journées IUFM sur la modélisation en sciences

journées IUFM sur la modélisation en sciences
Le livre de la nature est écrit en caractères mathématiques Galilée ( ) Mythe ou réalité? A quoi servent les mathématiques? -Je suis enseignant de math au lycée Félix Faure de Beauvais. -J’interviens depuis plusieurs années à propos des TPE, et plus généralement dans le cadre de l’interdisciplinarité et depuis l’an dernier dans le cadre de votre projet P3 avec Claudine Pissy. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Plan de l’exposé Présentation du socle commun Modélisation (lien) Rôle des mathématiques (lien) Exemples concrets de modélisation dans les sciences (lien) Modélisation en sciences (lien) Projet P3 : activité interdisciplinaire (lien) Annexes, Vocabulaire et bibliographie La réalité, du monde du travail a changé et les enjeux sont devenus européens et même mondiaux. l’Europe se fixe des objectifs au niveau des systèmes éducatifs. (nécessité d’amener 50% d’une tranche d’âge au niveau licence et permettre aux citoyens de pouvoir se former et évoluer tout au long de leur vie). -Il y a maintenant des outils d’évaluation sur les objectifs à atteindre : par ex les tests du programme PISA. -rôle de la modélisation mathématique et son intérêt. Les math interviennent partout et servent souvent de caution aux prises de décision. -quelques exemples de modélisation plus ou moins accessibles au collège et au lycée. -concrètement : qu’est-ce qui va être demandé pour le projet P3? -intégration dans l’enseignement du collège et du lycée d’une démarche constamment à l’œuvre dans la vie professionnelle et l’enseignement supérieur. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

