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Les Lois de Képler. K1: loi des orbites K1: chaque planète décrit, dans le sens direct (inverse des aiguilles dune montre) une ellipse dont le Soleil.

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1 les Lois de Képler

2 K1: loi des orbites K1: chaque planète décrit, dans le sens direct (inverse des aiguilles dune montre) une ellipse dont le Soleil occupe lun des foyers

3 K2: loi des aires K2 : les aires balayées par le rayon-vecteur planète-Soleil sont proportionnelles aux temps employés pour les décrire

4 K3: loi des périodes K3 : le cube du demi-grand axe « a » de lorbite dune planète, divisé par le carré de la période de révolution sidérale « T » est une constante pour toutes les planètes du système solaire

5 Démarche de Képler il tient son « journal », son « blog » !! raconte ses hypothèses, ses doutes, ses erreurs essaye de faire coller les observations de Tycho avec un modèle dorbite ses « convictions » initiales: du Soleil émane la « force motrice » des planètes les mouvements planétaires ont une cause physique (et non animiste) démarche de « scientifique » moderne

6 Démarche de Képler: K2 Képler énonce dabord la loi des aires Kepler remarque que les vitesses à laphélie et au périhélie sont inversement proportionnelles à la distance au Soleil (faux ! vrai seulement en ces points) pour définir les vitesses le long de lorbite, il faut prendre de très nombreux points et mesurer leur distance au Soleil 8 Kepler fait alors la somme de distances ainsi mesurées entre A et B, et pense quil obtient une mesure de laire balayée pendant le temps t (faux! seul le calcul infinitésimal donne une solution exacte) partant de ces deux erreurs, Kepler donne lénoncé exact de la loi des aires: K2: les aires balayées en temps égaux sont égales ! aire (SAB) = aire (SCD) S 8 S A B C D t t … sans préjuger en rien de la forme de lorbite !!!

7 Démarche de Képler: K1 Képler revient au modèle dorbite (1603) Kepler sait quil doit saffranchir de la circularité; il choisit le modèle qui sen rapproche le plus: lovale !! …. et pour cela, nhésite pas à réintroduire des épicycles !! « jamais un scientifique na encore pondu un tel œuf ! » il fait la somme de 180 distances Soleil-Mars !! S M nouvel échec

8 « les voies par lesquels lhomme parvient à la connaissance sont parfois aussi étonnantes que la connaissance elle-même » en étudiant les lunules qui distinguent la trajectoire de Mars du cercle circonscrit, Kepler remarque par hasard que lépaisseur maximale de la lunule est de 0,00429, alors que 1/cosα = 1,00429 incroyable coïncidence !! 5 chiffres après la virgule !! dautant que notre figure est loin dêtre à léchelle ! Démarche de Képler: K1

9 « les voies par lesquels lhomme parvient à la connaissance sont parfois aussi étonnantes que la connaissance elle-même » si le rayon du cercle est 1m, lépaisseur max de la lunule est de 4mm !!!!! et la distance OS de 9cm !!!! avec une échelle (un peu) plus proche de la réalité Démarche de Képler: K1

10 de la lunule à lellipse… nouvel échec Képler finit par comprendre (*) quil existe un rapport constant entre lépaisseur de la lunule et la distance à laxe de lorbite circulaire circonscrite il lui aura fallu six ans pour venir à bout de lorbite de Mars !! ellipse il publie alors ses résultats dans Astronomia Nova (1609) (*): les interprétations divergent sur le cheminement exact de Képler Démarche de Képler: K1 …et de la puce à loreille !!

