La recherche didactique face aux problèmes et défis que rencontre aujourd’hui l’enseignement des mathématiques Michèle Artigue Université Paris 7 & IREM.

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1 La recherche didactique face aux problèmes et défis que rencontre aujourd’hui l’enseignement des mathématiques Michèle Artigue Université Paris 7 & IREM Convegno di Didattica della Matematica Piazza Armerina (Enna, Italia) 16-19 settembre 2004

2 Problèmes et défis Des discours et des actes peu cohérents: L’affirmation de la nécessité pour tous aujourd’hui d’une culture mathématique solide qui aille bien au-delà du traditionnel “savoir compter” ; mais, parallèlement une réduction générale des horaires de mathématiques et des responsables qui se vantent de n’avoir jamais rien compris aux mathématiques.

3 Problèmes et défis Une massification de l’enseignement qui le confronte à de nouveaux publics, moins adaptés culturellement avec les valeurs traditionnelles de l’école, et à une plus grande hétérogénéité. Une évolution des relations sociales entre enfants, jeunes et adultes qui déstabilise les bases des relations didactiques traditionnelles.

4 Problèmes et défis Une institution scolaire qui doit s’adapter à une évolution technologique dont les constantes de temps sont bien plus courtes que les siennes propres. Une institution scolaire qui commence à peine à savoir tirer profit des calculatrices graphiques et des logiciels de géométrie dynamique alors même qu’Internet et les technologies de l’information et de la communication modifient aujourd’hui profondément la donne technologique.

5 Problèmes et défis Tout ceci : dans un monde dans lequel l’image de la science s’est fortement dégradée, où les études scientifiques attirent de moins en moins d’étudiants; dans un monde où l’éducation est présentée comme une valeur fondamentale mais où l’on tend, chaque jour davantage, à la concevoir comme un marché ordinaire.

6 Que peut apporter la recherche didactique pour affronter ces problèmes et défis ? Des évolutions prometteuses : Une évolution des cadres théoriques qui permet une meilleure articulation du micro- didactique et du macro-didactique ; Une évolution du regard porté sur l’enseignant ; Une plus grande attention portée aux instruments matériels et symboliques de l’activité mathématique, à leûr rôle dans l’apprentissage des mathématiques, un regard plus lucide et mieux outillé pour approcher les conséquences instrumentales de l’évolution technologique.

7 L’évolution des cadres théoriques savoir élèveenseignant

8 L’évolution des cadres théoriques savoir élèveenseignant

9 La didactique française à ses débuts Une approche cognitive apportée par la théorie des champs conceptuels (Vergnaud) Mais, aussi, une théorie des situations didactiques où l’objet central n’est pas l’élève mais la situation (sociale) où cet élève interagit avec d’autres et avec les mathématiques (Brousseau), Et une théorie de la transposition didactique qui questionne de façon originale le savoir (Chevallard). Et pourtant, un déséquilibre évident

10 Le développement de la théorie anthropologique : une nouvelle vision Une vision macro-didactique où l’objet central devient l’institution. Des savoirs qui sont vus comme des objets relatifs qui émergent de pratiques institutionnelles. Des institutions qui créent des systèmes de valeurs et de normes par rapport aux savoirs et définissent, chacune à sa manière, ce que signifie connaître un objet mathématique. Mais une vision qui ne se substitue pas à l’existant mais l’enrichit, le complète et s’articule avec lui.

11 Un exemple : la thèse de B. Grugeon Le problème initial: l’échec de certains cours d’adaptation Un changement de problematique Des explications tentantes

12 Un problème de transition institutionnelle Le lycée profesionnel Le lycée général Deux institutions qui ont des rapports institutionnels à l’algèbre différents Les différences les plus problématiques sont les différences de rapports institutionnels sur des objets comnuns ; elles sont source de malentendus entre professeurs et élèves A quoi doit-on attribuer l’échec de ces élèves ?

