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MODELES DE LA COURBE DES TAUX DINTERET EVRY - DESS Ingénierie Mathématique 26 février 2003 Philippe PRIAULET HSBC-CCF.

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1 MODELES DE LA COURBE DES TAUX DINTERET EVRY - DESS Ingénierie Mathématique 26 février 2003 Philippe PRIAULET HSBC-CCF

2 Plan de la Séance Les modèles stochastiques de déformation de la courbe des taux: Approche détaillée Rappels de probabilité Le modèle de Black: référence du marché pour lévaluation de caps, floors et swaptions Le modèle de Vasicek (1977) Les autres modèles basés sur le taux court Présentation de quelques options exotiques de taux cf MP pages 64 à 119

3 Les modèles stochastiques Rappels de probabilité Le Lemme dItô Soient les processus continus X et Y qui satisfont En appliquant le lemme dItô, on obtient. :

4 Les modèles stochastiques Rappels de probabilité (2) Le Théorème de Girsanov Soit W(t) un mouvement brownien sous la probabilité P et définissons L(t) comme suit Si, le processus L(t) est une P-martingale. Si Q=L(T)P, i.e. si pour toutes variables X -mesurable alors est un Q-mouvement brownien. :

5 Les modèles stochastiques Rappels de probabilité (3) La transformée de Laplace Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale despérance E(X) et de variance V(X). La transformée de Laplace de X sécrit La notion de Martingale X est une Ft martingale ssi. :

6 Evaluation et couverture de produits dérivés standards dans le modèle de Black Ce sont des options européennes dont les prix sont obtenus dans le modèle de Black (1976). - les caps, floors et collars - les swaptions Ces options sont traitées de gré à gré. Les options sur futures sont également évaluées et couvertes dans ce modèle. :

7 Caps, Floors et Collars - Définition Définition du cap Un cap est un contrat où le vendeur promet de rétribuer son porteur si le taux dintérêt de référence vient à dépasser un niveau pré-déterminé (le taux dexercice du cap) à certaines dates dans le futur. Lacheteur dun cap utilise classiquement ce produit pour se couvrir contre une hausse des taux dintérêt, par exemple pour couvrir un prêt à taux variable consenti par une banque.

8 Caps, Floors et Collars - Définition (2) Définition du floor Le vendeur dun floor promet de rétribuer son porteur si le taux de référence vient à passer sous le taux dexercice du floor. Lacheteur dun floor utilise classiquement ce produit pour se couvrir contre une baisse des taux dintérêt, par exemple pour couvrir un placement à taux variable. Définition du collar Il résulte de lachat dun cap et de la vente dun floor (1), ou de la vente dun cap et de lachat dun floor (2). Il est utilisé afin de diminuer le coût dune protection contre la hausse (1) et la baisse des taux (2).

9 Caps, Floors et Collars - Terminologie Montant nominal: il est fixe en général Taux de référence: il sagit du taux dintérêt sur lequel repose le contrat. Les plus usuels en Europe sont lEuribor 1 mois, 3 mois, 6 mois et 1 an. Taux dexercice: il sagit dun niveau prédeterminé. Il reste fixe au cours du contrat. Fréquence de constatation: il sagit de la fréquence selon laquelle le taux de référence est comparé au taux dexercice. Les fréquences les plus usuelles sont tous les mois, tous les trois mois, tous les six mois et tous les ans. Maturité de loption: elle peut aller de plusieurs mois jusquà 30 ans. Prime: elle est exprimée en % du montant nominal.

10 Caps, Floors et Collars - Exemple Une société contracte au 02/11/01 un cap: - de date de début le 01/12/01 - de maturité 2 ans - de montant nominal deuros - de taux dexercice 4%, - dont le taux de référence est lEuribor 6 mois Les constatations ont lieu tous les 6 mois. Tous les 6 mois aux dates suivantes 01/06/02, 01/12/02, 01/06/03 et au 01/12/03, lacheteur du cap touche: * [Euribor 6 mois (constaté 6 mois + tôt) -4%]*(1/2) Le terme 1/2 permet de tenir compte du prorata-temporis.