La réalité, du monde du travail a changé et les enjeux sont devenus européens et même mondiaux. l’Europe se fixe des objectifs au niveau des systèmes éducatifs. (nécessité d’amener 50% d’une tranche d’âge au niveau licence et permettre aux citoyens de pouvoir se former et évoluer tout au long de leur vie). -Il y a maintenant des outils d’évaluation sur les objectifs à atteindre notamment pour le socle commun : par ex les tests du programme PISA. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Socle Commun Penser en termes de : Connaissances Capacités Attitudes Date : 23 avril 2005 -on a l’habitude de parler en terme de K et de compétences beaucoup moins en terme d’attitude : Quelles attitudes peuvent développer l’enseignement des maths et des sciences? -rationalisation : rationaliser le monde pour mieux le comprendre. -développer un espace de démocratie dans la classe. -on peut communiquer avec d’autres (langage universel et même mode validation de la vérité) Buts : -ensemble de connaissances et de compétences qu'il est indispensable de maîtriser pour accomplir avec succès sa scolarité -offrir à chacun les moyens de développer toutes ses facultés en mettant en valeur toutes les formes d’intelligence et toutes les aptitudes L'établissement d'un socle commun de connaissances et de compétences est une disposition majeure de la loi d'orientation et de programme pour l'avenir de l'École du 23 avril 2005. La loi dispose en effet (article 9) que «la scolarité obligatoire doit au moins garantir à chaque élève les moyens nécessaires à l'acquisition d'un socle commun constitué d'un ensemble de connaissances et de compétences qu'il est indispensable de maîtriser pour accomplir avec succès sa scolarité, poursuivre sa formation, construire son avenir personnel et professionnel et réussir sa vie en société» ( Code de l'éducation - art. L.122-1) Elle définit le socle commun en le liant à la fois aux enjeux de la scolarité obligatoire, aux impératifs de formation tout au long de la vie, à la construction de la personnalité et à la vie en société. Le socle intègre l'ambition d'offrir à chacun les moyens de développer toutes ses facultés en mettant en valeur toutes les formes d’intelligence et toutes les aptitudes 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Ce qui se rajoute On a l’habitude de parler en terme de K et de compétences beaucoup moins en terme d’attitude : Quelles attitudes peuvent développer l’enseignement des maths et des sciences? Appréhender le monde de façon rationnelle pour mieux le comprendre. -développer un espace de démocratie dans la classe. -on peut communiquer avec d’autres (langage universel et même mode validation de la vérité) 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Pourquoi le socle commun
Définir un ensemble de connaissances et de compétences qu'il est indispensable de maîtriser pour accomplir avec succès sa scolarité -offrir à chacun les moyens de développer toutes ses facultés en mettant en valeur toutes les formes d’intelligence et toutes les aptitudes 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Socle : Compétences visées la maîtrise de la langue française ; la pratique d'une langue vivante étrangère ; les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique ; la maîtrise des techniques usuelles de l'information et de la communication ; la culture humaniste ; les compétences sociales et civiques ; l'autonomie et initiative. But : Permettre à l’individu citoyen de pouvoir se former et évoluer tout au long de sa vie. -pas de compensation. -les compétences, connaissances et attitudes peuvent s’acquérir par l’intermédiaire de chaque discipline : Ex : compétences sociales et civiques : en ECJS mais aussi en sciences ou en math : débat scientifique argumenté 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Modalités Permettre à l’individu citoyen de pouvoir se former et évoluer tout au long de sa vie. pas de compensation. : il faut valider les 7 compétences -les compétences, connaissances et attitudes peuvent s’acquérir par l’intermédiaire de chaque discipline : 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Socle commun en maths et sciences et techniques
représentation cohérente du monde. compréhension de l’environnement quotidien. la complexité peut être exprimée par des lois fondamentales. Manipuler pour comprendre. Acquérir rigueur intellectuelle seule constitutive du raisonnement scientifique. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Les Mathématiques Développement de la pensée logique, et de capacités d'abstraction. acquérir une vision dans le plan et dans l'espace. utilisation de formules, de modèles, de graphiques et de diagrammes. Développer le raisonnement logique et le goût de la démonstration. -l’essence des maths c’est la démonstration : modalité de raist. (ex au primaire carré) Démontrer c’est l’élève fait une démonstration avec son Niveau de conceptualisation du carré, de traitement et de validation. Avoir une attitude logique de conclure quelque chose. La question de la preuve occupe une place centrale en mathématiques. La pratique de l’argumentation pour convaincre autrui de la validité d’une réponse, d’une solution ou d’une proposition ou pour comprendre un « phénomène » mathématique a commencé dès l’école primaire et se poursuit au collège pour faire accéder l’élève à cette forme particulière de preuve qu’est la démonstration. Si, pour cet objectif, le domaine géométrique occupe une place particulière, la préoccupation de prouver et de démontrer ne doit pas s’y cantonner. Le travail sur les nombres, sur le calcul numérique, puis sur le calcul littéral offre également des occasions de prouver. A cet égard, deux étapes doivent être distinguées : la recherche et la production d’une preuve, d'une part, la mise en forme de cette preuve, d'autre part. Le rôle essentiel de la première étape (production d'une preuve) ne doit pas être occulté par des exigences trop importantes sur la deuxième (mise en forme de la preuve). Pour cela, la responsabilité de produire les éléments d’une démonstration doit être progressivement confiée aux élèves. A partir des éléments qu’ils fournissent, la mise en forme peut, elle, être réalisée collectivement à l’aide de l’enseignant. Dans le cadre du socle commun, qui doit être maîtrisé par tous les élèves, c’est la première étape, « recherche et production d’une preuve » qui doit être privilégiée, notamment par une valorisation de l’argumentation orale. La mise en forme écrite ne fait pas partie des exigibles. Cette initiation à la démonstration doit en particulier permettre aux élèves de distinguer une propriété conjecturée et vérifiée sur des exemples d’une propriété démontrée. En particulier, l’enseignant doit préciser explicitement qu’un résultat mathématique qui n’est pas démontré est admis. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Les Mathématiques automatismes en calcul (calcul mental, apprentissage des quatre opérations) l’apprentissage de la démonstration dans la démarche mathématique notion de chance, de probabilité, d’incertitude, proportionnalité, notamment la « règle de 3 », fonctions représentations graphiques (tableaux, diagrammes, points sur un axe, dans un repère). -l’essence des maths c’est la démonstration : au sens de modalité de raist. (ex au primaire carré) l’élève fait une démonstration avec son Niveau de conceptualisation du carré, de traitement et de validation. Avoir une attitude logique de conclure quelque chose. Les niveaux de démonstrations s’approfondiront pas la suite : La question de la preuve occupe une place centrale en mathématiques. La pratique de l’argumentation pour convaincre autrui de la validité d’une réponse, d’une solution ou d’une proposition ou pour comprendre un « phénomène » mathématique a commencé dès l’école primaire et se poursuit au collège pour faire accéder l’élève à cette forme particulière de preuve qu’est la démonstration. Si, pour cet objectif, le domaine géométrique occupe une place particulière, la préoccupation de prouver et de démontrer ne doit pas s’y cantonner. Le travail sur les nombres, sur le calcul numérique, puis sur le calcul littéral offre également des occasions de prouver. A cet égard, deux étapes doivent être distinguées : la recherche et la production d’une preuve, d'une part, la mise en forme de cette preuve, d'autre part. Le rôle essentiel de la première étape (production d'une preuve) ne doit pas être occulté par des exigences trop importantes sur la deuxième (mise en forme de la preuve). Pour cela, la responsabilité de produire les éléments d’une démonstration doit être progressivement confiée aux élèves. A partir des éléments qu’ils fournissent, la mise en forme peut, elle, être réalisée collectivement à l’aide de l’enseignant. Dans le cadre du socle commun, qui doit être maîtrisé par tous les élèves, c’est la première étape, « recherche et production d’une preuve » qui doit être privilégiée, notamment par une valorisation de l’argumentation orale. La mise en forme écrite ne fait pas partie des exigibles. Cette initiation à la démonstration doit en particulier permettre aux élèves de distinguer une propriété conjecturée et vérifiée sur des exemples d’une propriété démontrée. En particulier, l’enseignant doit préciser explicitement qu’un résultat mathématique qui n’est pas démontré est admis. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Conditions d’acquisition
Résolution de problèmes, Ancrage dans la réalité notamment à partir de situations proches de cette réalité. On peut pour cela s’inspirer des tests du programme Pisa qui partent toujours d’une situation concrète à modéliser. Les tests s’opèrent sur des enfants de 15 ans. Les prochains en 2009. -il est toujours bon dans un cours de faire référence aux applications concrètes qui peuvent découler de ce qu’on est en train de présenter. (ex ex 58 p 71 : nv déclic) : à partir d’un simple ex on peut imaginer tout un protocole et réaliser une activité pluri-disciplinaire. Ici mesurer la hauteur d’un bâtiment. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Connaissances Nombres et calcul. Gestion de données et fonctions. Géométrie plane et dans l’espace. Grandeurs et mesures. -On vit dans un monde probable, d’incertitude -Que peut-on raisonnablement rationaliser parmi toutes les informations qui nous entourent? -quand on mesure une grandeur, par exemple on mesure un segment, son image dans le monde des nombres correspond à un intervalle. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Attitudes On peut appréhender la réalité à partir de lois logiques L’enseignement des mathématiques doit permettre : rigueur et précision, respect de la vérité rationnellement établie, le goût du raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver. Un domaine ou nous devons intervenir car il est présent partout, ce sont les statistiques. C’est en plus un domaine ou on peut dire tout et son contraire. En fait il faut toujours rester humble. EX : On peut mettre en // avec les deux modèles enseignés au primaire et collège : Modèle additif et proportionnel. Ex : 12 redoublants au collège A et 15 au collège B en troisième. Quel est le meilleur collège. -rep : ça dépend du nombre d’élèves de 3ème -ex du journal local à lourdes : 45% de mentions dans le 1er lycée, 40% de mentions dans un autre lycée et donc le journaliste avait titré son article : 85 % de mentions au bac à Lourdes. EX 2 : les filles sont meilleures en math que les garçons? 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Les filles sont meilleures que les garçons en math
algèbre 23/200 85/500 géométrie 400/500 90/100 11,5% 80% 17% 90% On a pris un ensemble de collégiens, on leur a demandé de choisir de répondre à un ex d’algèbre ou géométrie. Les filles ont été meilleures en algèbre et en géométrie. Donc …. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Pas si sûr !!!! garçons filles algèbre géométrie 23/200 400/500 85/500 90/100 423/700 60,5% 175/600 29,2% -En statistiques il faut toujours vérifier de quoi l’on parle et se méfier des généralisations hâtives. Méfiance : quand on dit à la télé : ils sont meilleurs là, ils sont meilleur là donc ils sont meilleurs partout. Attention ce n’est pas forcément vrai. Il y a souvent à creuser et affiner l’analyse. « Il existe trois sortes de mensonges : les mensonges, les affreux mensonges, et les statistiques » (Benjamin DISRAELLI) (on utilise les stats pour truander) Benjamin Disraeli (21 décembre 1804, Londres – 19 avril 1881), 1er comte de Beaconsfield, fut un homme politique britannique d'origine juive. « Les statistiques, c’est comme le bikini, ça montre tout, mais ça cache l’essentiel » (Louis ARMAND) (on ne prend des résultats que ce qu’on veut bien et qui va dans notre sens) Ingénieur de formation, direction de la SNCF, il organise la résistance contre l'occupant, construction de l'Europe aux côtés de Robert Schuman en devenant le premier président de l'EURATOM. Académicien français « Les statistiques sont formelles : il y a de plus en plus d’étrangers dans le monde » (Pierre DESPROGES) (caution intellectuelle) 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Des statistiques aux probabilités
Le prince de Toscane demande à Galilée ( ) pourquoi, alors que les nombres 9 et 10 ont autant de décomposition en somme de 3 chiffres compris entre 1 et 6, on obtient plus souvent 10 lorsqu'on lance 3 dés ? Pour faire 9 il y a 11,85% de chances, pour faire 10 il y a 12,5% de chances. Comment il a fait le prince de toscane. Il avait bien du temps à perdre. Il avait aussi l’intuition de la loi des grds nombres : stabilisation de la fréquence plus on répète un grd nb de fois l’exp. On peut avoir des actions d’anticipation. Par exemple : il faut 23 personnes pour que la proba que 2 personnes soient nées le même jour devienne supérieure à 0,5. Outil d’aide à la décision : il y a moins de risque à penser que 2 pers sont nées le même jour que le contraire même s’il n’y a que 23 personnes. C’est la force du modèle. On est dans un monde incertain. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Culture scientifique et technologique
développer la curiosité de l’élève accéder à une représentation globale et cohérente du monde comprendre son environnement quotidien distinguer entre faits démontrables d’un côté, opinions et croyances de l’autre -L’observation et l’expérimentation sont centrales dans cette démarche. -peut-être que les profs de sciences pourraient faire moins de math et plus de physique, chimie ou SVT. -Des initiatives récentes telles que « La main à la pâte » montrent qu’on peut donner le goût des sciences et des techniques dès le plus jeune âge, ce qui est d’autant plus urgent que la désaffection actuelle à l’égard des filières scientifiques est préoccupante pour l’avenir de notre pays. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Culture scientifique et technologique
Comprendre et décrire : le monde réel, celui de la nature, celui construit par l'Homme, les changements induits par l'activité humaine. Distinguer : faits et hypothèses vérifiables et opinions et croyances. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Pour atteindre ces buts
l'observation, le questionnement, la manipulation et l'expérimentation. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Capacités à développer dans les sciences expérimentales
démarche d’investigation observer, questionner, formuler une hypothèse et la valider, argumenter, modéliser de façon élémentaire 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Manipuler et Expérimenter en éprouvant la résistance du réel
Concevoir un protocole et le mettre en œuvre Utiliser les outils appropriés, y compris informatiques Développer des habiletés manuelles, être familiarisé avec certains gestes techniques Percevoir la différence entre réalité et simulation Comprendre qu'un effet peut avoir plusieurs causes agissant simultanément, de percevoir qu'il peut exister des causes non apparentes ou inconnues 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Exprimer et exploiter les résultats d'une mesure ou d'une recherche
utiliser les langages scientifiques à l'écrit et à l'oral, maîtriser les principales unités de mesure et savoir les associer aux grandeurs correspondantes, comprendre qu'à une mesure est associée une incertitude, comprendre la nature et la validité d'un résultat statistique. -s’exprimer de façon claire et précise - -on vit dans un monde d’incertitude. Les décideurs ont à faire des choix qui reposent sur les statistiques et les probas. -Par exemple : pour les grandes épidémies, les grands fléaux vaut-il mieux vacciner toute une population ou une partie d’entre elle, améliorer les conditions d’hygiène, ou d’autres choix. -le nombre de profs de math qui considèrent encore que les stats c’est pas des maths. Alors que pour beaucoup c’est ce qui deviendra peut-être le plus important dans leur vie quotidienne. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Appréhender rationnellement les choses pour :
développer les attitudes suivantes : le sens de l'observation, la curiosité pour la découverte des causes des phénomènes naturels, l'imagination raisonnée, l'ouverture d'esprit, l'esprit critique : distinction entre le prouvé, le probable ou l'incertain, la prédiction et la prévision, situation d'un résultat ou d'une information dans son contexte. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Éducation à la citoyenneté
Développer : l'intérêt pour les progrès scientifiques et techniques, la conscience des implications éthiques de ces changements, l'observation des règles élémentaires de sécurité dans les domaines de la biologie, de la chimie et dans l'usage de l'électricité, la responsabilité face à l'environnement, au monde vivant, à la santé. L’apprentissage des mathématiques est une forme d’apprentissage de la démocratie : -recherche personnelle, défi entre le problème et nous : démarche intellectuelle intime qui développe et construit notre pensée ; -débat dans une communauté scientifique : débat, preuve, réfutation…puis assurance de la certitude partagée. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Mathématiques outil de modélisation
Comprendre le lien entre les phénomènes de la nature et le langage mathématique qui s'y applique et aide à les décrire. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Place de la modélisation dans la démarche d’investigation
Il y aurait peut-être à rajouter la simulation. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Modélisation : Pourquoi?
Question dont la réponse n’est pas évidente Expérimentation coûteuse ou impossible. Favoriser l’observation et l’étude. Acquérir une représentation cohérente du monde reposant sur des connaissances. Se créer des images. Pour échanger avec les non spécialistes en ayant un langage commun. Pour pouvoir modifier certains paramètres et ainsi prévoir, anticiper, simuler. Rigueur, précision. -construire un pont, stockage de déchets radioactifs, prévoir le résultat d’une élection, accroissement du nombre de crabes en mer baltique, disparition du gulf stream, etc. -vacciner toute la population africaine contre le sida : en 30 ans le sida est éradiqué (on a fait une simulation) -il faut se donner les moyens de comprendre pour agir. Il faut donner une cohérence au réel. -Il faut permettre aux décideurs de se faire une idée du problème et des solutions éventuelles. Pour cela il faut pouvoir présenter des éléments dans un langage compréhensible par tous. -Il faut pouvoir anticiper, modifier les paramètres, et pouvoir ainsi prévoir et choisir entre plusieurs actions possibles. - critique possible de certains discours techniques. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Modèle mathématique Un modèle mathématique est une représentation : fonctionnelle de la réalité par des objets abstraits sur lesquels on peut appliquer un traitement théorique analogique (imiter pour pouvoir observer et étudier) sélective (on retient certaines caractéristiques et on en ignore d’autres) Un même modèle, de part son abstraction, peut s’appliquer dans des contextes différents. En math on va modéliser une certaine réalité qui peut d’ailleurs être déjà abstraite, de manière fonctionnelle à l’aide de processus décrits sur un mode analogique mais on va réduire le nombre d’information en fonction de ce qui nous préoccupe. On va utiliser le symbolisme. Ex : Le berger. Nuzi, vieille ville de Mésopotamie. Il y a 4000 ans, du temps des sumériens; Petite bourse d’argile creuse Inscription : « Objets concernant des moutons et des chèvres » en signe cunéiforme. ! 21 brebis qui ont déjà eu des petits ! 6 agneaux femelles ! 8 béliers adultes ! 4 agneaux mâles ! 6 chèvres qui on déjà eu des petits ! 1 bouc ! 2 chevrettes A l’intérieur de la bourse (on casse la bourse) : 48 billes en terre crue On a une première modélisation qui s’appelle la bijection. Le berger ne sait rien sur les nombres, il ne sait pas compter, il n’a aucune connaissance mathématique mais quand il ramène son troupeau il va casser la bourse à l’arrivée et à chaque fois qu’il verra un animal arriver il enlève une bille. Il va vérifier qu’il y a autant de bêtes que de billes. -c’est fonctionnel -il y a une analogie au moins pour ce qui intéresse le berger -c’est sélectif : représenter de façon différente les objets, plus simple et dans un but donné. CALCULUS ça veut dire caillou, même si là on ne fait pas encore des calculs. On met en coïncidence des billes et des bêtes. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Modélisation et modèle
Réalité Monde empirique Modèle descriptif (interpréter et analyser) Modèle prédictif (anticiper une action) -Le travail, en résolution de pb consiste entre cet aller-retour entre réalité qui peut être déjà abstraite et modèle. On analyse la réalité, on cherche (fct heuristique), description, interpréter les informations. Traitement à l’intérieur du modèle puis retour pour valider le modèle et l’interpréter dans la situation concrète. -C’est cet aller-retour qui donne du sens aux mathématiques. -Pb des profs de math qui se cantonnent à ne travailler que dans le modèle et à faire des gammes. -Contradiction avec les autres pays ou cet aller-retour entre réalité et modèle mathématique s’exerce d’avantage. (Voir le contenu des tests du prm PISA) -PB aussi avec les profs de sciences qui vont parfois trouver plus confortable de faire des maths plutôt que de la physique par ex. La modélisation peut s'exercer du modèle vers le réel : ce sont les modèles prédictifs Ces modèles mathématiques sont utilisés pour anticiper des événements ou des situations, comme prévoir le temps avec la météo, estimer les prix potentiels des actifs financiers avec les modèles d'évaluation en finance, ou prévenir les épidémies. On parle de modèles prédictifs, dans lesquels des variables connues, dites « explicatives », vont être utilisées pour déterminer des variables inconnues, dites « à expliquer ». du réel vers le modèle : ce sont les modèles descriptifs Dans ce cas, les modèles servent à représenter des données historiques. On parle de modèles descriptifs. L'objectif est de rendre compte, de manière interprétable, d'une masse d'informations. Bien entendu, les deux types de modèles sont parfaitement liés : une bonne prédiction suppose au moins la prédiction de la situation passée et actuelle, c’est-à-dire une bonne description. Inversement, une bonne description serait parfaitement vaine si elle ne servait pas au moins de diagnostic, ou de carte, pour identifier la conduite à tenir. Il est intéressant de noter qu'un même modèle mathématique peut se trouver applicable à de nombreuses situations, n'ayant pas forcément un rapport bien évident. Par exemple, des générateurs de paysages sont capables créer des formes réalistes d'objets aussi différents que des montagnes, des arbres, des rochers, de l'herbe, des coquillage ou des flocons de neige, avec un seul modèle général, alors même que les processus de croissance et de constructions de ses objets sont très divers. Si, au lieu de créer un nouveau modèle, on est capable de rapprocher un problème d'un ancien modèle connu, on obtient immédiatement une masse de données très utile. Une grande partie du travail est donc de reconnaître qu'un modèle connu s'applique, ou à étendre les propriétés connues d'une classe particulièrement utile de modèle (propriété qu'on pourra ensuite utiliser plus largement). Modèle mathématique Symbolisme 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