13 Le travail de recherche dans cette nouvelle problématique La construction d’une grille multidimensionnelle d’analyse de la compétence algébrique visant à mettre en évidence des cohérences curriculaires ou cognitives et incluant : une dimension arithmétique-algèbre, une dimension formation et traitement des expressions algébriques une dimension fonctionalités de l’algèbre et rationalité algébrique une dimension articulation entre cadres et registres semiotiques du travail algébrique.

14 Les résultats La confirmation de l’existence de différences dans les rapports institutionnels relatifs à des objets communs, et de leur “invisibilité”. La mise en évidence, grâce au test associé à la grille, de cohérences de fonctionnement chez les élèves permettant d’en donner une image plus positive. L’identification de leviers plus adaptés à ces élèves pour avancer en algèbre et surmonter leurs difficultés, en tirant mieux parti de leur culture antérieure : enrichissement du travail sur les formules et articulation avec le monde fonctionnel. Une ingénierie didactique qui permit à ces élèves de sortir de l’échec et de construire progressivement un rapport à l’algèbre idoine au rapport institutionnel défini par le lycée général technologique.

15 Un nouveau regard sur l’enseignant Au départ, un enseignant qui n’est pas considéré comme un acteur problématique de la relation didactique. Puis, des difficultés résistantes dans l’articulation entre théorie et pratique qui conduisent à un développement des recherches sur l’enseignant. Une première phase : l’étude des conceptions, des croyances des enseignants sur les mathématiques, leur enseignement et leur apprentissage.

16 Un nouveau regard sur l’enseignant Les limitations de cette entrée et le développement de nouvelles approches visant à : Identifier les déterminants de l’action didactique et à comprendre le rôle exact que jouent dans ces déterminants conceptions et croyances. Identifier les différents gestes professionnels et les différents types de connaissances qui leur sont sous-jacents. Identifier les connaissances nécessaires à l’exercice de ce métier et leurs modes de développement.

17 L’appui théorique à ce programme de recherche La théorie des situations et notamment la structuration verticale du “millieu” (Margolinas) et le raffinement de la notion “ contrat”. La théorie anthropologique: des moyens pour décrire, caractériser, évaluer les praxéologies mathématiques et didactiques (tâches, techniques, technologies, théories) La “double approche” ergonomique et didactique : l’enseignant perçu comme un professionnel exerçant dans un environnement dynamique et ouvert dont on essaie de comprendre la cohérence. (Robert, Rogalski)

18 La thèse de E. Roditi Des professeurs expérimentés de collège confrontés à une nouvelle tâche : l’enseignement de la multiplication des décimaux. Une première phase : analyser le problème didactique et les diverses ressources didactiques existantes (résultats de recherche, ingénieries didactiques). Une seconde phase : analyser les pratiques de quatre enseignants travaillant dans des conditions comparables. Qu’en resulte-t-il ?

19 La thèse de E. Roditi Une grande convergence des quatre projets au niveau global où se manifeste le poids des contraintes institutionnelles et de la culture. Une diversité locale qui montre l’existence d’une marge de manoeuvre que chaque enseignant exploite suivant sa logique personnelle : Choix des types de tâches et tâches, liens entre tâches et institutionnalisation, Responsabilité mathématique donnée aux élèves et médiations diverses. Une organisation didactique des séances faites d’épisodes courts qui permettent de marquer des succès d’étape. Un très grand nombre d’incidents (environ 40 par séance)

20 Instruments de l’activité mathématique et processus d’instrumentation Une attention croissante que l’on peut relier : à l’évolution des cadres théoriques vers des paradigmes de nature socio-culturelle et anthropologique, à l’évolution technologique qui conduit l’enseignement des mathématiques à utiliser des outils de plus en plus sophistiqués.

21 Des approches différentes R. Duval: centration sur les registres sémiotiques et le rôle que joue dans la conceptualisation l’articulation de registres sémiotiques. Y. Chevallard et M. Bosch : centration sur la dialectique entre ostensifs et non-ostensifs. M. Bartolini Bussi, M.A. Mariotti, F. Arzarello et al.: perspectives Vigostkiennes, théorie de l’activité et médiations sémiotiques. J.D. Godino: théorie des fonctions sémiotiques Mais une constante : le rôle fondamental que jouent les artéfacts matériels et symboliques dans le travail mathématique et dans les processus d’apprentissage.

