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Produits dérivés. Introduction Que fait-on avec des produits dérivés? On gère lincertitude liée au futur: Avec des contrats à terme, on fixe le futur.

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1 Produits dérivés

2 Introduction Que fait-on avec des produits dérivés? On gère lincertitude liée au futur: Avec des contrats à terme, on fixe le futur maintenant. Avec des options, on achète un contrat dassurance Mais également on spécul e et accessoirement on fait de largent Ils permettent de fixer un prix, de segmenter les risques et de les redistribuer. Ils permettent la couverture des risques. Ils peuvent agir comme précurseur des tendances futures des marchés. Ils permettent de supprimer les opportunités darbitrage Ils permettent de changer la nature du passif et la structure des actifs sans engendrer de coûts énormes. Ils constituent un élément de levier très important. Ils permettent aux opérateurs une flexibilité dans la gestion.

3 Forwards & Futures Quelle est la différence entre futures et forwards? Un forward est un contrat personnalisé entre deux parties : Over the counter Habituellement, lintention est de transiger à la date déchéance, et il nest pas possible facilement dannuler le contrat Un futures est un contrat standardisé et échangé sur une bourse, alors lintention nest pas nécessairement de garder la position jusquà échéance : Exchanged Trade contract Il est relativement simple dannuler le contrat avant léchéance, on prend alors une position inverse Futures: Standardisation (échéance, quantité, etc.): Accroît la "liquidité" des contrats (concentre les échanges dans quelques contrats); Facilite la comparaison des prix; Le contrat spécifie les points suivants: sous-jacent à livrer, lieu de livraison et date de livraison; Élimine le counterparty risk car la bourse garantit le contrat. Centralisation des marchés Réglementation: Marking to Market Protège lintérêt du public; Prévient les pratiques douteuses À l'échéance du contrat: Prix Futures = Prix spot

4 Forwards & Futures Terminologie Open interest: Nombre total de contrats ouverts; Égal au nombre de positions courtes (ou longues -- mais ne comptez pas deux fois!). Settlement price: Prix Futures juste avant la fermeture du marché; Utilisé pour le marking to market. Volume: Nombre de transactions dans une journée.

5 Forwards & Futures Profit STST STST F0F0 F0F0 Position de base Position contrat à terme Position de base Position contrat à terme VendeurAcheteur Position longue dans sous-jacent Position courte dans contrat à terme Résultat: aucun risque Position courte dans sous-jacent Position longue dans contrat à terme Résultat: aucun risque

6 Forwards & Futures Notation : T: Date déchéance du contrat S 0 : Prix du sous-jacent aujourdhui F 0 :Prix Forward ou Futures r: Taux dintérêt sans risque annuel (ou sur ladurée du contrat) q: Revenu ou dividende en % I 0 : Valeur présente des dividendes en $ r f: Taux sans risque étranger (f pour foreign) u : Coût entreposage en % y: Coût opportunité de détenir la matière pour consommation F 0 = S 0 e rT S 0 = F 0 e -rT F 0 = (S 0 - I 0 +U 0 ) e (r – q - rf + u – y )T Les coûts entrent en positif Les bénéfices entrent en négatif

7 Forwards & Futures Stratégie Cash and Carry F 0M > F 0S, on achète F 0S et on vend F 0M Emprunt et achat du sous-jacent; On vend le contrat à terme (position courte); Livraison et remboursement de lemprunt à léchéance Aucun risque Le prix forward sajustera jusquà ce quil ny ait aucun profit possible Stratégie Reverse Cash and Carry F 0S > F 0M, on achète F 0M et on vend F 0S Vente à découvert du sous-jacent et placement de largent Position longue dans le contrat à terme Achat du sous-jacent à léchéance Toujours Aucun risque Le prix forward sajustera jusquà ce quil ny ait aucun profit possible

8 Forwards & Futures Contrats Futures sur Indices Boursiers Indices boursiers: Canada : S&P TSX US : Dow Jones, Nasdaq, S&P 500 Europe : FTSE (Angleterre), CAC 40 (France), DAX (Allemagne) Asie : Shangaï composite, Hang seng (Chine), BSE (Inde), Nikkei (Japon), TSEC (Taiwan) Amérique du Sud : IBOVESPA (Brésil), MEXBOL (Mexique), MERVAL (Argentine) Attention : la composition et le mode de calcul de ces indices varient Valeur dun contrat «f»: À ne pas confondre avec le prix Forward F 0 La valeur du contrat sert à connaître le gain ou la perte possible à une date donnée durant la vie dun contrat f = 0 à la signature du contrat f varie tous les jours tout au long de la vie dun Forward Notation : f = valeur du Forward K = le prix du Forward lorsque le contrat a été créé Valeur dune Position Longue: f = (F 0 – K) e -rT

9 Forwards & Futures Arguments contre la couverture de risque: Les actionnaires sont en mesure de diversifier le risque eux-mêmes, probablement mieux que la compagnie Gérer les risques est une opération coûteuse qui najoute pas de valeur. Si la compagnie est la seule à gérer le risque dans son secteur, cela constitue une augmentation de ses coûts face à ses compétiteurs. La gestion des risques est parfois (souvent) motivée par un lissage des résultats présentés aux états financiers. Il peut alors être difficile de justifier des résultats décevants. Implique une décision stratégique au plus haut niveau Arguments pour la couverture de risque: Les compagnies devraient se concentrer sur leur production et minimiser les risques associés au mouvement des variables financières (taux dintérêt, taux de change, etc.). La réduction des risques liés aux flux monétaires futurs améliore la planification des activités (choix des investissements). La gestion des risques permet de minimiser la possibilité de se retrouver en détresse financière. Les gestionnaires ont un avantage comparatif par rapport aux actionnaires quant à la connaissance réelle des risques. Il existe des imperfections dans les marchés qui font que les gestionnaires sont mieux placés que les actionnaires pour gérer le risque de change.