11 Caps, Floors et Collars - Cotation Les caps, floors et collars sont évalués à partir du modèle de Black (1976). Le modèle de Black est une version du modèle BSM (Black- Scholes-Merton) adapté aux produits de taux dintérêt. Les caps sont décomposés en caplets (voir exemple précédent) et les floors en floorlets. Les caplets et floorlets sont cotés en volatilité, la volatilité implicite de la formule de Black (cf slide suivante).

12 Caps, Floors et Collars - Cotation (2)

13 Caps, Floors et Collars - Pricing Le pay-off dun caplet à la date Tj est le suivant: et le pay-off dun floorlet à la date Tj: où: est le taux euribor en de maturité mois. est exprimé en fractions dannées dans les calculs. La variable que lon diffuse dans le modèle de Black est le taux forward linéaire. On montre que ce taux est une martingale sous la probabilité forward neutre (cf séances 6-7 et MP p 203 à 210).

14 Caps, Floors et Collars - Pricing (2) La diffusion du taux est la suivante: où dW(t) est un mouvement brownien sous la probabilité forward neutre, et est la volatilité du taux forward, ce que lon appelle la volatilité du caplet. On en déduit en t la formule du cap suivante (somme des n caplets)

15 Caps, Floors et Collars - Pricing (3) où: et est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Formule du floor (somme des n floorlets) Le prix dun collar est obtenu à partir des deux formules précédentes. Pour couvrir ces produits, on calcule les grecques, i.e. le delta, le gamma, le véga, le rhô et le théta, de chacun des caplets ou floorlets.

16 Les Grecques du Caplet On sintéresse au caplet qui délivre le flux Cj en Tj. - le delta: dérivée première du caplet par rapport au taux forward sous-jacent - le gamma: dérivée seconde du caplet par rapport à

17 Les Grecques du Caplet (2) - le vega: dérivée première du caplet par rapport à la volatilité - le rho: dérivée première du caplet par rapport au taux dintérêt - le théta: dérivée première du caplet par rapport au temps

18 Les Grecques du Floorlet On sintéresse au floorlet qui délivre le flux Fj en Tj. - le delta: dérivée première du floorlet par rapport au taux forward sous-jacent - le gamma: dérivée seconde du floorlet par rapport à

19 Les Grecques du Floorlet (2) - le vega: dérivée première du floorlet par rapport à la volatilité - le rho: dérivée première du floorlet par rapport au taux dintérêt - le théta: dérivée première du floorlet par rapport au temps

20 Exemple Numérique Une entreprise achète un floorlet le 19/04/02 dont les caractéristiques sont les suivantes: - montant nominal: deuros - taux de référence: Euribor 6 mois - taux dexercice: 4.70% - Maturité: 27/05/02 - Date de paiement du flux: 27/11/02 En supposant que lEuribor 6 mois forward est égal à 4.73% à la date t, la volatilité du floorlet 15% et que le taux zéro-coupon venant à échéance le 27/11/02 est égal à 4.80%, quels sont le prix et les grecques de ce floorlet dans le modèle de Black ?

21 Exemple Numérique (2) Son prix est égal à 3844 euros et nous obtenons les grecques suivantes: 1- Pour une variation du taux forward de 4.73% à 4.74%: a) variation de prix exacte = b) variation de prix estimée par le delta: c) variation de prix estimée par le delta et le gamma:

22 Exemple Numérique (3) 2- Pour une variation de la volatilité de 15% à 16%: a) variation de prix exacte = b) variation de prix estimée par le véga: 3- Pour une variation du taux zéro-coupon de 4.80% à 5.80%: a) variation de prix exacte = b) variation de prix estimée par le rho: 4- Un jour plus tard le 20/04/02 (passage du temps): a) variation de prix exacte = b) variation de prix estimée par le théta:

