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Commande non-linéaire Notes de Hannah Michalska, McGill University.

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1 Commande non-linéaire Notes de Hannah Michalska, McGill University

2 Contrôle par mode de glissement (sliding mode control) Soit un système non-linéaire Problème (T): Construire u(x) tel que: Suivi de trajectoire… 2

3 Idée principale Définissons Erreur de suivi de trajectoire. Il existe un temps t 1 tel que (i=1,2,…,n-2) …et Ce qui implique: 3

4 Idée principale Pour un système du 2 e ordre: Pour un système du 3 e ordre: Ces équations différentielles sont stable pour 4

5 Surface de glissement La partie gauche des équations peut être vue comme léquation dun hyperplan de glissement S(t): Cet hyperplan doit être un ensemble invariant. Une fois que lon y est, on y reste ! 5

6 Problème (T) équivalent Il faut construire la commande u(x) tel que: S(t) est atteint en un temps fini t 1 ; S(t)=0, pout tout tt 1. Faits: 6

7 Fait #1 Si t 1 est tel que: S(t 1 )=0 et S(t)=0 pour tout tt 1 ; Alors, e(t) 0 exponentiellement pendant que t. 7

8 Fait #2 Si |S(t)|δ pout tout tt 0 … Cela implique que 8

9 Solution au problème (T) Choisir u(x) tel que Pour tout t0 pour un η donné. Distance au plan de glissement décroissant sur toutes les trajectoires du système. 9

10 Phase datteinte Ça marche car 1) si S(0)>0, alors 10

11 Phase datteinte Et le temps datteinte est 11

12 Phase datteinte Ça marche car 2) si S(0)<0, alors 12

13 Phase datteinte Et le temps datteinte est 13

14 Temps datteinte Le temps datteinte de lhyperplan de glissement est 14

15 Phase de glissement Construction de la commande u(x) qui maintient le système sur lhyperplan de glissement. Requiert que 15

16 Exemple Soit le système suivant: Plan de glissement, on choisi: Phase de glissement exige: 16

17 Exemple Ce qui peut sécrire: Le contrôle équivalent est donc: 17

18 Exemple Ce contrôle permet de maintenir le système sur lhyperplan de glissement. Car on désire que S(t) soit un ensemble invariant. 18

19 Exemple Reste à voir la phase datteinte du plan de glissement. Cela requiert que: 19

20 Exemple Que lon peut écrire: La commande u est alors: 20 Contrôle équivalent (phase de glissement)

21 Exemple Que se passe-t-il si f nest pas connu de façon exacte ? Supposons que seul un estimé est connu, et tel que: Contrôle basé sur le modèle: 21

22 Exemple Il faut choisir un η en fonction de tel que fonctionnera avec le système réel. 22

23 Exemple Suite: Si on choisi: Alors: 23

24 Exemple #2 Système: Contrôle équivalent: Commande: 24

25 RÉTROACTION LINÉARISANTE (LINEARIZING STATE FEEDBACK) 25

26 Rétroaction linéarisante Principe (contrôle de niveau): 26 Système non-linéaire

27 Rétroaction linéarisante Un choix possible de la commande u(t) est: Ainsi: 27 Nouveau contrôle

28 Rétroaction linéarisante Que lon peut simplifier à: Si on choisi: Alors: 28 Système linéaire

29 Rétroaction linéarisante Le système converge vers la valeur désirée de niveau. Finalement, la commande est: 29

30 Système non-linéaire sous « forme compagnon » Système non-linéaire avec contrôle scalaire: Avec: Et: 30

31 Système non-linéaire sous « forme compagnon » Représentation dans lespace détat: 31

32 Système non-linéaire sous « forme compagnon » Commande linéarisante: 32 Nouveau contrôle

33 Système non-linéaire sous « forme compagnon » Système linéaire équivalent: Qui donne: 33

34 Système non-linéaire sous « forme compagnon » Correspond à une chaine de n intégrateurs. Facile à contrôler. Soit: Contrôleur v(t): 34

35 Système non-linéaire sous « forme compagnon » Le système contrôlé est: Que lon peut réécrire: Équivaut à: 35

36 Système non-linéaire sous « forme compagnon » Il faut choisir les gains pour que les racines de: … soient dans le demi plan gauche. i.e. pour avoir un système stable. 36

37 Système non-linéaire sous « forme compagnon » Donc la commande u(t) est: 37

38 Exemple Soit ce système: Définissons ces variables détat: Ce qui donne:

39 Exemple Ce système non-linéaire est sous « forme compagnon ». Ainsi: Et: Avec:

40 Exemple #2 Soit ce système: La non-linéarité dans x 1 ne peut être annulée par le choix de la commande u. Ce nest pas la forme compagnon!

41 Exemple #2 Il faut donc transformer le système pour avoir une forme compagnon. Considérez ces nouvelles variables détat:

42 Exemple #2 Notes: Transformation inverse:

43 Exemple #2 Transformons le système:

44 Exemple #2 Il est maintenant sous sa forme compagnon: Ainsi, on peut choisir:

45 Exemple #2 Avec cette commande, le système équivalent est: Choisissons: Cela donne un système globalement asymptotiquement stable…

46 Exemple #2 Pour le système réel: Exige que cos(2x 1 ) négale pas 0.

47 Mais… Ce nest pas toujours aussi simple… Pour aider, cela prend des outils: Qui exigent lalgèbre de Lie; Qui exigent des fonctions vectorielles nommées en anglais « diffeomorphism ».

48 Linéarisation entrée-sortie VTOL aircraft simplified model: Petit couplage entre les deux commandes:


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