10 Forwards & Futures Risque de base: La base est la différence entre le prix spot et le prix Futures: Base t = ( S t – F t ) À la fermeture du contrat, il y a une incertitude quant à la base. F S base T Prix

11 Forwards & Futures Il faut choisir le contrat dont la date de livraison est la plus proche de la date de la fin de la stratégie de couverture. La date de livraison doit cependant être plus éloignée que la date de fin de la stratégie de couverture. Sil ny a pas de contrat Futures avec un actif sous-jacent identique au sous- jacent à couvrir Choisir un contrat dont les prix Futures sont les plus fortement corrélés avec le prix de lactif à couvrir. (Cross Hedging)

12 Forwards & Futures Ratio de variance minimum Le ratio de variance minimum dépend de la relation entre le changement du prix spot S et le changement du prix du futures F Cest aussi le coefficient de la droite de régression entre S et F Couverture : h est la proportion du future (position courte) On forme un portefeuille V = S – hF On veut éliminer la variance V = S – h F La variance est Pour trouver h mini, on dérive et on met égale à 0 La proportion optimale dexposition qui doit être couverte est: S: prix spot F: prix Futures σ ΔS : écart-type de Δ S σ ΔF : écart-type de Δ F ρ: coefficient de corrélation entre Δ S et Δ F

13 Forwards & Futures Le nombre optimal de contrats à prendre N A : Valeur (ou nombre dunités) de la position spot à couvrir Q F : Valeur (ou nombre dunités) de chaque contrat Futures N* : Nombre optimal de contrat Futures

14 Forwards & Futures Couverture d'un portefeuille avec Futures sur indice boursier: N* = (S / F) : Beta d'un portefeuille, représentant la sensibilité de la valeur du portefeuille aux variations du rendement du marché S: Valeur totale du portefeuille F: Valeur courante dun contrat futures, i.e. prix Futures de lindice × taille dun contrat Lorsque lon couvre le risque, cela est équivalent à changer le beta du portefeuille à zéro Pour changer le à une valeur autre que 0, il faut procéder de la façon suivante: Si nouveau < actuel alors, on doit vendre le nombre de contrats: N* = ( actuel - nouveau ) ×(S / F) Si nouveau > actuel alors, on doit acheter le nombre de contrats: N* = ( nouveau - actuel ) × (S / F)

15 Forwards & Futures Calcul des taux Forward entre T 1 et T 2 en taux continu La théorie des anticipations rationnelles postule que les taux dintérêt spot anticipés futurs sont égaux aux taux Forward. La théorie de la prime de liquidité postule que le taux Forward est plus élevé que le taux spot espéré futur. La théorie des marchés segmentés postule que les taux dintérêt sont déterminés de façon indépendante par loffre et la demande pour des maturités différentes.

16 Forwards & Futures Un FRA (Forward Rate Agreement) est un contrat Forward dans lequel les deux parties sengagent à appliquer un certain taux pour une période future donnée. Un FRA est un engagement équivalent à échanger un taux dintérêt prédéterminé contre le taux du marché Cela implique un gain ou une perte… En pratique, le règlement du contrat se fait au net, en argent, au début de la période où le taux garanti sapplique Valeur du FRA à T1: V T1 = Q [e (rk–r12) (T2-T1) – 1]

17 Forwards & Futures Intérêts gagné entre deux dates : Convention : Nombre exact / 360 : Treasury bills Nombre exact / nombre exact : Treasury bonds 30 / 360 : Corporate bonds Les T-Bills sont cotés avec un Discount rate Le Discount rate est lintérêt quil reste a gagner pour obtenir la valeur de maturité Il se calcul à partir du Prix coté, le Quote price P observable sur les marché Le prix payé Y, le Cash Price est une fonction du Quote price

18 Swaps Un swap est une entente entre deux parties qui prévoit léchange de flux monétaires à des dates futures selon des modalités préétablies Un swap peut être considéré comme un portefeuille de contrats Forward Deux Catégories principales Swap de taux dintérêt Swap de devises Marché très efficient avec de faibles frais de transaction Les banques gèrent principalement le marché Il ny a pas de réglementation Il ny a pas de marché secondaire Besoin de la contrepartie pour fermer la position Le risque de crédit nest pas symétrique Utilisations Gestion du risque On a besoin de convertir un passif de: Taux fixe en taux flottant Taux flottant en taux fixe On a besoin de convertir un actif de: Taux fixe en taux flottant Taux flottant en taux fixe Arbitrage de crédit Ex.: Une compagnie cotée BBB emprunte au taux flottant relativement moins élevé quau taux fixe