22 Un exemple : le développement de l’approche instrumentale dans les recherches sur les technologies informatiques. Le point de départ : des recherches sur l’intégration dans l’enseignement secondaire d’environnements de calcul formel (CAS) Un contraste évident entre le discours sur les potentialités des CAS pour l’apprentissage des mathématiques et la réalité du fonctionnement des classes observées.

23 Des contradictions L’affirmation que le travail avec ces technologies libère l’élève des tâches techniques et favorise de ce fait un travail plus stratégique et conceptuel. Mais Un travail technique modifié mais toujours présent, Un économie du travail qui ne favorise pas nécessairement le conceptuel du fait notamment : de la diversité et du faible coût des actions possibles par rapport au coût cognitif élevé de l ’interprétation des rétroactions des CAS, de l’insuffisante familiarité des élèves avec la technologie qui leur fait facilement perdre le fil de leur travail mathématique.

24 Un exemple illustratif Une situation paradigmatique pour des élèves qui entrent dans le monde fonctionnel au lycée en France, à travers des problèmes de variation et optimisation choisis pour montrer l’intérêt de la notion de fonction mais sans calcul différentiel encore. Une situation qui illustre bien le rôle que peut jouer la technologie.

25 Le quadrilatère qui tourne

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29 Une potentialité certaine de la technologie Pour explorer un problème géométrique, formuler et tester des conjectures Pour surmonter les limites des compétences techniques des élèves de début de lycée en algèbre Our travailler sur deux fonctions fondamentales de l’algèbre : prouver et généraliser

30 Mais une actualisation de ces potentialités en classe qui n’a rien d’évident Une familiarité nécessaire de l’enseignant et des élèves avec la technologie Une articulation dialectique complexe entre travail technique et conceptuel Une répartition optimale des responsabilités mathématiques entre enseignant et élèves qui n’est pas aisée à assurer

31 Une sensibilité croissante C omment gérer les processus d’instrumentation dans la classe ? Comment un artéfact devient-il un instrument mathématique ?? Aux relations entre travail technique et conceptuel Aux questions d’instrumentation

32 Un appui théorique double L’ergonomie cognitive (Rabardel) qui propose des outils pour prendre en compte la complexité des processus d’instrumentation La théorie anthropologique qui propose des outils pour prendre en compte la dimension institutionnelle de l’instrumentation et les problèmes de normes y valeurs associés

33 Des résultats intéressants Sur les processus de genèse instrumentale leur complexité insoupçonnée Sur les connaissances mathématiques et technologiques sous-jacentes Sur la difficulté qu’ont les enseignants à accompagner la construction de ces connaissances et à donner un statut adéquat aux techniques instrumentées dans le cadre des contraintes institutionnelles actuelles. Sur l’inadéquation profonde des pratiques de formation des enseignants dans ce domaine, des pratiques plus militantes que scientifiques

34 En conclusion Trois thèmes ont été abordés: Le théorique, parce qu’il façonne nos problématiques, nos méthodologies et, à travers elles, les résultats mêmes que nous pouvons obtenir L’enseignant, parce qu’il est la clef de toute action sur le système éducatif et de toute évolution Les outils du travail mathématique et le rôle de la technologie

35 En conclusion Dans tous ces domaines, j’ai essayé de montrer des évolutions des problématiques de recherche qui permettent de mieux aborder la complexité des systèmes étudiés, qui deviennent plus sensibles aux contraintes diverses qui s’imposent à l’action didactique et sont plus respecueuses de tous les acteurs de cette action J’ai essayé de faire partager ma conviction que la recherche didactique, même si son pouvoir est limité puisque les systèmes de décision lui échappent, peut aider à réfléchir sur les problèmes difficiles qui se posent aujourd’hui, à rejeter les idées naïves et dangereuses, à penser des directions d’action possibles, à accompagner ces actions et à évaluer leurs effets.