobolev à divergence nulle

25 Un domaine dapplication nouveau : définition de politiques soutenables Contribution : deux résultats dexistence pour RANS, un résultat de densité Trois conjectures : + le résultat de densité sur les espaces de Sobolev à poids devrait se généraliser au cas despaces de Banach en remplaçant la condition par + le cas périodique devrait sétendre au cas douverts lipschitziens bornés et simplement connexes + De Rham : Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski Soutenabilité et risques climatiques : un domaine riche en problèmes ouverts Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Conclusion

26 FIN En remerciant les membres du jury et lassistance Doctorat – université de Rennes 1 – IRMAR - 31 janvier 2006 par Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski


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