La résolution de problème consiste entre cet aller-retour entre réalité qui peut être déjà abstraite et le modèle. On analyse la réalité, on cherche, on décrit, on interprète les informations. Traitement à l’intérieur du modèle puis retour pour valider le modèle et l’interpréter dans la situation concrète. C’est cet aller-retour qui donne du sens aux mathématiques. Actuellement des profs de math se cantonnent à ne travailler que dans le modèle et à faire des gammes. En contradiction avec les autres pays ou cet aller-retour entre réalité et modèle mathématique s’exerce d’avantage. (Voir le contenu des tests PISA) -Certains profs de sciences vont aussi parfois trouver plus confortable de faire des maths plutôt que de la physique par exemple. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Modèle un modèle est toujours lié à ce que l'on veut en faire, à une théorie. un modèle n'est jamais parfait ni totalement représentatif de la réalité. il y a toujours plusieurs modèles possibles. C’est utile pour traiter le réel, mais il ne faut pas le prendre pour le réel. EX : une souris : on peut s’interesser à : -ses performances intellectuelles ; -ses maladies et leurs soins, -la représenter dans un jeu vidéo, etc. -Exemple de modélisation inconsciente qui fait mal : ANTIBI : par exemple un professeur qui fait un énoncé de devoir de math ou autre a toujours en arrière plan le modèle de la loi normale avec comme moyenne 10 et une répartition symétrique pour les notes au devoir. Il faudra 1/3 de bons …… Comme si une classe avait toujours le même profil qu’un échantillon aléatoire de pommes de terre sur lesquelles on étudierait le diamètre. -un concept mathématique n’est pas toujours adaptable à n’importe quelle situation. Le même objet, par exemple une souris, ne sera pas modélisable de la même façon selon que l'on s'intéresse plutôt à ses maladies et leurs soins, voire ceux d'un groupe d'animaux apparentés mais plus large (tous les mammifères dont l'Homme) ; la façon de la dessiner de façon convaincante dans le cadre d'un jeu vidéo. -on oriente plus ou moins les paramètres pour étudier certains résultats en particulier. Pour un même modèle on peut paramétrer très différemment pour mettre en évidence des choses différentes. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Pertinence d’un modèle et évaluation
Couvrir le champ du problème réel. Obtention du résultat escompté. Respect des délais souhaités. Il est souhaitable qu’il soit ré-utilisable. Une bonne modélisation permet de répondre à des questions complexes avec des calculs simples. - -le phénomène a-t-il le niveau de détail souhaité? -ex : prévision météo pour dans deux jours très fiable mais il faut faire tourner le prm pendant 1 semaine. -ex du berger et du sac contenant des cailloux. Un modèle est pertinent s'il couvre bien le champ du problème réel s'il permet d'obtenir le résultat escompté : description du phénomène avec le niveau de détail ou de synthèse souhaité, ou prévisions se révélant justes a posteriori. dans le délai souhaité On pense à la boutade qui promet des prévisions météo précises à une semaine mais qui demandent un mois de calcul. accessoirement, s'il est réutilisable L'investissement pour décrire un modèle est en général si important qu'il se justifie rarement sur une opération unique. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Comment Modéliser? Inspiration, imagination, analogie, rasoir d’Occam et changement de point de vue, courage intellectuel face aux modèles dominants. Il faut bien limiter le champ du problème, chercher la simplicité. filtrer les données pour atteindre l’essentiel. Introduire des paramètres manquants, éventuellement adopter une approche probabiliste. Bien décrire l’ensemble des règles ou équations. valider le modèle. avoir l’esprit critique et faire un retour à la réalité -Le rasoir d'Occam ou rasoir d'Ockham : consiste à ne pas utiliser de nouvelles hypothèses tant que celles déjà énoncées suffisent. Contre-modèles : Le monde vu de la terre ou du soleil ? Copernic ( ) Galilée ( ) Newton ( ) Ainsi, Copernic à pris en compte les observations plus précises des trajectoires des planètes en étudiant leur déplacement non plus autour de la terre mais, autour du soleil. Cette étape pourrait sembler facultative car il est possible d'obtenir des trajectoires justes en les calculant depuis la terre ou depuis le soleil. La différence est dans la complexité des équations qui régissent ces phénomènes. Vu du soleil, au contraire, les trajectoires des planètes sont admirables de simplicité. Il s'agit de simples ellipses avec le soleil à l'un des foyers. -Newton a imaginé une action a distance en contradiction avec les principes de son époque le modèle, ensemble de règles ou d'équations. Il faut décrire ces règles le plus complètement possible : -ANTIBI : par exemple un professeur qui fait un énoncé de devoir de math ou autre a toujours en arrière plan le modèle de la loi normale avec comme moyenne 10 et une répartition symétrique pour les notes au devoir. Il faudra 1/3 de bons …… Comme si une classe avait toujours le même profil qu’un échantillon aléatoire de pommes de terre sur lesquelles on étudierait le diamètre. -un concept mathématique n’est pas toujours adaptable à n’importe quelle situation. valider le modèle : en appliquant aux données filtrées les règles du modèle, retrouve-t-on la situation initiale ? Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle, célèbre pour avoir jeté les fondements des sciences mécaniques ainsi que pour sa défense opiniâtre de la conception copernicienne de l'univers. Ses réalisations comprennent le perfectionnement de la lunette astronomique dont l'invention proviendrait d'Italie ainsi qu'une amélioration notable au niveau des observations astronomiques comme la possibilité, par exemple, de confirmer les phases de Vénus. Dans le domaine des mathématiques et de la physique, il a surtout contribué à faire avancer les connaissances relatives à la cinématique et la dynamique. Ardent défenseur du système de Nicolas Copernic (héliocentrisme), il s'est heurté à de vives critiques émanant des partisans du géocentrisme ainsi qu'à celles de l'Église catholique romaine. Il est considéré comme le père de l'observation astronomique et de la physique moderne. C’est un principe de raisonnement que l'on attribue au moine et philosophe Guillaume d'Occam (XIVe siècle), mais qui était connu et formulé avant lui : « Les multiples ne doivent pas être utilisés sans nécessité » (pluralitas non est ponenda sine necessitate). L'énoncé : Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem, littéralement : « Les entités ne doivent pas être multipliées par delà ce qui est nécessaire » est une variante souvent attribuée à Guillaume d'Occam sans cependant qu'il y en ait trace dans ses écrits. C'est un des principes fondamentaux de la science. -Newton a imaginé une action a distance en contradiction avec les principes de son époque, aussi bien pour -ce qui se passait sur terre que pour ce qui se déroulait dans le ciel. Il en conclut que dans les deux cas, les corps étaient attirés entre eux. A la fin du XVIIème siècle inspiré par les idées de Descartes, le monde était très mécaniste et refusait toute idée d'action à distance. Newton dut dépasser tous ces a priori pour énoncer ses lois. Copernic change son point de vue pour observer les trajectoires des astres. Il prend un repère centré au soleil et les trajectoires deviennent simple à étudier alors que jusqu’à présent on avait pris un repère terrestre. Quelques points essentiels. 1. Le point de départ est toujours une question qu'on se pose sur une situation future et/ou si complexe qu'on n'y trouve pas la réponse de manière évidente. Ex. : Que faut-il faire pour que la situation s'améliore ? 2. Pour trouver la réponse, il est nécessaire de limiter le champ du problème en recherchant les données qu'on imagine avoir un lien direct avec la question. Trop limiter fait courir le risque de ne pas modéliser un phénomène qui a du poids dans le contexte, mais trop ouvrir entraîne une dispersion des moyens et une accumulation de données non pertinentes qu'il faudra écarter en justifiant les choix. Cette étape est la plus délicate pour la qualité du modèle : elle est soumise aux a priori du modélisateur, à ses manques de connaissances — parfois de méthode — et aux moyens dont il dispose (temps, argent, accès aux données). Au cours de cette étape, on choisit le type de modèle général qu'on va utiliser, notamment en fonction des données dont on pense disposer. 3. Il faut ensuite construire le modèle : filtrer les données afin d'en extraire les « bruits », ces irrégularités ou ces événements accessoires qui masquent l'essentiel ; éventuellement, reconstituer les manquants, c'est-à-dire les objets qui manquent pour assurer la cohérence de l'ensemble (ex. le fonctionnement d'un paramètre dont on connaît l'existence mais sur lequel on ne dispose pas de données) C'est là qu'interviennent les outils mathématiques et informatiques, qui permettent un filtrage et une construction avec un minimum de subjectivité en un minimum de temps. 4. Le « substrat » restant constitue le modèle, ensemble de règles ou d'équations. Il faut décrire ces règles le plus complètement possible : leur importance relative, les données en entrée et en sortie, les outils mathématiques utilisés, les étapes par lesquelles il faut passer, les points de contrôle. 5. La dernière étape consiste à valider le modèle : en appliquant aux données filtrées les règles du modèle, retrouve-t-on la situation initiale ? Si l'écart est trop important, il est nécessaire de se reposer la question des limites que l'on a fixées, ou de la pertinence des outils utilisés pour la modélisation. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Le rasoir d'Occam ou rasoir d'Ockham : consiste à ne pas utiliser de nouvelles hypothèses tant que celles déjà énoncées suffisent. Contre-modèles : Trois noms importants : Copernic ( ) Galilée ( ) Newton ( ) Copernic à pris en compte les observations plus précises des trajectoires des planètes en étudiant leur déplacement non plus autour de la terre mais, autour du soleil. Cette étape pourrait sembler facultative car il est possible d'obtenir des trajectoires justes en les calculant depuis la terre ou depuis le soleil. La différence est dans la complexité des équations qui régissent ces phénomènes. Vu du soleil, au contraire, les trajectoires des planètes sont admirables de simplicité. Il s'agit de simples ellipses avec le soleil à l'un des foyers. Newton a imaginé une action a distance en contradiction avec les principes de son époque 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Force des mathématiques
Fournir des idées Langage universel d’expression Généralité, richesse et puissance du langage Équations aux dérivées partielles analyse fonctionnelle : méthodes numériques Méthodes des éléments finis Algorithmes et méthodes approchées Traitement du signal Calcul stochastique, etc. Outil de dialogue et de prospection -l’universalité des méthodes et des outils, l’abstraction permettent qu’un même concept mathématique puisse s’appliquer à plein de domaines différents. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Il faut toujours garder son esprit critique