23 Swaptions - Définition/Terminologie Définition Une swaption ou option sur swap européenne est un contrat qui permet à son porteur de rentrer à une date fixée (date de la maturité de loption) dans un swap aux caractéristiques pré- définies. Terminologie Montant nominal: il est fixe en général. Il existe deux types de swaptions, la swaption receveuse et la swaption payeuse: - la swaption receveuse donne à lacheteur le droit de recevoir la patte fixe du swap; - inversement, la swaption payeuse donne à lacheteur le droit de payer la patte fixe du swap.

24 Swaptions - Exemple Taux dexercice: il sagit du taux fixe connu à lavance auquel lacheteur de loption va payer ou recevoir la patte fixe. Maturité de loption: elle peut aller de plusieurs mois jusquà 10 ans. Prime: elle est exprimée en % du montant nominal. Exemple Soit une entreprise qui sest endettée à 5 ans au taux variable euribor 6 mois et qui souhaite dans un an avoir la possibilité de transformer son endettement à taux variable en un endettement à taux fixe. Elle achète alors une swaption de maturité 1 an qui lui permet de rentrer dans le swap payeur du fixe et receveur du variable.

25 Swaptions - Cotation en volatilité Les swaptions sont cotées en volatilité, la volatilité implicite du modèle de Black.

26 Swaptions - Pricing Formule pour une swaption payeuse de montant nominal N, qui, repose sur un swap qui distribue des flux selon la fréquence annuelle où: Fs(t) est le taux de swap forward calculé à la date t. est la volatilité de Fs. est la date déchéance de loption.

27 Swaptions - Pricing (2) Formule pour une swaption receveuse de montant nominal N, qui, repose sur un swap qui distribue des flux selon la fréquence annuelle

28 Les Grecques de la Swaption Payeuse - le delta: dérivée première de la swaption par rapport au taux de swap forward sous-jacent - le gamma: dérivée seconde de la swaption par rapport à

29 Les Grecques de la Swaption Payeuse (2) - le vega: dérivée première de la swaption par rapport à la volatilité - le rho: dérivée première de la swaption par rapport au taux dintérêt - le théta: dérivée première de la swaption par rapport au temps

30 Exemple Numérique Une entreprise achète une swaption payeuse le 19/04/02 dont les caractéristiques sont les suivantes: - montant nominal: deuros; - swap sous-jacent: le swap Euribor 6 mois de maturité 4 ans qui délivrent des paiements tous les 6 mois sur les 2 pattes; - taux dexercice: 5.36%; - Maturité: 27/05/02 - Date de paiement du flux: 27/11/02 En supposant que le taux de swap forward est égal à 5.36% à la date t, la volatilité de la swaption 20% et que la courbe des taux zéro-coupon est plate à 5%, quels sont le prix et les grecques de cette swaption dans le modèle de Black ?

31 Exemple Numérique (2) Son prix est égal à 2876 euros et nous obtenons les grecques suivantes: 1- Pour une variation du taux de swap forward de 5.36% à 5.37%: a) variation de prix exacte = b) variation de prix estimée par le delta: c) variation de prix estimée par le delta et le gamma:

32 Exemple Numérique (3) 2- Pour une variation de la volatilité de 20% à 21%: a) variation de prix exacte = b) variation de prix estimée par le véga: 3- Pour une variation du taux zéro-coupon de 5% à 6%: a) variation de prix exacte = -65 b) variation de prix estimée par le rho: 4- Un jour plus tard le 20/04/02 (passage du temps): a) variation de prix exacte = b) variation de prix estimée par le théta:

33 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (1977) Un seul facteur est à lorigine des déformations de la courbe des taux. Cet unique facteur est le taux court qui est modélisé sous la forme dun processus dOrnstein-Uhlenbeck. où r(t): taux court en t (assimilable au taux JJ). b: moyenne sur long terme du taux court. a: vitesse de retour à la moyenne. W(t): mouvement brownien voir MP p 72 à 74

