Ondelettes Philippe RAVIER Laboratoire PRISME Université d’Orléans 5A EEO option AA.

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1 Ondelettes Philippe RAVIER Laboratoire PRISME Université d’Orléans 5A EEO option AA

2 L’analyse temps fréquence Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

3 Compromis entre la résolution temporelle et fréquentielle Bonne résolution fréquentielle Mauvaise résolution temporelle Bonne résolution temporelle Mauvaise résolution fréquentielle Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

4 Le principe de Heisenberg Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

5 Principe : Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

6 La transformée en ondelette continue :

7 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Propriétés

8 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Transformée inverse

9 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Exemples d’ondelettes continues

10 Trop long ! Trop court ! Correspond à une démarche naturelle d’analyse Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Intérêt du traitement par ondelettes

11 Domaines de représentation Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications temps (s) fréquence (Hz) Temps-fréquence temps (s) Facteur d’échelle a Temps-échelle

12 Le scalogramme Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

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15 Quelques exemples 02 4 temps (s) fréquence (Hz) TFCT 02 4 temps (s) fréquence (Hz) TO

16 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemplesTFCT 04 8 temps (s) fréquence (Hz) 2 6 TO 04 8 temps (s) fréquence (Hz) 2 6

17 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples

18 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples Chirp linéaire

19 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples

20 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples Modulation sinusoïdale d’amplitude

21 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples

22 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples Modulation Sinusoïdale de fréquence

23 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples

24 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples Sinus lent + Sinus rapide après 2 s + Impulsion

25 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications - Compromis entre redondance et perte d’information - Formule de reconstruction exacte Discrétisation du plan temps-échelle Comment calculer les coefficients ?

26 Concept : approximations et détails Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications V0V0 V1V1 V2V2

27 Principe Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

28 L’analyse multirésolution (MRA) : définition des V i et W i............ V -1 V1V1 V -2 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications V0V0

29 Structure des espaces d’approximation V i  Il existe une fonction de V 0 telle que la famille est appelée la fonction d’échelle En conséquence des propriétés antérieures, l’ensemble des fonctions suivantes forme une base orthonormale V m est une base orthonormée de V 0 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

30 Propriétés de la fonction d’échelle  Equation de définition de la fonction d’échelle h Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

31 Espaces de détail Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

32 Structure des espaces de détail W i   est une base orthonormale pour W 0 est une base orthonormale pour W m Puisqueet   est une base orthonormale pour est l’ondelette mère Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

33 Propriétés de l’ondelette mère Equation de définition de l’ondelette mère Orthogonalité entre les fonctions ondelette et échelle Les deux conditions ci-dessus impliquent Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

34 Propriétés souhaitées des ondelettes dicrètes orthogonalité réalité symétrie support fini Ces propriétés ne peuvent coexister sauf pour l’ondelette de Haar Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

35 Ondelettes de Daubechies Ordre 2 Ordre 3 Ordre 5 Ordre 9

36 Coefficients d’approximation Coefficients de détail Ondelettes et filtrage numérique Calculs récursifs 2 2 2 2 ANALYSESYNTHESE Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

37 Représentation des coefficients discrets Coût de calcul faible en 0(N)

38 Possibilité de reconstruire le signal à un niveau de décomposition donné Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

39 Exemples dans le domaine biomédical : - estimation / suppression de bruit - détection de battements cardiaques Exemples en traitement d’image : - compression JPEG2000

40 Estimation du niveau de bruit Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

41 Débruitage par seuillage de coefficients d’ondelettes Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

42 Suppression d’artéfacts ou de la ligne de base Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

43 Approches usuelles - Détection par préfiltrage / filtrage adapté / seuillage sensible aux variations de l’onde QRS - Détection par ondelettes : utilisent le résultat de décompositions dyadiques sur plusieurs échelles qui ne sont pas a priori les mieux adaptées Approche réalisée - Détection robuste de pics QRS par filtrage adapté local sur 4 coefficients en ondelette - Ondelette sélectionnée : ondelette de Klauder car bien adaptée à la forme QRS - Evaluation des performances au travers de la base de données arrythmiques du MIT/BIH Détection robuste de complexes QRS Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

44 fréquence temps domaine D motif élémentaire 0 Grille calculée pour couvrir l’incertitude t/f de l’ondelette Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

45 Taux de bonne détection : 98.9 % sur l’enregistrement complet. Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

46 Compression d’images Empreinte digitale du pouce gauche de la base de données du FBI : image d’origine À gauche, celle de droite est reconstruite après compression d’un rapport 26:1 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications premières applications avec les empreintes digitales

47 Compression d’images : le standard JPEG2000 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

48 Conclusion Travaux récents proposent beaucoup d’autres types de transformées inspirées ondelettes, par exemple : - Ondelettes adaptées (paquets d’ondelettes, ondelettes de Malvar…) - Ridgelet - Curvelet - Contourlet - Brushlet - Ondelettes spectrales - Ondelettes stéréographiques - Ondelettes sur la sphère - …