Il faut toujours avoir l’esprit critique vis à vis du modèle et d’autant plus s’il contient des mathématiques (retour à la réalité) (voir usage abusif de concepts mathématiques). Chercher la simplicité. Organiser une critique active et imaginative Rechercher des co-vérités (en utilisant des changements de registre) Fabriquer des contre-modèles. (pour échapper aux interprétations dominantes : voir Copernic et les trajectoires des astres) -par exemple un professeur qui fait un énoncé de devoir de math ou autre a toujours en arrière plan le modèle de la loi normale avec comme moyenne 10 et une répartition symétrique pour les notes au devoir. Il faudra 1/3 de bons …… Comme si une classe avait toujours le même profil qu’un échantillon aléatoire de pommes de terre sur lesquelles on étudierait le diamètre. -un concept mathématique n’est pas toujours adaptable à n’importe quelle situation. Exemple : passage du discret au continu ou l’inverse. -Recherche de co-vérités : p 321 apmep no 440. Nico Bouleau Ex : pollution des rivières. Méthode classique : inventaire des produits chimiques et concentrations  très précis Co-vérité : préciser le concept de propreté : en effet les eaux minérales ne sont pas forcément pures. Sinon : suivre le devenir des espèces qui y vivent. Pour la 1ère : risque de ne pas identifier les germes pathogènes pour certaines espèces. Pour la 2ème avoir des tests statistiques qui mettent en évidence l’effet de rejets polluants par rapport aux fluctuations aléatoire normales. Co-vérités :description du monde des particules Une fois une nouvelle loi identifiée, il est nécessaire de la formaliser pour en obtenir des informations quantitatives. L'outil utilisé dans ce cas est la mathématique, ou plus exactement une des mathématiques. Il existe en effet de nombreuses façons de décrire un phénomène mathématiquement. Ce fut le cas au début du XXème siècle, lorsque la mécanique quantique qui décrit le monde des particules élémentaires se développa. Dirac décrivit le comportement des particules à l'aide de l'algèbre des matrices, tandis que Schrödinger utilisa pour le même domaine les équations de champs. Il fallut de nombreuses disputes et des heures de travail ardu pour se rendre compte que les deux théories étaient équivalentes. Contre-modèles : Le monde vu de la terre ou du soleil ? Ainsi, Copernic à pris en compte les observations plus précises des trajectoires des planètes en étudiant leur déplacement non plus autour de la terre mais, autour du soleil. Cette étape pourrait sembler facultative car il est possible d'obtenir des trajectoires justes en les calculant depuis la terre ou depuis le soleil. La différence est dans la complexité des équations qui régissent ces phénomènes. Vu de la terre, les trajectoires devenaient de plus en plus compliquées au fur et à mesure que l'observation des planètes devenait de plus en plus précise. Il fallut imaginer des "roues dentées" supplémentaires pour faire fonctionner l'ensemble du mécanisme : Les épicycles. Vu du soleil, au contraire, les trajectoires des planètes sont admirables de simplicité. Il s'agit de simples ellipses avec le soleil à l'un des foyers. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Quelques exemples détaillés
Modèle proies-prédateurs (1er jour) Modélisation des forces de frottement (2ème jour) Loi logistique discrète (2ème jour) TPE sur la vache folle (2ème jour) Du bon usage du continu (2ème jour) La molécule de méthane (voir activité) 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Statistiques de pêche à Triestre
Année Pourcentage de mauvais poisson 1914 11,9 1915 21,4 1916 22,1 1917 21,2 1918 36,4 1919 27,3 1920 16 1921 15,9 1922 14,8 1923 10,7 Pour terminer un exemple concret souvent vu dans l’enseignement supérieur : Les équations de Volterra. Mathématica V ou Matlab, Scilab la proportion de Sélaciens, poissons particulièrement voraces, dans la pêche totale avait sensiblement augmenté durant la période où la pêche était moins intense à cause de la guerre. simple question posée par son gendre Umberto D’Ancona, Vito Volterra a été amené a inventé le modèle prédateur-proie. Hypothèse : une diminution dans l’intensité de la destruction des proies favorise le prédateur. Elles ont été proposées indépendamment par Alfred J. Lotka en 1925 et Vito Volterra en Ce système d'équations est classiquement utilisé comme modèle pour la dynamique du lynx et du lièvre des neiges, pour laquelle de nombreuses données de terrain ont été collectées sur les populations des deux espèces par la Compagnie de la baie d'Hudson au XIXe siècle. Ces équations sont issues de statistiques sur la pêche pendant la période de la première guerre mondiale dans les ports de Trieste, Venise et Fiume indiquant que la proportion de Sélaciens, poissons particulièrement voraces, dans la pêche totale avait sensiblement augmenté durant la période où la pêche était moins intense à cause de la guerre. Ces statistiques inclinaient à penser qu’une diminution dans l’intensité de la destruction des proies favorise le prédateur. C’est ainsi qu’à la suite d’une simple question posée par son gendre Umberto D’Ancona, Vito Volterra a été amené a inventé le modèle prédateur-proie. C’est un système dynamique déterministe riche d’enseignement et dont l’aspect pédagogique est indéniable. Le premier problème est d’essayer de représenter mathématiquement l’évolution de deux espèces : une espèce proie (petits poissons) et une espèce prédatrice de la première (gros poissons). Pour ce faire il faut avoir une connaissance aussi précise que possible d’au minimum deux facteurs : la natalité et la mortalité de chaque espèce. Enfin, il faut former le système dynamique et « prier » pour qu’il soit intégrable, i.e., pour que l’on puisse en extraire une solution. La variable x représente l’évolution du nombre de proies, la variable y celle du nombre de prédateurs. Les coefficients a, b, c et d représentent respectivement le taux de croissance ou taux de natalité de la proie, le taux de mortalité de la proie due à la prédation, le taux de croissance ou taux de natalité du prédateur dû à la prédation et le taux de mortalité naturelle du prédateur lorsqu’il n’y a pas de proie, i.e., mortalité due à la famine. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Proies-prédateurs Volterra (1860-1940)
Bons poissons (sardines) : x(t) Mauvais poissons (Sélaciens) : y(t) Variation du nombre de sardines : x’(t) Si pas de requins : + ax(t) Si rencontre avec Sélaciens : - bx(t)y(t) Variation du nombre de Sélaciens y’(t) Si pas de sardines : - dy(t) Si rencontre avec sardines : + cx(t)y(t) Proies Les proies sont supposées avoir une source illimitée de nourriture et se reproduire exponentiellement s'ils ne sont soumis à aucune prédation ; ceci est représenté dans l'équation ci-dessus par le terme αx(t). Le taux de prédation sur les proies est supposé proportionnel au nombre de rencontres entre les prédateurs et les proies ; il est représenté ci-dessus par -bx(t)y(t). Si l'un des termes x(t) ou y(t) est nul, alors il ne peut y avoir aucune prédation. Avec ces deux termes, l'équation peut alors être interprétée comme : la variation du nombre de proies est donnée par sa propre croissance moins le taux de prédation qui leur est appliqué. Prédateurs Dans cette équation, cx(t)y(t) représente la croissance de la population prédatrice. (Notons la similarité avec le taux de prédation ; cependant, une constante différente est utilisée car la vitesse à laquelle la population des prédateurs augmente n'est pas nécessairement égale à celle à laquelle il consomme la proie). De plus, -dy(t) représente la mort naturelle des prédateurs ; c'est une décroissance exponentielle. L'équation représente donc la variation de la population de prédateurs en tant que croissance de cette population, diminuée du nombre de morts naturelles. Solutions de l'équation Les équations admettent des solutions périodiques qui n'ont pas d'expressions simple à l'aide des fonctions trigonométriques habituelles. Néanmoins, une solution approximative linéarisée offre un mouvement harmonique simple, avec la population des prédateurs en retard de 90° (un quart de période) sur celle des proies. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Système différentiel x’(t) = a x(t) – b x(t)y(t) y’(t) = - d y(t) + c x(t)y(t) On utilise la méthode d’Euler : x(t+h) approximé par : x(t) + hx’(t) pour h « petit » Voir fichier : proie_predateur_différentielle.xls Les coefficients a, b, c et d représentent respectivement le taux de croissance ou taux de natalité de la proie, le taux de mortalité de la proie due à la prédation, le taux de croissance ou taux de natalité du prédateur dû à la prédation et le taux de mortalité naturelle du prédateur lorsqu’il n’y a pas de proie, i.e., mortalité due à la famine. reproche principal : absence de réalisme. -la mort naturelle n’est pas prise en compte. Ce qui signifie qu’en l’absence de prédateur, la proie ne meurt jamais. -la croissance du prédateur est entièrement contenue dans sa capacité de prédation. C’est-à-dire que sa population augmente après chacun de ses repas. -les croissances de chaque espèce ne sont en rien perturbées par des évènements extérieurs. Ils sont en comme isolés du monde extérieur. il faut connaître les quatre coefficients ci-nommés avec une précision diabolique. le taux de prédation, c’est-à-dire finalement l’appétit du prédateur : rien n’est plus difficile à apprécier qu’une variable aussi aléatoire que celle-ci. Et nombreux sont ceux qui ignorant tout des travaux considérables et détaillés du grand mathématicien Vito Volterra ( ) se plaisent à le souligner. -Pourquoi non réaliste : --la seule cause de mortalité de la proie est la mortalité due à la prédation. la mort naturelle n’est pas prise en compte. Ce qui signifie qu’en l’absence de prédateur, la proie ne meurt jamais. --D’autre part, la croissance du prédateur est entièrement contenue dans sa capacité de prédation. C’est-à-dire que sa population augmente après chacun de ses repas. Ce que V. Volterra appelle l’hypothèse des équivalents :Je mange donc je croîs. --Enfin, les croissances de chaque espèce ne sont en rien perturbées par des évènements extérieurs. Ils sont en comme isolés du monde extérieur. Pour des poissons par exemple, on peut imaginer aisément que les fluctuations météorologiques, les vents, les tempêtes ont une influence sur leur présence en un lieu donné. --Pour pouvoir écrire ce système aussi simple soit il, il faut connaître les quatre coefficients ci-nommés avec une précision diabolique. Pour le premier et le dernier, i.e., les taux de natalité et de mortalité des deux espèces, on peut imaginer les estimer avec une assez bonne précision en un lieu donné et à une période donnée. Par exemple, le taux de natalité des baleines est connu des spécialistes et a été à l’origine du moratoire sur la pêche à la baleine. De même, le taux de mortalité chez le nouveau né est une donnée statistiquement connue des services de la DASS. Remarquons cependant qu’il varie d’un pays à un autre. Il est évident que les pays européen et les pays africain n’ont pas le même taux de mortalité naturelle chez le nouveau né. Pur le second et le troisième coefficient qui représente le taux de prédation, c’est-à-dire finalement l’appétit du prédateur, rien n’est plus difficile à apprécier qu’une variable aussi aléatoire que celle-ci. Tout le monde sait que l’appétit peut varier d’un jour à l’autre même chez des organismes pour qui le repas constitue une ressource vitale de survie. Imaginons ces coefficients tous connus parfaitement et observons d’un peut plus près notre système. On remarque dans la première et la deuxième ligne des termes non-linéaires. En effet, la fonction mathématique représentant la prédation est constituée du produit xy ce qui correspond à un terme d’ordre deux (si on remplace y par x, on obtient x2) donc non-linéaire. Ce qui signifie que ce système est non intégrable analytiquement. Ce qui d’ailleurs n’a pas effrayé V. Volterra qui en 1926 a obtenu la solution de ce système sans l’aide d’un ordinateur. Mais ceci risquerait de nous prendre un certain temps et je ne suis pas V. Volterra. Alors, que dit la machine. On obtient une trajectoire en forme d’ellipse qui est la solution du système dynamique non-linéaire déterministe, et qui est représentée dans un plan, le plan de phase, dans lequel le nombre de prédateurs est fonction du nombre de proies. Horizontalement se trouve la proie x, verticalement le prédateur y. Analysons ce diagramme. Lorsque le nombre de proie augmente le prédateur croît lui aussi, mais comme il croît, il dévore davantage de proies, donc celles-ci diminuent, mais si les proies diminuent le prédateur meurt de faim et son nombre diminue à son tour et si le nombre de prédateur diminue le nombre de proies augmente … Ce système bien qu’il présente des non-linéarités dans ses équations est parfaitement déterministe, i.e., à partir des conditions initiales il est possible de décrire le nombre de proies ou de prédateur à chaque instant passé, présent ou même futur. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Les coefficients a, b, c et d représentent respectivement le taux de croissance ou taux de natalité de la proie, le taux de mortalité de la proie due à la prédation, le taux de croissance ou taux de natalité du prédateur dû à la prédation et le taux de mortalité naturelle du prédateur lorsqu’il n’y a pas de proie, i.e., mortalité due à la famine. reproches principaux: -absence de réalisme. -la mort naturelle n’est pas prise en compte. Ce qui signifie qu’en l’absence de prédateur, la proie ne meurt jamais. -la croissance du prédateur est entièrement contenue dans sa capacité de prédation. C’est-à-dire que sa population augmente après chacun de ses repas. -les croissances de chaque espèce ne sont en rien perturbées par des évènements extérieurs. Ils sont en comme isolés du monde extérieur. il faut connaître les quatre coefficients ci-nommés avec une précision diabolique. le taux de prédation, c’est-à-dire finalement l’appétit du prédateur : rien n’est plus difficile à apprécier qu’une variable aussi aléatoire que celle-ci. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