34 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (2) Leffet de retour à la moyenne des taux Cette modélisation permet de prendre en compte leffet de retour à la moyenne constatée sur les taux dintérêt. Des valeurs élevées des taux ont tendance à être suivies plus fréquemment par des baisses que par des hausses. Leffet inverse est également constaté pour des niveaux de taux inhabituellement bas. Le graphique suivant montrent que les taux nont pas de trend sur longue période. Ils évoluent au sein dun tunnel contrairement aux actions et indices actions. :

35 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (3) :

36 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (4) Lorsque r(t) est éloigné de b, lespérance de variation instantanée de r(t), égale à a(b-r(t)) est positive si r(t) < b. Dans ce cas, le taux court a tendance à augmenter, se rapprochant de la moyenne sur long terme dautant plus intensément quil sen est écarté et que le paramètre a est grand. A linverse, si r(t) > b, lespérance de variation instantanée de r(t) est négative et r(t) diminue dans le temps pour se rapprocher de b. Linconvénient de cette modélisation est que le taux court suit un processus gaussien, donc est négatif avec une probabilité non nulle. :

37 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (5) Nous allons chercher à exprimer le prix dune obligation zéro-coupon dans ce modèle en utilisant deux approches différentes: - lapproche par les EDP (développée dans larticle de Vasicek) - et lapproche martingale (plus récemment introduite)

38 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (6) Lapproche par les EDP Nous considérons que le prix en t dun zéro-coupon délivrant 1 euro en T, qui est noté B(t,T) est une fonction du temps et du taux court r(t). B(t,T) = B(t,T,r(t)) En appliquant le lemme dItô à B(t,T,r(t)) soit :

39 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (7) Nous construisons un portefeuille sans risque P contenant deux zéro-coupon où Bi(t,T) = Bi(t,T,r(t)) pour i = 1,2 La quantité est choisie de telle façon que soit :

40 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (8) La variation de prix de P sécrit Comme le portefeuille est sans risque, il doit rapporter le taux sans risque soit :

41 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (9) ou encore En utilisant léquation (2) :

42 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (10) Léquation précédente met en évidence que la quantité suivante notée est à une date donnée t une constante quelle que soit la maturité du zéro-coupon. En utilisant léquation (1), on obtient :

43 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (11) Léquation précédente montre que lexcès de rendement de lobligation zéro-coupon au delà du taux sans risque est égal à lambda fois un facteur mesurant le risque de lobligation, en loccurrence sa volatilité. Le paramètre lambda peut être interprété comme le prix de marché unitaire du risque (de taux dintérêt). Plus la volatilité de lobligation est élevée autrement dit plus le risque pris est grand, plus lexcès de rendement au delà du taux sans risque est important. :

44 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (12) Lapproche martingale Cette approche sappuie sur un changement de probabilité. Lidée consiste à passer de la probabilité historique P à la probabilité risque-neutre Q pour exprimer le prix actualisé de lobligation comme une martingale sous cette probabilité. Sous la probabilité P, le processus de taux court et le processus de rendement de lobligation zéro-coupon B vont sécrire respectivement. :

45 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (13) Nous savons quil existe le paramètre lambda tel que pour tout actif financier dépendant de r(t) on ait On peut donc réécrire le processus du rendement de B sous la forme où est un Q-mouvement brownien par application du théorème de Girsanov, Q étant definie par la dérivée de Radon-Nikodym par rapport à P :

46 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (14) Nous introduisons à présent la notion de prix actualisés en définissant En utilisant le lemme dItô, on a :

47 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (15) On en déduit que les prix actualisés sont des martingales sous Q, ce qui implique ou de façon équivalente soit qui est la formule dévaluation générale pour lobligation zéro-coupon B(t,T). :