19 Swaps Most swaps are traded over-the-counter (OTC), "tailor-made" for the counterparties. Some types of swaps are also exchanged on futures markets such as the Chicago Mercantile Exchange, the largest U.S. futures market, the Chicago Board Options Exchange, IntercontinentalExchange and Frankfurt-based Eurex AG.over-the-counter The five generic types of swaps, in order of their quantitative importance, are: interest rate swaps, currency swaps, credit swaps, commodity swaps and equity swaps.interest rate swapscommodity swapsequity swaps The most common type of swap is a plain Vanilla interest rate swap. It is the exchange of a fixed rate loan to a floating rate loan. The life of the swap can range from 2 years to over 15 years. The reason for this exchange is to take benefit from comparative advantage. Some companies may have comparative advantage in fixed rate markets, while other companies have a comparative advantage in floating rate markets. When companies want to borrow, they look for cheap borrowing, i.e. from the market where they have comparative advantage. However, this may lead to a company borrowing fixed when it wants floating or borrowing floating when it wants fixed. comparative advantage A currency swap involves exchanging principal and fixed rate interest payments on a loan in one currency for principal and fixed rate interest payments on an equal loan in another currency. Just like interest rate swaps, the currency swaps are also motivated by comparative advantage. Currency swaps entail swapping both principal and interest between the parties, with the cashflows in one direction being in a different currency than those in the opposite direction.comparative advantage Conceptually, one may view a swap as either a portfolio of forward contracts, or as a long position in one bond coupled with a short position in another bond.

20 Swaps Évaluation dun swap de taux dintérêt Approche du portefeuille dobligations Un swap de taux dintérêt peut être évalué comme la différence entre les valeurs dune obligation à taux fixe et une obligation à taux flottant. V swap = B fix – B var B fix est la valeur présente de lobligation à taux fixe B var est la valeur présente de lobligation à taux variable Dans ce cas-ci, V swap correspond à la valeur de la partie qui reçoit le taux fixe (achat de lobligation) et qui paie le taux variable (vente ou émission de lobligation) Approche de contrat FRAs On peut aussi évaluer un swap comme un portefeuille de contrat FRAs

21 Swaps Lobligation à taux fixe est évaluée de la manière habituelle, i.e. VN = valeur nominale de lobligation C = coupon t i = échéance de chaque paiement r i = taux LIBOR zéro-coupon correspondant à t i Lobligation à taux variable est évaluée en tenant compte quelle est à parité immédiatement après la prochaine date de paiement. k = le paiement à taux variable

22 Swaps Approche de contrat FRAs On peut aussi évaluer un swap comme un portefeuille de contrat FRAs Concept : une obligation avec coupons constitue un portefeuille dobligations zéro-coupon un swap, qui correspond à un échange de flux monétaires dans le futur, peut être considéré comme un portefeuille de FRA portant sur des dates différentes Construction: Calculer les taux forwards semestriels des taux LIBOR continu qui vont déterminer les flux monétaires du swap. Calculer les flux monétaires du swap en faisant lhypothèse que les taux de coupon LIBOR seront les mêmes que les taux forwards calculés La valeur du swap égale la somme des valeurs présentes des flux monétaires calculés

23 Swaps Swaps de devises: Approche du portefeuille dobligations Notation V swap = B D – S 0 B F où B D = valeur présente de lobligation en devise locale B F = valeur présente de lobligation en devise étrangère S 0 = taux de change (locale/étrangère) V swap correspond à la valeur de la partie qui reçoit la devise locale et qui paie en devises étrangères Approche du portefeuille de contrats forward De la même façon que pour le swap de taux dintérêt, le swap de devises peut lui aussi être considéré comme une série de contrats à terme déchéance différente Construction Calculer les taux de change à terme pour chacune des échéances. Calculer les flux monétaires du swap en faisant lhypothèse que les taux à terme seront les taux en vigueur. La valeur du swap égale la somme des valeurs présentes des flux monétaires calculés

24 Options Option européenne: Option qui ne peut être exercée quà la date dexercice. Option américaine: Option qui peut être exercée à tout instant jusquà la date dexercice Valeur intrinsèque de la position longue Détenteur dun call:Max {0, S T – K} Détenteur dun put:Max {0, K – S T } Valeur intrinsèque de la Position courte Signataire dun call:- Max {0, S T – K} Signataire dun put:- Max {0, K – S T } Attention au signe « moins » K est le prix dexercice et S T est le prix de lactif sous-jacent au moment de lexercice de loption

25 Options Valeur intrinsèque et fonction de profits Profit STST STST K K STST STST K K Position longue put Position courte put Position longue call Position courte call

26 Options Ajustements au contrat doption pour les dividendes en actions et les fractionnement des actions (splits) Soit N options de prix dexercice K: Il ny a pas dajustement en cas de versement de dividendes en argent. Quand survient un fractionnement n-pour-m de laction, le prix dexercice est réduit de mK / n le nombre doptions augmente de nN / m Les dividendes en actions sont considérés de la même façon que les splits. Writing naked options Une naked option est une option pour laquelle le signataire ne détient pas le titre sous-jacent. La marge requise est le plus grand des deux montants suivants: 100% du montant de la vente + 20% du prix du sous-jacent moins le montant par lequel loption est hors-jeu. 100% du montant de la vente + 10% du prix du sous-jacent Writing covered calls Dans ce cas, le signataire détient également le titre sous-jacent, de sorte que le risque est moindre. Il ny a pas de marge requise avec un «covered call».

