Duffing Système mécanique dont le comportement est modélisé par une telle équation ? Résoudre avec CI: d'abord x(0)=0 et dx(0)/dt=0 et ensuite x(0)=0.1.

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1 Duffing Système mécanique dont le comportement est modélisé par une telle équation ? Résoudre avec CI: d'abord x(0)=0 et dx(0)/dt=0 et ensuite x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0. idem en supprimant la non linéarité de l'équation de Duffing Tracer la solution de Duffing et de Duffing linéarisé dans le plan des phases. Déterminer la section de Poincaré de Duffing et de Duffing linéarisé

2 Résoudre avec CI: x(0)=0 et dx(0)/dt=0 x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0.

3 Résoudre avec CI: x(0)=0 et dx(0)/dt=0 - x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0.
Duffing

4 Résoudre avec CI: x(0)=0 et dx(0)/dt=0 - x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0.
Duffing linéaire

5 Solution dans le plan des phases
Duffing Auto-intersections car système non autonomes Eviter auto-intersections: travailler à 3D avec tcomme nouvelle variable dépendante

6 Solution dans le plan des phases
Duffing linéaire Présence probable d'un foyer instable et d'un cycle limite.

7 Plan des Phases à 3D 3D:  autres points singuliers qui n'ont pas leur équivalent à deux dimensions. ex: cas des orbites homoclines dans l'espace des phases: ces dernières se caractérisent par leur éloignement progressif du point singulier pour ensuite y revenir brusquement, ce qui serait impossible à deux dimensions puisqu'on observerait alors une auto-intersection.

8 Déterminer la Section de
Poincaré But: Ramener à deux dimensions l'étude du mouvement dans l'espace des phases Methode: (x;dx/dt) non pas en continu mais à intervalle de temps régulier (période du terme forçant) Que nous apporte cette méthode ? Mouvement périodique: point unique (rapport entier) ou nombre fini de points (rapport rationnel) ou infinité non dénombrable (rapport irrationnel) - relier ces points par une courbe continue. Mouvement chaotique: Points formant une courbe fractale

9 Code Matlab pour Tracer une section de Poincaré

10 Section Poincaré Duffing Linéaire

11 Section Poincaré Duffing

12 Plan des phases - Attracteurs

13 Autre exemple de non linéarité
Code Matlab Autre exemple de non linéarité Second membre est un terme forçant dont la fréquence d'oscillation est croissante avec le temps

14 Autre exemple de non linéarité

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