48 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (16) Dans le modèle de Vasicek, le processus du taux court r(t) sécrit sous Q de la façon suivante où La solution de cette EDS classique est donnée par Le processus r(t) est gaussien si r(0) est gaussien. Il est en particulier indépendant de W(s) pour s supérieur à 0. :

49 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (17) Ceci implique que la variable est gaussienne de moyenne m(t,T) et de variance V(t,T) Comme on obtient par application de la transformée de Laplace Il reste donc à calculer m(t,T) et V(t,T). :

50 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (18) Calcul de lespérance m(t,T) soit finalement :

51 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (19) Calcul de la variance V(t,T) Notons daprès léquation du taux court r(t) que V(t,T) sécrit alors :

52 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (20) Calcul de la variance V(t,T) soit :

53 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (21) Calcul de la variance V(t,T) Finalement on obtient doù le prix du zéro-coupon B(t,T) On en déduit le taux zéro-coupon :

54 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (22) On peut réécrire la fonctionnelle des taux zéro-coupon sous la forme suivante: en posant: cf séance 3 Lidée consiste alors à déterminer les coefficients b, a, sigma et lambda en minimisant lécart au carré entre le prix de marché et le prix théorique pour un ensemble dobligations. En pratique, on fixe dabord le paramètre lambda, puis on cherche les valeurs optimales pour les 3 autres paramètres. :

55 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (23) Evaluation doptions sur obligation zéro-coupon Prix en t dune option délivrant le Pay-off suivant à la date T option dachat: Max [0, B(T,T1) - K] option de vente: Max [0; K - B(T,T1)] : AuteurFormule du prix de l'option d'achat Merton CBtThEBtTh tBC (,)()(,)() où: h BtT EBtT B C C ln (,) (,) 2 ; CB TTTt 22 2 Vasicek 4 idem avec C B tTaTT a (,)exp()1 et (,) exp tT aTt a La formule est à attribuer à Jamshidian [1989].

56 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (24) Ces formules de call sont obtenues en utilisant la formule suivante: Le prix des puts sont obtenus à laide de la formule de parité call-put. On peut en déduire le prix de caps et de floors en montrant que (cf séance 7): - un cap est équivalent à une somme de puts sur obligation zéro-coupon. - un floor est équivalent à une somme de calls sur obligation zéro-coupon. :

57 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (25) Pricing doptions sur obligations à coupons Le pay-off en T dun call sur une obligations à coupons est le suivant: Soit, la valeur du taux court en T telle que: On a aussi: doù: :

58 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (26) Le call initial est équivalent à un portefeuille de calls sur obligation zéro-coupon de maturité T et de strike. On peut en déduire le prix dune swaption en montrant quelle est équivalente à un put sur une obligation à coupons. :

59 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (27) Avantages du modèle - Modèle à un facteur simple à comprendre dun point de vue théorique - Il fournit des expressions analytiques pour le pricing des produits de taux standards (zéro-coupon, obligation à coupons, caps, floors, swaptions...) - Un modèle qui fournit des réponses rapides dun point de vue informatique

60 Les modèles stochastiques Le modèle de Vasicek (28) Inconvénients du modèle - Variations des taux parfaitement corrélées entre elles. - Les taux sont négatifs avec une probabilité non nulle. - La courbe des taux zéro-coupon au comptant du modèle est différente de la courbe des taux zéro-coupon observée sur le marché. En particulier, on ne peut obtenir dans le modèle des courbes inversées sur le court puis croissantes, ni des formes à un creux et une bosse. - Le pricing au comptant de produits de taux simples comme les obligations est déficient dans ce modèle, ce qui rend encore plus aléatoire le pricing doptions sur ces produits comme le pricing de caps, floors et swaptions. :

61 Les modèles stochastiques Les autres modèles basés sur le taux court Léquation générale du taux court: Lapproche par les EDP et lapproche martingale exposées lors de lexamen du modèle de Vasicek fonctionnent de la même façon pour ces modèles. :