27 Options Les warrants sont des options émises (ou signées) par une entreprise ou une institution financière. Attention au risque de crédit ! Tout comme loption, il confère à son détenteur le droit dacheter des actions à un prix convenu durant une période déterminée. Lorsque les warrants sont exercés, la compagnie doit émettre de nouvelles actions. Alors quavec les options boursières, si exercées, on vend ou achète des actions qui ont déjà été émises Les options pour dirigeants (employee stock options) Options dachat émises pour encourager les dirigeants à travailler pour les intérêts des actionnaires. Habituellement émises à parité. Elles ne peuvent être vendues. Lorsquelles sont exercées, la compagnie doit émettre de nouvelles actions.

28 Options Les obligations convertibles Les obligations convertibles sont des instruments de dette avec une option émise par lentreprise. Le détenteur a le droit déchanger les obligations contre des actions. Équivalent à une obligation avec un « embedded call » sur les actions. En général, ces obligations sont également rachetables.

29 Options Bornes Inférieures en absence de dividendes Call C E Max {0, S 0 – K e -rT } C A Max {0, S 0 – K } Put P E Max {0, K e -rT – S 0 } P A Max {0, K – S 0 } Bornes supérieures en absence de dividendes Call C E S 0 C A S 0 Put P A K P E K e -rT

30 Options Parité Put-Call : Options européennes sans dividende C E + K e -rT = P E + S 0 Parité put-call: options américaines sans dividende S 0 - K C A - P A S 0 - K e -rT Effet des dividendes Le dividende fait baisser la valeur de S. On remplace donc S 0 par (S 0 – I 0 ) où I 0 est la valeur présente du dividende sur la durée de loption Sans dividendeAvec dividende C E > S 0 – K e -rT C E > S 0 – I 0 – K e -rT P E > K e -rT – S 0 P E > K e -rT – (S 0 – I 0 ) P E + S 0 = C E + K e -rT P E + S 0 – I 0 = C E + K e -rT

31 Options Facteurs affectant le prix des options VariableCECE PEPE CACA PAPA S X-+-+ σ++++ r+-+- D-+-+ T??++

32 Stratégies doptions Profit STST K STST K Position de base Put Call Position longue dans sous-jacent Position longue dans put Résultat: position longue dans call Position courte dans sous-jacent Position longue dans call Résultat: position longue dans put

33 Bull Spread avec calls 33 K1K1 K2K2 Profit STST Stratégie: achat dun call à K 1 et vente dun call à K 2

34 Bull Spread avec calls Pour contruire un bull spread avec des calls, le plus simple est de décomposer le graphique pour y retrouver des composantes qui ressemblent soit à lachat ou à la vente dun call. Dans le cas dun bull spread, si on regarde la partie gauche du graphique, on constate quelle ressemble à lachat dun call avec un prix dexercice de K 1. Comme la stratégie finale cesse de croître après K 2, il faut donc limiter le gain illimité provenant de lachat de notre call à K 1. Pour ce faire, on doit trouver un moyen davoir une perte correspondant au gain pour que leffet total après K 2 soit nul. Comme on nutilise que des calls dans cette stratégie, notre seul choix est de vendre une option dachat à K 2, ce qui annulera le gain du call à K 1 lorsque le prix de laction sera supérieur à K 2. Remarquez que la vente de loption dachat à K 2 procurera un revenu qui viendra diminuer le coût dachat du call à K 1. Cest dailleurs lintérêt de cette stratégie, car elle permet de profiter de la hausse du sous-jacent (tout comme un call) mais elle coûte moins cher parce quon sacrifie une partie du gain quon pourrait faire si le sous-jacent atteint une valeur supérieure à K 2. 34

35 Bull Spread avec puts 35 K1K1 K2K2 Profit STST Stratégie: Achat dun Put à K 1 et Vente dun Put à K 2

36 Bull Spread avec puts Pour contruire un bull spread avec des puts, le plus simple est de décomposer le graphique pour y retrouver des composantes qui ressemblent soit à lachat ou à la vente dun put. Dans le cas dun bull spread, si on regarde la partie droite du graphique, on constate quelle ressemble à la vente dun put avec un prix dexercice de K 2. Comme la stratégie finale cesse de perdre de la valeur avant K 1, il faut donc limiter la perte provenant de la vente de notre put à K 2. Pour ce faire, on doit trouver un moyen davoir un gain correspondant à la perte pour que leffet total avant K 1 soit nul. Comme on nutilise que des puts dans cette stratégie, notre seul choix est dacheter une option de vente à K 1, ce qui annulera la perte du put à K 2 lorsque le prix de laction sera inférieur à K 1. 36

37 Bear Spread avec calls 37 K1K1 K2K2 Profit STST Stratégie: vente dun call à K 1 et achat dun call à K 2

38 Bear Spread avec puts 38 K1K1 K2K2 Profit STST Stratégie: vente dun put à K 1 et achat dun put à K 2

39 Butterfly Spread avec calls 39 K1K1 K3K3 Profit STST K2K2 Stratégie: achat dun call à K 1, vente de deux calls à K 2 et achat dun call à K 3

40 Butterfly Spread avec calls Pour contruire un butterfly spread avec des calls, le plus simple est de décomposer le graphique pour y retrouver des composantes qui ressemblent soit à lachat ou à la vente dun call. Dans le cas dun butterfly spread, si on regarde la partie gauche du graphique, on constate quelle ressemble à lachat dun call avec un prix dexercice de K 1. Comme la stratégie finale cesse de croître après K 2, il faut donc limiter le gain illimité provenant de lachat de notre call à K 1. Pour ce faire, on doit trouver un moyen davoir une perte correspondant au gain pour que leffet total après K 2 soit nul. Comme on nutilise que des calls dans cette stratégie, notre seul choix est de vendre une option dachat à K 2, ce qui annulera le gain du call à K 1 lorsque le prix de laction sera supérieur à K 2. Par contre, on ne veut pas quannuler le gain, on veut aussi que le profit de la stratégie diminue à partir de K 2. Il faudra donc vendre un deuxième call à K 2 si on veut générer un profit négatif à partir de K 2. 40