De l’arithmétique à l’algèbre : une rupture profonde
Quatre allumettes mises bout à bout avec un bâton de 7 cm mesurent 25 cm en tout. Quelle est la longueur d’une allumette ? " Prégnance du raisonnement arithmétique (on «remonte» à l’envers les «gestes» de l’énoncé) " Passage à l’algèbre : on « traduit » le problème en langage mathématique et on travaille dans le modèle En algèbre on ré-écrit le pb dans un autre monde. On fait les mêmes opérations. Ce qui change c’est le mode raisonnement et le statut du signe =. Le signe = dans le 1er calcul déclenche le calcul. Dans le 2ème modèle il indique qu’à droite et à gauche j’ai la même chose. On travaille sur une balance. Al jabr veut dire compensation. Erreur de l’enseignement c’est on travaille dans le modèle, on résout des équations, et on oublie la réalité. Il ne faut pas oublier cet aller-retour constant entre modèle et réalité. Il faut se servir du modèle pour retourner à la réalité. 25cm-7cm = 18cm 18cm : 4 = 4,5cm 4x + 7 = 25 4x = 25 – 7 x = 4,5 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

La forme canonique expliquée aux enfants
Un carré et 10 choses valent 39 X² + 10X = 39 Combien vaut X? X² 5X 25 Al-Khawarizmi: né vers 783 à Khiva dans le Khwarezm (Khorezm) qui a donné son nom, décédé vers 850 à Bagdad), est un mathématicien, géographe, astrologue et astronome perse de confession chiite[1] et est l'auteur de l'ouvrage intitulé Al-ĵabr wa'l-muqābalah (الجبر و المقابلة - Al-jabr wa’l-muqâbalah), qui signifie « La transposition et la réduction », publié en 825. Le terme al-jabr fut repris par les Européens et devint plus tard le mot algèbre. Son autre ouvrage, disparu, Kitāb 'al-ĵāmi` wa'l-tafrīq bī h'isāb ’al-Hind (كتاب الجامع و التفريق بحساب الهند - Kitâb ’al-jâmi‘ wa’l-tafrîq bî h'isâb ’al-Hind, « Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul indien »), est le premier à parler du système des chiffres indiens. Le livre contient six courts chapitres, consacré chacun à un type particulier d'équation. Il ne contient aucun chiffre. Toutes les équations sont exprimées avec des mots. Le carré de l'inconnue est nommé «le carré» ou mâl, l'inconnue est «la chose» ou shay ou jidhr, la constante est le dirham ou adǎd. Première page du Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala Son nom, al-Khuwārizmī, latinisé au Moyen Âge en Algoritmi, puis en Algorisme par les Européens, est à l'origine du mot algorithme, qui veut dire « procédure ». De manière anecdotique, on doit aussi à ’al-Khuwārizmī la tradition consistant à appeler l'inconnue d'une équation mathématique X. En effet, dans son ouvrage ’Al-ĵabr wa'l-muqābala, il expose une méthode (un algorithme au sens propre, donc) pour expliciter une inconnue, ou šay', littéralement « chose », dans une équation du premier degré, en utilisant des ĵabr, « soustractions » (ou « transpositions ») et des muqābala, « égalités » (ou confrontation de deux entités). Après plusieurs avatars, šay ’ (écrit xay en espagnol ancien) a fini par donner X. Gérard Berry a déclaré qu'il ne faisait aucun doute qu'Al-Khuwārizmī était l'inventeur de l'informatique. En revanche le principe des algorithmes était connu depuis l'Antiquité (algorithme d'Euclide), et Donald Knuth mentionne même leur usage par les Babyloniens. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

De l’intérêt de se parler (I) Approximation affine et usage dans les sciences Que penser d’un exercice formulé ainsi? Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à 20°C. A 30°C il ne reste que 2,8l dans le récipient. La physique nous apprend que, entre 20°C et 40°C, l’accroissement de volume est proportionnel à l’accroissement de température. On note x la température. 1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide restant dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C. 2)En déduire le volume à 40°C. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Proposition de modification -l’exercice ne doit pas induire de mauvaises images chez l’élève -il doit permettre à l’élève d’utiliser le modèle fonction affine et proportionnalité des « écarts » avec un support tiré des sciences comment noter la variable? x ou t? EX : Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à 20°C. A 30°C le volume dans le récipient est de 4,8l. On a constaté expérimentalement que pour ce liquide, entre 20°C et 40°C, l’accroissement de volume est proportionnel à l’accroissement de température. On note x la température. 1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C. 2)En déduire le volume à 40°C. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

De l’intérêt de se parler (II) Approximation affine et usage dans les sciences Que peut-on faire pour améliorer la cohérence avec les enseignements de mathématiques? Extrait d’un ex de physique : On présente le spectre d’une étoile Markab, dont on cherche à extraire la présence d’éléments chimiques dans la couche superficielle. On place en dessous le spectre du fer, dont on connaît les longueurs d’onde des raies. Les 8 raies du spectre du fer, à partir de la raie origine (404,4 nm), coïncident avec certaines raies du spectre de l’étoile. Question : mesurer la distance dx entre chacune des 8 raies et la raie origine. Calculer la différence de longueur d’onde dL entre chacune de ces raies et la raie origine. Calculer dx/dL pour chaque raie. Montrer que dx est proportionnel à dL. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Du bon usage de la continuité Premier exemple :
Deux mobiles reliés par une ficelle de longueur h vont de A à B sur 2 routes différentes, d’intersection vide sans casser la ficelle. Deux sphères de rayon h l’une partant de A et l’autre de B peuvent-elles aller l’une de A vers B et l’autre de B vers A sans se rencontrer? -faire un schéma au tableau. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Du bon usage de la continuité Deuxième exemple :
A une élection on vote pour A ou pour B. Peut-on, avant le scrutin faire une prédiction qui ne sera pas démentie par les faits? H Simons (prix Nobel d’économie) pense que oui et argumente : Soit p une prédiction (%de suffrages pour A) Soit f(p) le résultat du scrutin. On fait l’hypothèse que f est continue. Alors la courbe de f coupe forcément la droite d’équation y=x. Donc il existe bien p telle que : p = f(p). -Cette rmq était apparue à cause de la question : est-ce que la publication avant une élection d’un sondage influence le résultat des élections par la suite? -Contre-ex : 15% votent pour B, 30% votent pour A, 15% votent pour le candidat annoncé gagnant et 40% sont des contestataires. Pour toutes les formes de prédictions la prédiction sera alors largement inexacte. -En fait la fonction f n’est définie que sur les valeurs de la forme : 100 * k/N, k nb de votants pour A, N population totale. -On lisse donc une suite finie de points. Peut-on le faire? En fait c’est un pb d’expérience. Premier exemple : En fait on n’a pas besoin du passage du discret au continu. Si on fait un maillage suffisamment fin a << h on va pouvoir représenter les trajets par une suite finie de points. Il reste alors à se convaincre que les deux suites de points des 2 mobiles et des deux sphères possèdent 2 points situés sur des nœuds ayant une arête commune. -Que devient le mouvement continu d’une sphère à une échelle de 10 ^-34 m? On utilise la continuité et la dérivabilité parce que ça simplifie les problèmes 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

-Contre-ex : 15% votent pour B, 30% votent pour A, 15% votent pour le candidat annoncé gagnant et 40% sont des contestataires. Pour toutes les formes de prédictions la prédiction sera alors largement inexacte. -En fait la fonction f n’est définie que sur les valeurs de la forme : 100 * k/N, k nb de votants pour A, N population totale. -On lisse donc une suite finie de points. Peut-on le faire? En fait c’est un pb d’expérience. Si A annoncé gagnant : p > 50 : f(p) = = 45. Si p < 50 : f(p) = = 30. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Contre-Exemple On sait que : 15% votent pour B, 30% votent pour A, 15% votent pour le candidat annoncé gagnant et 40% sont des contestataires. Si p < 50 alors ?? Si p >50 alors ?? Si A annoncé gagnant : p > 50 : f(p) = = 45. Si p < 50 : f(p) = = 30. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Quelle est la vitesse optimale à prendre en cas de risque de bouchon ?
Cahier des charges : on veut un débit maximum. Paramètres : V : vitesse km.h-1 l (en m) la longueur d'une voiture L(en m) la distance entre les arrières D : le débit, et tr, le temps de réflexe de freinage et d : distance de freinage. -Nous supposerons donc que toutes les voitures sont pareilles, roulent à vitesse constante et à distance constante. -on veut avoir un débit maximum, c'est-à-dire que le plus grand nombre possible de voitures s'évacuent. -prise de conscience du pb : si V trop grde => dist à augmenter => Si V petite alors dist de freinage rapprochée mais le débit trop petit. Il faut optimiser. -Paramètres : Appelons v (en km/h) la vitesse des voitures, l (en m) la longueur d'une voiture et L(en m) la distance entre les arrières de deux voitures consécutives. A ces variables il faudra encore ajouter D, le débit, et t, le temps de réflexe nécessaire pour freiner. -DEBIT : nombre de voitures qui franchissent une ligne fixe dans un intervalle de temps T (généralement mesuré en heures). 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Contraintes entre les paramètres
Débit : nombre de voitures passées en un lieu en T (h) D = 1000vT/L Donc D = k v/L Distance de freinage : (elle doit annuler l’énergie cinétique et tenir compte du temps de réaction) d = k1 v² +tr v Avec d <= L- l Qu'est-ce que le débit D ? C'est le nombre de voitures qui franchissent une ligne fixe dans un intervalle de temps T (généralement mesuré en heures). La première voiture roule à une vitesse v et parcourt donc pendant le temps T heures la distance de v.T km; comme les voitures se suivent à une distance L (en m) et au bout de T heures il y aura v.T km/L m = 1000v.T/L voitures qui seront passées. Notons D le débit D par heure; il est donc proportionnel à v/L; D = Cv/L. Nous ne pouvons évidemment pas jouer sur la longueur l des voitures, mais bien la distance L entre voitures. Toutefois cette distance ne peut être inférieure à la distance de sécurité nécessaire pour le freinage. Un freinage efficace doit pouvoir immobiliser le véhicule, c'est-à-dire annuler son énergie cinétique. On sait que l'énergie cinétique vaut mv2/2 et donc la distance de sécurité contiendra une partie proportionnelle au carré de la vitesse. Quelle sera cette distance de freinage ? A la partie proportionnelle au carré de la vitesse il faudra ajouter la distance parcourue suite au temps de réaction. Cette distance devra être inférieure à L -l afin de ne pas heurter, avec l'avant, l'arrière du véhicule précédent. Cette distance vaut Kv2 + tv et doit être inférieure ou égale à L-l. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Au mieux on a donc : d = L – l et donc : k1 v² +tr v + l = L Mais D = kv/L donc D = kv/(k1 v² +tr v + l ) Avec la dérivée : D’(v) = 0  v² = l/k1 Donc Vopt = rac(l/k1) On a donc (au mieux !) Kv2 + tv + l = L Mais on sait que le débit D vaut Cv/L Il vient donc: D = Cv/(Kv2 + tv + l) Voila la relation entre la vitesse v des véhicules et le débit horaire D. Comment optimiser les choses ? Pour qui connaît les dérivées les choses sont simples: on recherche le maximum de D fonction de v. On trouvera ainsi la vitesse optimale vopt et le débit maximum Dmax. Annulons la dérivée première et nous obtenons: v2 = l/K. Comme la vitesse est positive vopt = (l/K). 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Sans connaître la notion de dérivée (point de vue graphique)
1/D = (k1 v²+tr v +l)/(k v) Donc 1/D = (k1/k) v+ (tr/k) + l/(k v) Si nous ne connaissons pas les dérivées, réfléchissons un instant. Comment varie la fonction D ? Ou plus simplement comment varie 1/D ? 1/D = (Kv2 + tv + l)/Cv ou encore, en effectuant la division 1/D = Kv/C + t/C + l/Cv C'est donc la somme d'une fonction linéaire (Kv + t)/C et d'une fonction inverse l/Cv. Représentons graphiquement en bleu une droite (de pente et d'ordonnée à l'origine positives) et une hyperbole. L'allure de la fonction 1/D correspond donc schématiquement à la courbe tracée en rouge. Celle de D est représentée par celle dessinée en vert. Il y aura donc bien un débit maximum correspondant à une valeur optimale de la vitesse. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Calcul de la vitesse optimale
Relation entre D et v : k1Dv2 + (Dtr - k) v + Dl = 0 Pb : à priori 2 racines v1 et v2. v1v2 = Dl/k1D = l/k1 >0 donc il faut v1+v2 > 0  Dtr – k < 0. t très petit donc OK Au fait : y-a-t-il des racines? Delta >=0  (Dtr - k)² >= 4D²lk1 c-a-d Dtr – k <= - 2 D rac(lk1) car Dtr – k < 0 Donc D[tr +2 rac(lk1)] <= k.  D<= k./[tr +2 rac(lk1)] La relation entre v et D est: KDv2 + (Dt - C)v + Dl = 0 Nous en déduisons une équation du second degré qui nous permettra de calculer v: A première vue il y aurait deux solutions pour la vitesse ? Mais dans un problème réel il faut tenir compte de la nature des grandeurs. La vitesse v doit être une grandeur positive ! Le produit des racines de l'équation du second degré donnée est positif, ce qui indique des solutions de même signe mais encore faut-il que la somme de ces solutions soit également positive. Cette somme vaut -(Dt - C)/KD. La condition est donc Dt-C < 0. A moins d'avoir de très mauvais réflexes, t est très petit et cette condition sera pratiquement toujours vérifiée. Mais, au fait, est-on certain que l'équation possède des solutions ?. Pour vérifier, calculons le discriminant qui doit être positif ou éventuellement nul: (Dt - C)2 - 4 KD2l 0 (Dt - C)2 4 KD2l et donc comme Dt - C doit être négatif, Dt - C -2D (K/l) 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Pour maximiser le Débit
Au mieux : Dmax = k./[tr +2 rac(lk1)] . Dans l’équation de départ on a une racine double : v1=v2= (k-Dtr)/(2k1D) mais k-Dtr = 2Drac(lk1) donc Voptimale = rac(l/k1) Sur Internet : df = v² / (2g(cfl + ou – p) v = vitesse en mètres par seconde g = 9,81 m/s² (accélération de la pesanteur) cfl = coefficient de frottement longitudinal p = déclivité du profil en long (en m/m) D’ou k1 = 1 / [2g(cfl)] sur sol horizontal (p=0) Ce résultat nous permet de calculer le débit D: D C/[t + 2 (Kl)] Au mieux on aura le signe d'égalité. Dmax = C/[t + 2 (Kl)] Mais dans ce cas, comme le discriminant est nul, l'équation possède deux solutions confondues et on obtient la vitesse optimale assurant le débit maximum: v = -(Dt - C)/2KD avec D = Dmax d'où l'on déduit: vopt = (l/K) On connaît évidemment la longueur l des voitures, et la constante K peut être calculée en utilisant les données de la sécurité routière où l'on trouve les distances de freinage en fonction de la vitesse. Il suffit de se rappeler que nous avions posé ces distances égales à Kv 2. Lorsqu'on calcule le résultat numérique, on voit qu'il y a intérêt à suivre les conseils de "Bison futé", ou alors, à ne pas être pressé ! Distance de freinage : La valeur théorique de la distance de freinage ne correspond pas aux données des constructeurs automobiles. Elle s’obtient aisément à partir de l’équation d’un mobile en mouvement avec une vitesse v décélérant jusqu’à la vitesse 0. Elle est fonction de la vitesse initiale, de la déclivité et du coefficient de frottement longitudinal (valeur comprise entre 0 et 1). Ce dernier, de par ces hypothèses de calcul, offre des marges de sécurité importantes pour la majeure partie des situations. v = vitesse en mètres par seconde g = 9,81 m/s² (accélération de la pesanteur) cfl = coefficient de frottement longitudinal p = déclivité du profil en long (en m/m) Le coefficient d’adhérence de la chaussée, facteur incontournable [modifier] Le coefficient d’adhérence (coefficient de frottement longitudinal) a une influence directe sur les distances de freinage. Ce coefficient dépend de la nature et de l’état du revêtement. A titre indicatif, et de manière simplificatrice, on peut retenir les valeurs suivantes sur route sèche: 0,8 pour un béton bitumineux propre et sec 0,7 pour un revêtement moyen 0,6 pour un pavé sec Sur route mouillée, ce coefficient est divisé par deux. Valeur selon la vitesse [modifier] Les valeurs de la distance de freinage sur une route plane sèche avec un coefficient de frottement moyen de 0,7 sont, selon la vitesse, les suivantes : Vitesse 50 km/h 70 km/h 90 km/h 110 km/h 130 km/h Distance de freinage 14 m 28 m 46 m 68 m 95 m Variabilité selon les véhicules[1]. [modifier] Le Laboratoire central des ponts et chaussées (LCPC) a fait différentes études sur sa piste d’essais de Nantes. Les essais ont été réalisés avec des véhicules dans leur état du moment, notamment en matière de réglage et niveau d’usure du système de freinage, et en l’état également au niveau de la pression de gonflage. Les essais ont été faits sur du béton bitumineux semi-grenu mouillé sans ruissellement d’eau en surface. La commande toujours effectuée par le même conducteur s’est avérée très reproductible. Pour un freinage d’urgence à 70 km/h, les 25 véhicules testés ont des distances d’arrêt variant de 25 à 50 m. La valeur théorique, avec un coefficient d'adhérence de 0,5, correspondant aux conditions des essais, est de 39 mètres. Les véhicules lourds et utilitaires sont ceux qui ont les distances d’arrêt les plus longues. Cela signifie que si un tel véhicule freine en suivant un véhicule avec une technologie plus récente, dans une file roulant à 70 km/h avec un espace de 20 m (cas le plus courant), la collision est inévitable. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