11 H O A B F cercle du moyen mouvement (rayon indifférent) « horloge »: 1 tour en 1 période M7M7 P 7 P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 Astre moyen / Anomalie moyenne M = anomalie moyenneP = astre moyen M = t. (T / 2π)

12 H O A B F cercle du moyen mouvement (rayon indifférent) « horloge »: 1 tour en 1 période M7M7 P 7 P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 Astre moyen / Astre vrai / Anomalie vraie M = anomalie moyenneP = astre moyen P0P0 P1P1 P2P2 P3P3 ϕ = anomalie vraieP = astre vrai P7P7 φ

13 H O A B F cercle du moyen mouvement (rayon indifférent) M7M7 P 7 P0P0 P1P1 P2P2 P3P3 P7P7 φ ε7ε7 P 7 " cercle directeur de lorbite M = anomalie moyenneϕ = anomalie vraieε = anomalie excentrique équation de Képler: ε = M + e.sin ε Anomalie moyenne / vraie / excentrique

14 M φ ε P " P P M = anomalie moyenneε = anomalie excentrique équation de Képler: ε = M + e.sin ε M φε tg ϕ = (1-e 2 ) 1/2. sin ε / (cos ε – e) ϕ = anomalie vraie léquation de Képler: une des deux causes du décalage soleil moyen / soleil vrai

15 K1 et K2 Equation de Képler aire secteur SPM = secteur circ. OPM – triangle OSM aire secteur SPM = (a 2 /2). ε – (a 2 /2).e. sin ε avec: OS = a.e et MH = a.sin ε où ε est exprimé en radians aire cercle = πa 2 secteur: (πa 2 ).(ε/2 π)

16 K1 et K2 Equation de Képler aire secteur SPM = aire secteur SPM x (b/a) en vertu de la transformation affine aire secteur SPM = [(a 2 /2). ε – (a 2 /2).e. sin ε ]. (b/a) aire secteur SPM = (ab/2). ( ε –e. sin ε) or, au bout du temps T (révolution) laire balayée est celle de lellipse, donc: πab donc, au bout du temps t, le secteur balayé est: aire secteur SPM = ( π ab/T). (t-t 0 ) (2 π /T). (t-t 0 ) = ( ε –e. sin ε) M = ε – e. sin ε cette équation décrit le décalage astre moyen /astre vrai ε = M + e. sin ε

17 Démarche de Képler : K3 lHarmonie du Monde lobjectif ultime de Képler est de démontrer « lharmonie du monde » essaye détablir un lien entre les intervalles des gammes musicales, la longueur des côtés des polygones réguliers, la surface des faces des polyèdres, etc… essaye de trouver des planètes supplémentaires pour combler le « vide » entre Mars et Jupiter puis tente dexpliquer les « rayons » des orbites par sa théorie des polygones emboîtés: Ok avec Saturne et Jupiter…

18 comme il ne réussit pas avec les polygones, il essaye les polyèdres emboîtés et leur sphères circonscrite et inscrite: la troisième Loi nest quun banal paragraphe de lHarmonie du Monde (1619) résultat empirique, qui prépare la voie à Newton à force dessais, Kepler trouve que le carré de la période de rotation des planètes est inversement proportionnel au cube du demi grand axe de lorbite T 2 /a 3 = constante nouvel échec Démarche de Képler : K3 lHarmonie du Monde

19 Newton - réussit la synthèse des théories de Kepler, Descartes et Galilée - Newton utilise en particulier K3 pour démontrer sa loi de gravitation universelle: F = G MM / D 2 - en retour, les lois de Newton permettent de démontrer K1 et K mais Newton va au-delà de Képler: - en démontre mathématiquement les implications (calcul différentiel et intégral) - découvre vraiment les phénomènes physiques que Képler recherchait - rectifie les « erreurs » de Képler (*): inversion gravité (en 1/D) / inertie - étudie la dynamique des projectiles, vitesse de libération, etc… (*): sauf celle liée au sens direct de parcours des orbites

20 Démonstration des lois de Képler K1: - géométrique (aire de triangles) - à partir de Newton et calcul différentiel K2: - géométrique (Feynman) / hodographe - à partir de Newton et calcul différentiel - fait intervenir la notion de moment cinétique K3: - équations aux dimensions K3 permet de calculer lorbite géostationnaire: T= 23h56mn4s si a = 42000km h= – rayon terrestre ~ 36000km - à partir principe gravitation universelle: a 3 /T 2 = GM / 4π 2


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