41 Butterfly Spread avec puts 41 K1K1 K3K3 Profit STST K2K2 Stratégie: achat dun put à K 1, vente de deux put à K 2 et achat dun put à K 3

42 Types de stratégies mixtes (spreads) Mixte verticale (Bull, Bear et Butterfly) Même échéance Différents prix dexercice Mixte horizontale (calendar spreads) Différentes échéances Même prix dexercice Mixte diagonale (diagonal spreads) Différentes échéances Différents prix dexercice 42

43 Calendar Spread avec calls 43 Profit STST K Stratégie: vente dun call à T 1 et achat dun call à T 2

44 Calendar spread avec calls Pour comprendre le graphique précédent, il faut savoir quon doit choisir un moment dans le temps pour «geler» la fonction de profit, puisque nous avons deux options avec des échéances différentes. Le plus simple est de se positionner à T 1. Ensuite, il suffit de réaliser que la position longue dans loption dachat avec une échéance de T 2 est encore en vie à T 1. Cela signifie que sa valeur est supérieure à sa valeur intrinsèque (ou minimale), doù la ligne courbe pour représenter sa valeur. 44

45 Calendar Spread avec puts 45 Profit STST K Stratégie: vente dun put à T 1 et achat dun put à T 2

46 Les combinaisons Elles consistent à prendre des positions dans des puts et des calls simultanément sur le même sous-jacent. Elles regroupent : les straddles les strips et straps les strangles 46

47 Position double (Straddle) 47 Profit STST K Stratégie: achat dun put à K et achat dun call au même K

48 Positions triples de vente et dachat (Strip & Strap) 48 Profit KSTST KSTST StripStrap Stratégie strip: achat de deux puts à K et achat dun call à K Stratégie strap: achat dun put à K et achat de deux calls à K

49 Position combinée (Strangle) 49 K1K1 K2K2 Profit STST Stratégie: achat dun put à K 1 et achat dun call à K 2

50 Achat et vente dune combinaison 50 Profit STST K STST K Achat dun straddleVente dun straddle

51 Les arbres binomiaux Modèle Général Construction du portefeuille sans risque Position longue dans Δ actions Position courte dans une option Trouver le Δ rendant le portefeuille sans risque S u Δ – c u = S d Δ – c d doù 51 s u - c u S - c S d - c d

52 Les arbres binomiaux Modèle Général La valeur présente du portefeuille sans risque est: S – c = (S u – c u ) e –rT En substituant par et en posant On obtient: c = e –rT [ p x c u + (1-p) x c d ] le prix dune option est alors la valeur présente de lespérance de la valeur de loption à la période suivante. p est la probabilité neutre au risque 52

53 Probabilités Réelles versus Probabilités Neutres au Risque Probabilités Réelles Dans larbre du prix dune action, laction a une probabilité réelle q de monter à S u et une probabilité réelle (1-q) de diminuer à S d. Donc, E[S T ] = q S u + (1-q) S d La probabilité réelle q varie dun investisseur à lautre selon ses anticipations et elle est utilisée pour évaluer le prix dune action 53

54 Probabilités Réelles versus Probabilités Neutres au Risque Probabilités Neutres au Risque : La probabilité neutre au risque est celle utilisée pour déterminer le prix de loption. Cest une méthode de calcul permettant dactualiser les flux monétaires dune option au taux sans risque (r) Important : On nutilise jamais les probabilités historiques de laction pour le calcul de loption! Il ny a aucun lien entre la probabilité réelle q et la probabilité neutre au risque p 54

55 Probabilités Réelles versus Probabilités Neutres au Risque Monde Risque-Neutre versus réél Supposons que la probabilité risque-neutre (p) est égale à la probabilité réelle (q). E[S T ] = pSu + (1-p)Sd En substituant p par On obtient: E[S T ] = S e rT Cela implique, quen moyenne, le prix de laction augmente au taux sans risque Dans un monde neutre au risque, tous les investisseurs sont indifférents face au risque, cest-à-dire quils nexigent pas de compensation pour le risque 55

56 Arbre binomial à deux périodes Modèle Général : 56 ScSc Sd c d Su c u Suu c uu Sud c ud Sdd c dd T1T1 T0T0 T2T2

57 Arbre binomial à deux périodes Généralisation : Calculer la probabilité Construire le 3ième niveau de larbre c uu = max {0 ; S uu – K} c ud = max {0 ; S ud – K} c dd = max {0 ; S dd – K} Construire le 2ième niveau de larbre c u = e -rΔT {p x c uu + (1-p) x c ud } c d = e -rΔT {p x c ud + (1-p) x c dd } Construire le 1er niveau de larbre c = e -rΔT {p x c u + (1-p) x c d } Remarque: ΔT correspond à lintervalle de temps entre deux nœuds. 57

58 Le DELTA Définition: Le delta dune option est le ratio de la variation du prix de loption par rapport à la variation du prix de laction. Mathématiquement : Le est la dérivée partielle du prix de loption par rapport au prix de laction Le dun Call est positif Le dun Put est négatif 58