What a surprise!! Pour g = 9,8, l = 5 m, Pour cfl 0,8 pour un béton bitumineux propre et sec 0,7 pour un revêtement moyen 0,6 pour un pavé sec Vopt = ? 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Des mathématiques aseptisées aux Mathématiques Tout Terrain Exemples
Beaucoup de problèmes concrets échappent aux mathématiques classiques. Pourtant les maths ont leur rôle à jouer mais différemment : Utilisation de l’informatique : discrétisation des problèmes et modélisation. Elaboration de conjectures, travail critique, plausibilité d’un résultat, débat, contre-exemples. Puis démonstration pour emporter la conviction Ancrer les maths dans la réalité Deux types de critique émergent à travers l’analyse des manuels : • d’abord, les contenus (cours, exercices) des manuels sont assez pauvres, • d’autre part, les énoncés proposés restent essentiellement fermés du type « Montrer que ». Ils induisent donc pour beaucoup d’élèves « un jeu incompréhensible «et stérile ». Plus précisément, les « sous questions (sont) trop détaillées » et un « usage trop précoce et trop rigide des règles de démonstration fait que celle-ci perd son intérêt essentiel, qui est d’emporter la conviction, pour n’être qu’un exercice de style stéréotypé. Bref, on réduit le raisonnement à la démonstration, qui n’en est qu’un aspect ». Les auteurs du rapport de la CREM développent alors le point de vue suivant : « La phase de démonstration, en effet, si elle est essentielle en ce qu’elle est la garantie de la sécurité et de l’exactitude, n’est pas, en tous cas, la seule activité du mathématicien. Il y a dans tout travail de recherche, une phase quasiment expérimentale, avec la formulation de conjectures et leur examen critique, notamment à l’aide de contre-exemples, qui précède la démonstration. Cette phase, qui est une véritable activité mathématique, peut et (doit) aussi se retrouver dans l’activité des élèves si l’on souhaite leur donner une véritable formation scientifique, qui aurait en plus l’avantage de se rapprocher de celle que développent les autres disciplines» · Des nouveaux programmes au collège : raisonnement et démonstration Dans l’introduction aux programmes de collège (BO n° 4 du 4 avril 2004), les auteurs insistent sur la place de la conjecture et de l’argumentation dans l’activité mathématique. Au collège, les mathématiques contribuent, avec d'autres disciplines, à entraîner les élèves à la pratique d'une démarche scientifique. L'objectif est de développer conjointement et progressivement les capacités d'expérimentation et de raisonnement, d'imagination et d'analyse critique. Elles contribuent ainsi à la formation du futur citoyen. À travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et l'apprentissage progressif de la démonstration, les élèves prennent conscience petit à petit de ce qu'est une véritable activité mathématique : identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme une solution. -Souvent on peut prouver qu’une solution exacte existe mais par contre elle est inaccessible par un calcul. -trouver des solutions approchées pour des pb dont la solution exacte nous échappe. -savoir passer du continu au discret et réciproquement. -savoir négliger à bon escient. -faire des raisonnements sans passer à la limite. ex : on dira que lim Un = l si la suite des décimales finit par se stabiliser. ex : on dit que f est continue si dx inft petit entraîne df infint petit. ex : Xo = a et Xn+1 = Xn + h f(Xn). Si h est inft petit la suite est inft proche d’une fonction x vérifiant x’(t) = f(x(t)). -Les mathématiques sont dans leur tour d’ivoire, plus ou moins déconnectées du monde qui nous entoure. On travaille sur des concepts sans se préoccuper de à quoi ils servent. On fait comme si les élèves devaient d’office être attirés par les maths et leur beauté. -Il faut ancrer les maths dans la réalité des sciences et des techniques. -On parle du niveau des français aux tests européens (passage de la 9ème place à la 17ème). Quand on regarde ces tests on comprend tout de suite. Tous les ex des tests sont à support issus des sciences et des techniques. Les petits français n’y sont évidemment pas préparés et tout cas pas par leurs enseignements en math. -En fait les maths TT sont pratiqués par les autres disciplines scientifiques : phys_chimie, svt, sc-éco, etc. À partir de : Si simple soit-il, l'exemple précédent désigne en creux un fait massif : la tradition scolaire est, en mathématiques, éperdument déductiviste , au point d'occulter et même de nier la réalité sur laquelle portent les assertions qu'elle prétend « démontrer », que cette réalité soit au départ extramathématique (l'espace ambiant, pour la géométrie regardée comme théorie hypothético-déductive de l'espace, par exemple) ou qu'elle soit déjà mathématisée (les programmes de calcul, pour l'algèbre regardée comme théorie hypothético-déductive du calcul arithmétique, etc.). Or le recours aux TIC peut prolonger, en la masquant de bonne foi, cette option consacrée. L'obstacle à franchir est immense : le chiffrage proposé par Martin Andler, pour qui « les mathématiques à tous les niveaux consistent en 45 % d'observation, 45 % de démarche expérimentale et 10 % de démonstration », ou du moins pour qui c'est là « à peu près l'équilibre qu'il y a dans l'activité d'un mathématicien chercheur qui travaille sur un problème donné », paraît très étranger à une tradition scolaire pour laquelle, aujourd'hui encore, la déduction théorique est tout – même si, en pratique, elle ne l'honore que bien imparfaitement – et qui, en outre, ne concevant guère qu'on n'établisse pas le résultat complet attendu, méconnaît du même mouvement la notion, si vitale pourtant, de résultat partiel . Dans un article fameux paru en 1994, William P. Thurston, lauréat de la médaille Fields en 1982, stigmatisait le modèle de sens commun de l'activité mathématique, the definition-theorem-proof (DTP) model of mathematics ( ). Il semble que les lignes de force aient, à cet égard, peu bougé depuis. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Modèles en Sciences Ce qui est donné pour servir de référence (souches…) Ce qui est représentatif d’une catégorie (type de volcan…) Reproduction à échelle différente (cellule, temps géologiques…) Structure utilisée pour rendre compte de phénomènes non reproductibles ou non visibles… 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

1 - Les modèles animaux Permettent d’utiliser des animaux possédant certaines particularités anatomiques ou physiologiques Permettent d’étudier les animaux sur plusieurs générations Peuvent être soumis à des tests ou expérimentations Transposition à l’homme ultérieurement 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Drosophile Antennapedia
Antennapedia, encore appelé ANT-C, est un gène HOX de la Drosophile qui contrôle le placement des pattes. Il est porté sur le chromosome III. Une perte de la fonction par mutation dans la région de régulation de ce gène peut donner comme résultat la conversion de la seconde paire de pattes en des antennes ectopiques. Ceci est seulement une illustration de la tendance des organismes à exhiber des variations sur un thème, en répétition modulée. Les pattes et les antennes sont liées de la même façon que le sont les molaires et les incisives ou que les doigts et les pouces, les bras et les jambes. Au contraire, les allèles du gène définissant le gain de la fonction convertissent les antennes en des pattes ectopiques. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Antennapedia Encore appelé ANT-C, est un gène HOX de la Drosophile qui contrôle le placement des pattes. Il est porté sur le chromosome III. Une perte de la fonction par mutation dans la région de régulation de ce gène peut donner comme résultat la conversion de la seconde paire de pattes en des antennes ectopiques. Ceci est seulement une illustration de la tendance des organismes à exhiber des variations sur un thème, en répétition modulée. Les pattes et les antennes sont liées de la même façon que le sont les molaires et les incisives ou que les doigts et les pouces, les bras et les jambes. Au contraire, les allèles du gène définissant le gain de la fonction convertissent les antennes en des pattes ectopiques. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Vibrio harveyi Deux familles de bactéries, les Vibrionacées et les Entérobactériacées présentent des représentants luminescents. Il est possible de s’en procurer aisément soit en réalisant un isolement à partir d’un échantillon biologique (3) soit plus simplement dans le commerce (7). La culture de bactéries luminescentes et la bioluminescence elle-même sont porteuses d’un considérable potentiel pédagogique car elles conduisent à s’interroger sur de multiples problèmes biologiques et à les résoudre en intégrant des activités pratiques diversifiées. Outre l’acquisition des gestes techniques fondamentaux de la microbiologie, la mesure de l’émission lumineuse peut être utilisée pour établir la cinétique de croissance d’une population bactérienne et pour explorer les conditions de vie de ces organismes et leur métabolisme. Des bactéries luminescentes sont également utilisées comme organismes indicateurs dans des tests biologiques (1), outils de surveillance de l’environnement. Ainsi, un test commercial comme le test MICROTOX® permet de tester le potentiel toxique des eaux à l’aide de bactéries luminescentes. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