59 Arbres binomiaux en pratique À léchéance de loption, il est peu probable que le prix de laction tombe sur une des trois valeurs de larbre. Pour ajouter de la précision, il faut ajouter des nœuds (périodes) 30 nœuds ou plus donne une bonne approximation Comment détermine-t-on la valeur de u et d? On se base sur la volatilité du titre sous-jacent (σ) On fait aussi des ajustements à chaque période pour tenir compte du fait que les taux dintérêt ne sont pas constants dune période à lautre. 59

60 Black & Scholes C : Call P : Put K : Prix dexercice T : échéance de loption S : Action sous-jacente 2 : Variance annuelle du sous-jacent r : Taux sans risque N(x) = Probabilité normale 60

61 Options Américaines Rappel: il nest jamais préférable dexercer une option call américaine lorsquil ny a pas de dividende Alors, le prix dune telle option call américaine (sans div.) est le même que celui dune option call européenne. Ce nest pas le cas lorsque le titre sous-jacent verse des dividendes. On peut cependant ajuster la formule de Black-Scholes pour faire une approximation. Dans le cas dune option put américaine, il nest pas possible dutiliser la formule de Black-Scholes, peu importe quil y ait des dividendes ou non 61

62 Effet des Dividendes Dans le cas dune option Call européenne, on peut calculer son prix en substituant la valeur du prix de laction par le prix de laction diminué de la valeur présente des dividendes. On peut procéder uniquement avec des montants absolus On remplace donc S 0 par (S 0 – V A (Div)) dans la formule de Black-Scholes. Dans le cas dune option call américaine, il se peut quil soit préférable dexercer loption, et si cest le cas, ce sera juste avant la date ex-dividende. Si laction verse un dividende en continu au taux q, on utilisera la formule de Black- Scholes dans la partie dacétates Option sur Indices boursiers et devises 62

63 Titre sous-jacent procurant un rendement continu On peut obtenir la même distribution de probabilités pour le prix de laction au temps T pour chacun des deux cas suivants: Le prix initial est S 0 et procure un taux continu de dividendes égal à q. Le prix initial est S 0 e –qT et ne procure aucun revenu. On peut donc évaluer une option européenne en réduisant le prix initial à S 0 e –qT et en supposant quil ny a pas de dividende 63

64 Effet sur les bornes inférieures Borne inférieure pour une option dachat Borne inférieure pour une option de vente 64

65 Effet sur la parité put-call 65

66 Effet sur la méthode binomiale Dans un monde neutre au risque, le prix de laction croît au taux r-q au lieu du taux r lorsquil y a un taux de dividende q. La probabilité p, pour un mouvement à la hausse, doit donc satisfaire : pS 0u + (1 – p) S 0d = S 0 e (r-q)T de sorte que Le prix de loption se calcule toujours de la même façon: c = e –rT [ p x c u + (1-p) x c d ] Lévolution du prix de laction nest pas affectée. Seule la probabilité p est modifiée 66

67 Effet sur la formule de Black-Scholes 67

68 Approche alternative 68

69 Description et fonctionnement des options sur Futures Option Call sur Futures Quand une option Call sur Futures est exercée, le détenteur acquiert : Une position longue dans le Future Un montant dargent égal à la différence entre le prix Futures et le prix dexercice Flux de loption = Max{0, F - K} 69

70 Description et fonctionnement des options sur Futures Option Put sur Futures Quand une option put sur Futures est exercée, le détenteur acquiert : Une position courte dans le Futures Un montant dargent égal à la différence entre le prix dexercice et le prix Futures Flux de loption = Max{0, K - F} 70

71 Avantages potentiels des options sur Futures Les contrats Futures sont plus liquides que les actifs sous-jacents. Les Futures se transigent facilement. Le prix Futures est en général disponible tandis que le prix spot ne lest pas toujours. Lexercice de loption ne conduit généralement pas à la livraison du sous-jacent. Les options sur Futures engendrent de faibles coûts de transaction 71

72 Évaluation avec arbre binomial Généralisation : Construction dun portefeuille sans risque Position longue dans Δ contrats Futures Position courte dans une option Trouver le Δ rendant le portefeuille sans risque (F 0u – F 0 )Δ – c u = (F 0d – F 0 )Δ – c d 72 (F 0u – F 0 )Δ - c u (F 0d – F 0 )Δ - c d (F 0 – F 0 )Δ - c

73 Évaluation avec arbre binomial Généralisation : La valeur présente du portefeuille sans risque est [(F 0u –F 0 )Δ – c u ] e –rT Cette valeur doit être égale au coût initial [(F 0u –F 0 )Δ – c u ] e –rT = (F 0 – F 0 )Δ – c – c = [(F 0u – F 0 )Δ – c u )] e –rT En substituant et en posant on obtient: c = e –rT [ p x c u + (1-p) x c d ] 73

74 Évaluation avec Black-Scholes Principe : On peut considérer un Futures comme un actif versant un taux de dividende r 74

75 Prix des options sur Futures vs options sur titre sous-jacent Option américaine: Si F>S, alors c F > c S et p F < p S Si F c S si F > S et c F < c S si F < S Cest linverse dans le cas dune option de vente 75

76 Résumé des parités put-call 76

77 Synthèse des résultats pour options On peut considérer les indices boursiers, les devises et les Futures comme étant des titres payant un taux continu de dividendes Pour un indice boursier, q = moyenne du taux de dividendes de lindice au cours de la vie de loption Pour une devise étrangère, q = r ƒ Pour un Futures, q = r Impact sur la méthode binomial : 77