2 – Les modèles analogiques
Analogues géométriques, mécaniques ou électriques d’objets biologiques Définis par l’invariance du rapport de certaines grandeurs ou propriétés homologues 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Le cœur est une pompe Il met en mouvement un fluide dans un circuit fermé Le circuit est en parallèle et non en série 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

3 – Les modèles de simulation par ordinateur
Simulation de la pression sanguine sur la paroi d’un anévrisme : Simulation des ondes sismiques : 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Rôles des modèles Expliquer Ex : remontée du magma Prévoir Ex : anévrisme Visualiser Ex : faille de San Andréa 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Modèle, outil didactique
Objet de substitution, il aide à la construction des connaissances Support concret, il demande un effort intellectuel moindre (surtout pour les plus jeunes) Moyen de transmission de connaissances, c’est une forme de langage 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Projet P3 projet interdisciplinaire maîtrise de la langue française par les élèves, éducation à l’environnement ou au développement durable, éducation à la santé, thème de convergence, TPE, IDD, PPCP,….). Préparer une séquence d’enseignement Le travail doit être guidé par une problématique pluridisciplinaire Il doit y avoir articulation entre plusieurs disciplines et une approche théorique On prépare une séquence pédagogique L’introduction du PPCP (projet pluridisciplinaire à caractère professionnel) dans toutes les formations conduisant aux CAP, aux BEP et aux Bacs professionnels manifeste la volonté de renforcer cette pratique pédagogique originale, issue de l’enseignement supérieur et étendue aux filières générales et technologiques. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Compétences évaluées Exercer l’expression écrite et orale des élèves Connaître le socle commun Mettre en œuvre des approches pluridisciplinaires Maîtriser les TICE Travailler en équipe pluridisciplinaire Se former et innover 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Contenu du dossier présentation de la problématique et éléments théoriques inter-disciplines (deux pages) objectifs de la séquence et choix effectués (une page) Calendrier, analyse à priori et à posteriori (3 pages) choix de productions d’élèves représentatifs (1 page) synthèse et propositions alternative ou prolongements possibles (1 page) 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Améliorer l’expression chez les élèves (Savoir utiliser un langage pour décrire une situation) Enrichir l’emploi de la langue Approfondir la pratique de l’argumentation Fournir des mots nouveaux pour s’exprimer Exemples : Résolution par traduction (analytique) Décrire en français un algorithme non commenté Fournir une bonne approximation, bien définie, d’une fonction d’expression analytique inconnue. (chaque élève construit son modèle propre proposé aux autres) Analyse mathématique de textes scientifiques 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Inter, pluri, trans disciplinarité
L’interdisciplinarité fait appel aux spécificités de diverses disciplines qui convergent par nécessité pour résoudre un problème. La pluridisciplinarité exploite une situation, à travers certaines disciplines, de façon élégante et opportune, sans chercher des liens et sans obligation. La transdisciplinarité relie les disciplines sans obligation, de manière à atteindre les mêmes objectifs à travers des activités très variés. Selon les instructions officielles de 1995, la pratique des activités scientifiques et technologiques permet le développement conjoint de 3 champs de compétences Relation avec les différentes disciplines Transversalité Maîtrise de la langue La mise en relation des disciplines sous-entend les concepts de pluridisciplinarité, d’interdisciplinarité, de transdisciplinarité…(1). Interdisciplinarité Par exemple, la réalisation d’un affichage relatif à la productivité d’une forêt est une activité interdisciplinaire faisant intervenir la biologie (croissance des végétaux), les mathématiques (mesure de la hauteur des arbres et évaluation de leur nombre), la physique (évaluation de la masse de bois), la technologie (fabrication d’instruments pour mesurer les hauteurs à l’aide de visées), les arts plastiques (réalisations de photographies et de dessins) et le français (rédaction du texte de l’exposition). Toutes ces disciplines interviennent donc par nécessité. Pluridisciplinarité Par exemple, une sortie en forêt donne l’occasion de proposer plusieurs activités en biologie (étude du sol au pied des arbres), EPS (activité sportive), mathématiques (orientation et repérage dans l’espace), et français (lecture d’un poème sur la forêt). L’introduction de toutes ces disciplines n’est donc pas obligatoire ; elle est néanmoins cohérente. Transdisciplinarité Pour structurer le concept transversal de temps, plusieurs disciplines interviennent dans divers contextes : l’histoire et la géographie (pour les grandes durées), le français (pour les conjugaisons au passé, au présent au futur et pour le vocabulaire), la géographie et la biologie (pour les cycles liés aux saisons), les mathématiques et la physique (pour les mesures des durées, la simultanéité et la succession). Par ailleurs, si l’objectif est de « rendre l’enfant capable d’extraire les éléments essentiels d’un texte relativement complexe », alors tous les enseignements peuvent proposer des recherches documentaires à propos de notions différentes. Prenons l’exemple de la digestion pour illustrer l’interdisciplinarité conceptuelle (d’après l’enseignement scientifique : comment faire pour que ça marche ?) CONCEPTS BIOLOGIQUES Organe Appareil Fonction (et rapport entre structure et fonction) Milieu intérieur Unité de l’organisme Muscle Excrétion Croissance Adaptation et évolution CONCEPTS PHYSIQUES Etats de la matière (solide, liquide) Approche de la divisibilité de la matière Filtration, dissolution, suspension Conservation de la matière CONCEPTS TRANSVERSAUX Temps (durée, succession de phase) Echelle des grandeurs Passage de 2 à 3 dimensions Système Causalité Equilibre La pratique du Français concerne toutes les disciplines quel que soit le thème abordé. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Qu’est-ce que la culture mathématique dans le cadre d’évaluation de PISA 2006 (OCDE, 2006a) l’aptitude d’un individu à identifier et à comprendre le rôle joué par les mathématiques dans le monde, à porter des jugements fondés à leur propos et à s’engager dans des activités mathématiques, en fonction des exigences de sa vie en tant que citoyen constructif, impliqué et réfléchi (OCDE, 2006a). 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Evaluer les savoirs et savoir-faire des élèves en mathématiques PISA 2006 en fonction de trois dimensions le contenu mathématique des différents problèmes et questions, les processus à mettre en œuvre pour établir des liens entre les phénomènes observés et les notions mathématiques pertinentes, puis pour résoudre les problèmes les situations et les contextes qui servent de stimulus aux items et dans lesquels les problèmes s’inscrivent. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Le pendule simple Pendule simple : fil inextensible, et sans masse, longueur L, masse ponctuelle m. Angle avec la verticale : a(t) Newton : d²a(t)/dt² = -g/L sin (a(t)) avec a(0) = ao et a’(0) = 0 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Qu'est une véritable activité mathématique? introduction aux programmes de collège (BO n° 4 du 4 avril 2004) identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme une solution. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Méthode des tangentes parallèles pour la détermination du point d'équivalence E 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Autre méthode : méthode du pic de la dérivée