78 Options sur Obligations Options sur obligations avec F 0 = (B – I 0 ) e rT 78

79 Options sur Taux dintérêt Un CAP : Un cap est série doptions call sur taux dintérêt Chaque Option Call est appelé Caplet Leffet de ces options call est de faire en sorte que le taux dintérêt que lon paiera sur un emprunt, par exemple, ne dépassera pas un taux maximum Le flux monétaire généré par loption correspond donc à la différence entre le taux dintérêt à terme et le taux du cap, ou le taux maximum (taux dexercice) Un cap a aussi la particularité que le flux monétaire sera versé à une date postérieure à la date dexercice de loption 79

80 Options sur Taux dintérêt Un CAP : Graphique 80 Temps Taux dintérêt CAP Taux dintérêt avec cap

81 Options sur Taux dintérêt Un CAP : Un Cap correspond à une option call sur le taux dintérêt. Pour un emprunteur, un Cap permet de garantir un taux demprunt maximum 81 Profit r Position de lemprunteur Cap r Profit de la position

82 Options sur Taux dintérêt Un Floor : Un Floor correspond à une option put sur le taux dintérêt. Pour un prêteur, un Floor permet de garantir un taux de placement minimum 82 r Profit Position du prêteur Floor r Profit

83 Options sur Taux dintérêt Un Collar : Position longue dans un Cap plus position courte dans un Floor. Les prix dexercices sont choisis de façon à ce que le coût soit nul c - p = 0 équivalent à Cap – Floor = 0 Ce qui implique que r K1 et r K2 seront forcément différents. Pour un emprunteur, un Collar garantit que le taux variable payé sera toujours entre deux valeurs 83

84 Options sur Taux dintérêt Le Collar : Graphique 84 r Profit r X1 r X2 Pos. longue dans Cap Pos. courte dans Floor r Profit r X1 r X2 Collar

85 Options sur Taux dintérêt Un Collar : Position de lemprunteur 85 r Profit r X1 r X2 Collar Position de lemprunteur r Profit r X1 r X2

86 Options sur Taux dintérêt Parité : Cap, Floor et Swap Long Cap + Short Floor = Long Swap 86 r Profit r rKrK rKrK Pos. courte dans Floor Pos. longue dans Cap Pos. longue dans swap

87 Options sur Taux dintérêt Évaluation dun Cap À léchéance de chaque caplet, on choisit dexercer ou pas à t=k À t=k, on fixe le taux dintérêt en vigueur entre t=k et t=k+1 Le paiement dintérêt sur un emprunt se fait à la fin de la période Léchange de flux se fait à t=k+1 La valeur du Cap est la somme de chaque Caplet 87 0kk+1 FkFk F k - R X Échéance de loption t

88 Options sur Taux dintérêt Évaluation dun Cap avec Black-Scholes La valeur dun Caplet pour la période [t k, t k+1 ] est F k : taux forward sur ( t k, t k+1 ) k : volatilité des taux dintérêt r k+1 : taux spot déchéance t k+1 L : principal R K : taux cap k =t k+1 -t k 88

89 Options sur Taux dintérêt Évaluation dun Floor La valeur dun Floor est évaluée de la même manière et la valeur dun «Floorlet» est 89

90 Évaluation dune Obligation Rachetable avec arbre binomial Une obligation peut être rachetable au gré de lémetteur ou du porteur à un prix prédéterminé et pendant une période déterminée. Lobligation comporte donc une option qui peut être évaluée à laide de la méthode binomiale 90

91 Évaluation dune Obligation Rachetable avec arbre binomial Obligation rachetable au gré de lémetteur 91 r Prix Valeur de rachat r PrixValeur de rachat Valeur de lobligation rachetable au gré de lémetteur

92 Évaluation dune Obligation Rachetable avec arbre binomial Obligation rachetable au gré de lémetteur À chaque étape on calculera la valeur de lobligation : P = C + Min[ Valeur de rachat ; (50% P u + 50% P d ) / 1+r ] 92 r Prix Valeur de rachat conservé si prix < prix calculé Valeur de lobligation rachetable calculé au gré de lémetteur

93 Évaluation dune Obligation Rachetable avec arbre binomial Obligation rachetable au gré du porteur (acheteur) 93 r Prix Valeur de rachat r Prix Valeur de rachat Valeur de lobligation rachetable au gré du porteur

94 Évaluation dune Obligation Rachetable avec arbre binomial Obligation rachetable au gré du porteur (acheteur) À chaque étape on calculera la valeur de lobligation : P = C + Max [ Valeur de rachat ; (50% P u + 50% P d ) / 1+r ] 94 r Prix Valeur de rachat conservé si > au prix calculé Valeur de lobligation rachetable calculée au gré du porteur

95 Évaluation dune Obligation Rachetable avec arbre binomial Obligation rachetable au gré de lémetteur Exemple: Reprenons les données de lexemple précédent et supposons que lobligation est rachetable en tout temps à un prix de 101$ Lobligation de 3 ans avec un coupon annuel de 8.5% et une valeur nominale de 100$. le taux dintérêt actuel pour un an est de 8% (taux discret) et quà chaque année, il peut monter ou descendre de 20% avec une probabilité égale. Quel est le prix de lobligation rachetable et quelle est la valeur de loption dachat pour lémetteur? 95

96 Calcul du prix de lobligation avec loption T= T= ; exerce ; nexerce pas ; nexerce pas T= ; exerce ; nexerce pas T=0

97 Évaluation dune Obligation Rachetable avec arbre binomial Obligation rachetable au gré de lémetteur Quel est le prix de lobligation rachetable : $ Quelle est la valeur de loption dachat pour lémetteur? 97

98 Assurance de portefeuille dactions Différence entre assurance et couverture Couverture de portefeuille: Stratégie qui permet déliminer complètement ou partiellement la valeur dun portefeuille. Le mot «couverture» est souvent utilisé dans le sens dune stratégie qui élimine le risque complètement, donc que la valeur dun portefeuille ne changera pas. Assurance de portefeuille: La notion dassurance de portefeuille est similaire à la notion de couverture sauf que le terme «assurance» définit généralement une stratégie qui garantit une valeur minimum pour le portefeuille, et donc sapparente à une option de vente. 98

99 Couverture de portefeuille dactions avec des contrats à terme Ratio de couverture à variance minimum La proportion dexposition qui doit être optimalement couverte est: S: prix spot F: prix Futures σ S : écart-type de Δ S σ F : écart-type de Δ F ρ: coefficient de corrélation entre Δ S et Δ F 99 Portefeuille non couvert Prix de l action Futures Portefeuille couvert

100 Couverture de portefeuille dactions avec des contrats à terme Ratio de couverture à variance minimum Nombre optimal de contrats: N* = h* (N A / Q F ) N A : Nombre d'unités spot à couvrir Q F : Nombre pour chaque contrat Futures N* : Nombre optimal de contrat Futures h* : La proportion dexposition 100

101 Couverture de portefeuille dactions avec des contrats à terme Couverture à laide dun Futures sur indice boursier Nombre optimal de contrats: N* = (S / F*) : Beta d'un portefeuille, représentant la sensibilité de la valeur du portefeuille aux variations du rendement du marché S : Valeur totale du portefeuille F*:Valeur sous-jacente à 1 contrat futures, soit leprix Futures de lindice x taille dun contrat 101

102 Couverture de portefeuille dactions avec des Options On considère un portefeuille dactions et doptions La valeur du portefeuille total est V = S + h O La valeur du portefeuille couvert doit rester constant si la valeur des actions varie : On cherche donc à avoir ΔV/ΔS = 0 h = - 1/(Δ de loption) 102 Prix de loption S c Pente = Prix de laction

103 Couverture de portefeuille doptions – Delta Hedging Calcul du dune option Delta dune option dachat Δc= N(d1) > 0 Delta dune option de vente Δp = N(d1) – 1 < 0 Δp = Δc – 1 < 0 De façon générale, avec q le taux de dividende : Δc = e –qT N(d1) > 0 Δp = e –qT [N(d1) -1] < 0 103

104 Couverture de portefeuille doptions – Delta Hedging Delta Hedging avec Futures On remplace le sous-jacent par son prix Futures. Le prix Futures est très corrélé avec le prix spot. Les frais de transactions sont moins élevés, et on ne débourse rien à lorigine. Ajustements nécessaires: Prix Futures: F = S e (r-q)T Variation: ΔF = ΔS e (r-q)T donc, besoin dune moins grande quantité de Futures Quantité de Futures à détenir Q Futures = e –(r-q)T Q actif sous-jacent 104

105 Couverture de portefeuille doptions – Delta Hedging Delta dun portefeuille doptions de sous-jacent identique avec w i = nombre doptions i 105

106 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités Gamma ( ) est le taux de variation de delta ( ) par rapport au prix du sous-jacent. Vega (V) est le taux de variation de loption par rapport à la volatilité. Rho est le taux de variation de la valeur de loption par rapport au taux dintérêt. Theta ( ) dune option est le changement de sa valeur par rapport à la variation de temps 106

107 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités Modification du Gamma : Le Gamma est léquivalent de la convexité Il est le même pour un put ou un call Une faible valeur du Gamma indique que le Delta est peu sensible aux variations du sous-jacent, de sorte que les ajustements de couverture seront moins fréquent 107

108 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités Modification du Gamma Pour modifier le Gamma dun portefeuille, on doit introduire une certaine quantité doptions supplémentaires au portefeuille nouveau Г ptf = vieux Г ptf + w Г nouvelle option Si on désire que le Gamma soit égal à zéro, alors on doit ajouter 108

109 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités Modification du Vega le taux de variation de loption par rapport à la volatilité Le Vega est le même pour une option dachat ou de vente. 109

110 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités Modification du Vega Pour modifier le Vega dun portefeuille, on doit introduire une certaine quantité doptions supplémentaires au portefeuille: nouveau V ptf = vieux V ptf + w V nouvelle option Si on désire que le Vega soit égal à zéro, alors on doit ajouter 110

111 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités 111 Modification du rho Option dachat: Option de vente: Option dachat: Option de vente:

112 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités 112 Modification du Theta Option dachat: Option de vente: Option dachat: Option de vente:

113 La VaR, Value at Risk 113 Quest ce que la Value at Risk (VaR)? La VaR consiste à être certain à X% de ne pas perdre plus de V dollars dans les N prochains jours. VaR = 2.33 x N x j x Valeur du portefeuille Exemple: Être certain à 99% de ne pas perdre plus de V dollars dans les prochains 10 jours. V est la VaR de 10 jours pour un intervalle de confiance de 99%.


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