Exemple de façon de travailler avec les élèves
Après analyse du problème répartir les élèves en groupes thématiques. Chaque groupe est chargé d’une mission précise et devra produire un texte, rendant compte du travail accompli. Une synthèse est alors organisée sous forme de débat ou chaque groupe apporte sa contribution. -Il est souhaitable que les groupes soient constitués d’élèves ayant au départ le même point de vue sur le problème posé. -Il y a un rapporteur par groupe, et les autres peuvent intervenir en passant des petits papiers par ex ou bien en demandant la parole. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Références bibliographiques (I)
Jacques Istas : Introduction aux modélisations mathématiques pour les sciences du vivant. Springer-Verlag, Berlin 2000. Istas,J. (2005). Mathematical Modeling for the Life Sciences, Springer. James Gleick : La théorie du chaos. (Champs-Flammarion) T35 : E.J.Aubert (Mathematical intelligencer Vol 6 no 3) Leçons de calcul infinitesimal. Deledicq-Diener 1989. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Références bibliographiques (II)
Cherruault Y. (1998), Modèles et méthodes mathématiques pour les sciences du vivant, Presses universitaires de France, (ISBN ) 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Vocabulaire Conjecture : Émettre une conjecture, c’est résumer dans un énoncé précis une idée que l’on pense universellement vraie (Legrand 2000). Explication : Proposer une explication, c’est réaliser un discours dont l'objectif est de communiquer à d'autres le caractère de vérité d'un énoncé mathématique. Vocabul 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Vocabulaire Preuve : Faire une preuve c’est proposer une explication acceptée relativement à la vérité d’un énoncé par une communauté de pensée à un moment donné. Il y a : les preuves pragmatiques, les preuves intellectuelles, les preuves formelles, la démonstration. (Balacheff) Une démonstration est : tout raisonnement valide permettant d’établir qu’un énoncé est vrai ou faux à l’intérieur d’un système théorique. Elle a : un statut social , et deux fonctions : une fonction de validation dans le but de réduire le doute et une fonction explicative du pourquoi Dans ce paragraphe, nous explicitons les spécificités du raisonnement mathématique. · Richesse du raisonnement mathématique ? Au-delà de l’argumentation, le programme nous amène à distinguer conjecture, explication, preuve et démonstration. Qu’entend-on pour chacun de ces termes ? o Conjecture : Émettre une conjecture, c’est résumer dans un énoncé précis une idée que l’on pense universellement vraie (Legrand 2000). o Explication : Proposer une explication, c’est réaliser un discours dont l'objectif est de communiquer à d'autres le caractère de vérité d'un énoncé mathématique. o Preuve : Faire une preuve c’est proposer une explication acceptée relativement à la vérité d’un énoncé par une communauté de pensée à un moment donné. Balacheff (1988) distingue différents niveaux de preuve : les preuves pragmatiques, les preuves intellectuelles, les preuves formelles, la démonstration. La démonstration est tout raisonnement valide permettant d’établir qu’un énoncé est vrai ou faux à l’intérieur d’un système théorique. Une démonstration est un outil de preuve avec les caractéristiques suivantes : • un statut social : c’est une preuve acceptée par une communauté donnée (mathématiciens, classe à un niveau scolaire donné) • deux fonctions : – une fonction de validation dans le but de réduire le doute, – une fonction explicative du pourquoi : soit pour convaincre, soit pour expliquer. • une forme : toute démonstration respecte des règles ; certains énoncés sont considérés comme vrais (axiomes) ; les autres sont déduits de ceux-ci ou d'énoncés préalablement démontrés à partir de règles déductives. • la nature des objets en jeu : les objets mathématiques mis en jeu dans l'application des règles déductives sont des objets géométriques théoriques qui n'appartiennent pas à l'espace sensible. • un contexte : cet apprentissage ne peut se situer en dehors de résolution de problèmes. Nous avons déjà mis en évidence trois types d’obstacles : • Entrer dans la rationalité mathématique différente de celle du quotidien, • Enclencher un processus destiné à produire des résultats, conjectures et à en établir la vérité, • Aboutir à un texte présentant la démonstration. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Preuve et démonstration ? Quelle différence?
un nombre fini d'étapes logiques à partir de ce qui est connu vers une conclusion en utilisant des règles d'inférence connues. (Hanna and Barbeau, p. 38) Sens commun :argumentation développée dans le sens de la vérité pour emporter l'adhésion des auditeurs (ex: plaidoirie de l'avocat de la défense) Preuve : Opération par laquelle on contrôle l'exactitude d'un calcul ou la justesse de la solution d'un problème. Sens commun : un indice important dans la recherche de la vérité Une démonstration constituerait une démarche -habituellement formelle OU formalisée- cohérente et complète (dans le sens où elle se suffirait à elle-même, à partir du moment où on admet les hypothèses) dont l'aboutissement est tout ou partie d'un résultat attendu. Cela serait ainsi et de manière constante le fruit d'un raisonnement. Une preuve serait un témoignage de ce résultat, à savoir un ou plusieurs faits avérés, une démonstration en soi, ou une combinaison des précédents. Elle pourrait en somme découler d'un raisonnement, sans que cela soit une nécessité, et donc inclure une ou plusieurs démonstrations. A mon sens, la différence serait "comparable" à celle qui se présente entre "séquence syntaxique" [enchaînement conséquent d'énoncés] (pour la démonstration) et "suite sémantique" [enchaînement valide d'énoncés] (pour la preuve). Voici les définitions (en maths) que j'ai trouvé sur mon dico: Preuve: Opération par laquelle on contrôle l'exactitude d'un calcul ou la justesse de la solution d'un problème. Démonstration: Raisonnement par lequel on établit la vérité d'une proposition à l'aide de définitions, d'axiomes, de postulats, et de propositions établies antérieurement. a finite number of logical steps from what is known to a conclusion using accepted rules of inference.” (Hanna and Barbeau, p. 38) D'ailleurs, on ne dit pas "la demonstration par 9" mais la "preuve par 9". Le probleme vient quand on regarde la définition "non mathématique" de la preuve: prouver c'est démontrer qu'une chose est vraie au moyen d'arguments. La meilleure façon de conclure, c'est de savoir que le terme "démontrer" est apparu en 980 dans le sens de "être un témoignage de" (par ex. "sa rougeur démontrait sa honte") et que le terme "prouver" est apparu vers Mais vers 1400, le terme "démontrer" peut prendre la définition suivante en maths: "prouver par une démonstration, d'une manière évidente". Je conclus donc que les termes mathématiques et français sont différents dans leurs définitions: en maths, prouver c'est contrôler l'exactitude d'un résultat; démontrer c'est prouver par une démonstration, une démonstration étant un raisonnement par lequel on établit la vérité etc... D'ailleurs, on dit bien: "les profs de maths sentent la poubelle, et POUR PREUVE, mon prof d'Algèbre transpire et ne se lave jamais..." Conclusion semi-finale : utilisez le terme DEMONTRER pour faire la démonstration d'un théorème, et le terme PREUVE pour donner des exemples qui montre la justesse du théorème. Et comme en maths, pour montrer qu'un théorème est faux, il suffit de trouver un contre-exemple, alors démontrer qu'un théorème est faux, c'est contrôler l'exactitude du théorème, et donc PROUVER qu'il est faux. Conclusion finale: on démontre qu'un théorème est vrai, mais on prouve ou démontre qu'il est faux. attention! devant les tribunaux français les aveux n'ont plus force probante depuis de nombreuses années (depuis que la police scientifique a montré son efficacité) pour revenir au sujet du débat, une preuve en langage courant est un indice important dans la recherche de la vérité (les procureurs dans leur exposé diront: "j'en veux pour preuve...") alors qu'une démonstration est une argumentation développée dans le sens de la vérité pour emporter l'adhésion des auditeurs (c'est la plaidoirie de l'avocat de la défense) en math une preuve sera un test numérique sous forme d'algorithme, une vérification d'ordre ou de longueur, la compatibilité de tel théorème ou de telle propriété avec d'autres théorèmes connus et reconnus une démonstration en math intègre l'analyse et la synthèse (comme sait le faire très bien Bisam ici même) et vise à faire le tour du problème posé Pour ma part, voici l'explication : par le passé, j'utilisais aussi le mot "preuve" dans mes polys pour indiquer la démonstration d'un théorème, jusqu'au jour où, rapportant un cas flagrant de fraude à un contrôle (l'étudiant avait eu accès par avance, au service photocopie, à mon corrigé et l'avait recopié mot à mot sur sa copie, y compris les fautes de frappe..), le directeur a décidé de ne rien décider en m'expliquant que je n'avais pas la preuve de la fraude puisque je n'étais pas dans le local de la photocopie quand je supposais que cela se fût produit.. Ce à quoi je lui ai répondu qu'il y avait aussi des imbéciles qui prétendaient qu'il n'y avait, au sens juridique strict, aucune preuve que les nazis aient bien exterminé plusieurs millions de personnes.... Inutile de dire qu'il n'a pas apprécié mon argument. C'est donc à cause du caractère "sulfureux" qu'a pris pour moi ce mot "preuve" que je ne l'utilise plus aujourd'hui en mathématiques. Mais libre à chacun de l'employer. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Démonstration et Argumentation? Quelle différence?
Le raisonnement déductif est décrit par une structure ternaire : les pas sont connectés selon un processus de recyclage, c’est-à-dire, la conclusion du premier pas devient la donnée du pas suivant. (la validité est contrôlée ) Au contraire, dans l’argumentation, les inférences sont reliées par connexion intrinsèque en prenant en compte le contenu. (on ne peut qu’ en évaluer la pertinence ) · Rupture ou continuité cognitive entre argumentation en français et raisonnement déductif ? (Duval 1993) Duval distingue une argumentation en français d’un raisonnement déductif et développe l’idée d’une rupture cognitive entre argumentation et raisonnement déductif. Pour étayer cette rupture, Duval développe plusieurs points opposant l’argumentation en français et le raisonnement déductif. 1. Duval distingue le contenu d’un énoncé de son statut : • Son contenu peut avoir comme « valeur épistémique », évident, absurde, nécessaire, vraisemblable, possible, neutre, …. • Son statut dépend du contexte d’énonciation : ce peut être une hypothèse, un axiome, une définition, un théorème, une conjecture 2. Duval distingue la structure d’un pas déductif et d’une argumentation : • Le raisonnement déductif est décrit par une structure ternaire : les pas sont connectés selon un processus de recyclage, c’est-à-dire, la conclusion du premier pas devient la donnée du pas suivant. • Au contraire, dans l’argumentation, les inférences sont reliées par connexion intrinsèque en prenant en compte le contenu. Un raisonnement déductif est un raisonnement dont la validité est contrôlée, ce qui n’est pas le cas pour l’argumentation : il est seulement possible d’en évaluer la pertinence. Duval défend donc la nécessité de mettre en évidence les différences entre raisonnement mathématique et argumentation en français. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Démonstration et Argumentation
La démonstration fournit des preuves contraignantes, Elle est dans le champ de la vérité formelle l’argumentation, elle, ne fait que préciser les raisons en faveur ou contre une thèse déterminée. Elle est dans l’ordre de la vérité matérielle il est d’usage de rattacher l’usage rigoureux de la démonstration à la logique et aux mathématiques, tandis que l’on replacera l’argumentation dans l’ordre concret des faits, dans l’ordre de la vérité matérielle, les mathématiques demeurant sur le plan des idéalités, dans le champ de la vérité formelle. Parce que dans la démonstration la puissance de la logique se trouve libérée de toute entrave, de toute référence avec la nécessité de consulter des faits pour savoir si ce que l’on dit est vrai, la démonstration emporte avec elle une force que n’a jamais l’argumentation. La démonstration fournit des preuves contraignantes, l’argumentation, elle, ne fait que préciser les raisons en faveur ou contre une thèse déterminée. Dans la démonstration, l’esprit est obligé de plier, de s’incliner et il ne peut pas se dégager. Fondamentalement, nous ne pouvons pas nous dérober devant les conséquences de nos propres principes, parce qu’elles vont avec. Ce qui est agaçant, car cela vaut pour tous les principes, des axiomes mathématiques, aux principes de la logique, jusqu’aux principes des systèmes les plus dogmatiques… y compris ceux des sceptiques ! La vertu de la démonstration, telle que la déploie un professeur de mathématique en cours, c’est d’habituer l’élève à une rigueur qui l’oblige à suivre le fil de la logique, de ne plus procéder par association d’idées. La démonstration est un modèle d’objectivité (texte). La vertu de la démonstration est d’obliger l’esprit à s’émanciper de toute opinion ou vue trop subjective, au sens le plus vague du terme. La contrainte logique de la démonstration nous oblige à abandonner nos opinions personnelles, nos vues fantaisistes, pour nous soumettre à un système et à sa la logique. La démonstration est une école de formation intellectuelle en ce sens. Elle nous apprend l’impartialité. Elle nous oblige à reconnaître la vérité comme ce qui est indépendant de nos opinions personnelles, comme ce qui est valide pour tout esprit rationnel. Mais attention, cela doit s’entendre dans un sens qui n’est pas intuitif, car tout processus de démonstration est discursif, c’est-à-dire repose sur le raisonnement. La démonstration nous demande de nous situer d’emblée sur le terrain d’un auditoire universel, celui de la communauté des esprits capables de reconnaître la validité d’un savoir objectif. En pratique, cette communauté est celle du consensus des savants. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Argumentation mathématique
Justification rationnelle ayant pour objectif la recherche de la vérité d’une proposition mathématique, avec validation ou bien réfutation de conjectures par contre-exemple, passant ainsi par l’établissement du faux. (Douaire 1999) 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Les types de raisonnement mathématique
Raisonnement par enchaînements déductifs (modus ponens ) L’utilisation de contre-exemple Le raisonnement par disjonction de cas Le raisonnement par contra posée, Le raisonnement par l’absurde Le raisonnement par récurrence Au fil des programmes de collège et de lycée, nous donnons des exemples pour des types de raisonnement : • Utilisation de contre-exemple : En sixième, exercices sur la division euclidienne En cinquième : Analyser des propriétés caractéristiques des figures, prouver qu’une propriété numérique est fausse, prouver que deux suites ne sont pas proportionnelles. En quatrième : Prouver des égalités fausses avec des puissances. En troisième : Prouver des égalités fausses avec des racines carrées, prouver les réciproques fausses des propriétés des diviseurs d’un nombre entier • Raisonnement par disjonction de cas En sixième : comparer des décimaux En cinquième : comparer des nombres relatifs en écriture décimale, définir la distance de deux points sur un axe, définir la somme et le produit de deux nombres relatifs En quatrième : étudier les effets de la multiplication sur l’ordre En troisième : Prouver le théorème de Thalès, le théorème de l’angle inscrit • Approche du raisonnement par l’absurde • En cinquième : construction de triangles impossibles, caractérisation angulaire du non parallélisme • En quatrième : Théorème de Pythagore • En troisième : Théorème de Thalès • Seconde : Irrationalité de √2 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Forces de frottement fluide
On lâche un tube à hémolyse lesté dans un fluide. On cherche à estimer les forces de frottement fluide qui interviennent. On va comparer plusieurs modèles. Relation fondamentale de la dynamique : mg – ρVg – ff = m dV/dt. D’ou : g – ρVg/m – ff/m = dV/dt On pose A = g – ρVg/m d’ou A-f/m = dV/dt 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Modèles Proportionnel à la vitesse : A-Bv = dV/dt au carré de la vitesse : A-Cv² = dV/dt Combiné des deux : A- Bv -Cv² = dV/dt 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Expérimentalement la vitesse semble avoir une limite finie quand t tend vers l’infini. A la limite dV/dt = 0 d’ou : 1er cas : A –B vlim= 0 2ème cas : A –C (vlim)² = 0 3 ème cas : A –B Vlim –C (Vlim)² =0 A est connu en fonction des données A = g – ρVg/m. On en déduit B ou C en fonction des données expérimentales. Dans le 3ème cas on exprime l’un des paramètres B ou C en fonction de l’autre 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

La division " On fait des guirlandes de 5 mètres dans une « ficelle » de 32 mètres. Combien de rubans peut-on faire ? " On fait 5 guirlandes de même longueur dans une « ficelle » de 32 mètres. Quelle est la longueur d’un ruban ? On n’est pas dans le même modèle. Sémantiquement très proche. Les gestes ne sont pas les mêmes Analogie : facile (report et il reste quelque chose) Plus difficile (il faut plier en 5 et mesurer après) 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

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