62 Les modèles stochastiques Les autres modèles basés sur le taux court (2) 1- Le modèle de Merton Le taux court sécrit: En supposant que la prime de risque est nulle, la fonctionnelle des taux zéro-coupon sécrit: Cette fonctionnelle nautorise quun nombre très limité de formes de courbes. En outre, quand la maturité du taux tend vers linfini, le taux zéro-coupon tend vers moins linfini. :

63 Les modèles stochastiques Les autres modèles basés sur le taux court (3) 2- Le modèle CIR Le taux court sécrit: Ce processus bénéficie du même effet de retour à la moyenne que dans le modèle de Vasicek, et reste toujours positif. La fonctionnelle des taux zéro-coupon vérifie: :

64 Les modèles stochastiques Les autres modèles basés sur le taux court (4) où: Cette fonctionnelle ne permet pas lobtention de courbes à un creux et une bosse. :

65 Les modèles stochastiques Les autres modèles basés sur le taux court (5) Evaluation en t dun call de maturité T, de prix dexercice E, sur une obligation zéro-coupon de maturité TB où: :

66 Les modèles stochastiques Les autres modèles basés sur le taux court (6) Les modèles linéaires Les modèles de Merton, Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross, et Pearson-Sun font partie de la classe affine. La fonctionnelle des taux zéro-coupon sécrit linéairement par rapport au taux court. Il y a équivalence entre les 2 propositions suivantes (cf Duffie et Kan) (a) Le prix d un zéro-coupon vérifie: :

67 Les modèles stochastiques Les autres modèles basés sur le taux court (7) et il existe deux maturités et telles que la matrice C ci- dessous soit inversible ( b) Sous la probabilité risque-neutre Q, le taux court admet l'EDS suivante: où: :

68 Les modèles stochastiques Les autres modèles basés sur le taux court (8) et le système suivant est supposé avoir une solution finie: avec: A(0) = 0 et B(0) = 0 :

69 Quelques Options Exotiques de Taux Ce sont des options crées sur-mesure par les banques pour leurs clients. Elles sont utilisées généralement: - par les entreprises afin de créer des structures de couverture plus adaptées aux risques encourus; - par les gérants de portefeuille afin d augmenter le rendement de leurs actifs; - par certaines institutions financières, afin de combler le «mismatch» entre leur actif et leur passif. Ils en existent de très nombreuses. :

70 Quelques Options Exotiques de Taux (2) Nous allons étudier les suivantes: - les caps/floors à barrière; - les «incremental fixed swaps»; - les N-caps et floors - les options sur spread - les «subsidised swaps» Ces options sont évaluées et couvertes à laide de méthodes numériques (Monte Carlo, Schéma aux différences finies, Treillis) dans les modèles de marché (BGM, Jamshidian) et/ou dans les versions markoviennes du modèle HJM. :

71 Caps et Floors à Barrière Les caps et floors à barrières européens sont des caps et floors européens classiques qui fournissent un cash-flow selon que le taux de référence atteint ou non une barrière déterminée à maturité de loption. Il y a 4 différents types de caps et floors à barrière: - le cap up-and in: le cap est activé dès lors que le taux de référence atteint ou dépasse la barrière (supérieure au strike); - le cap up-and-out:le cap est désactivé dès lors que le taux de référence atteint ou dépasse la barrière (supérieure au strike); - le floor down-and-in: le floor est activé dès lors que le taux de référence atteint ou passe sous la barrière (inférieure au strike); - le floor down-and-out: le floor est désactivé dès lors que le taux de référence atteint ou passe sous la barrière (inférieure au strike). :

72 Exemple de Cap Up-and-Out Le 02/01/01, une entreprise qui a contracté un prêt de maturité deux ans indexé sur lEuribor 3 mois sattend à une hausse raisonnable des taux. Plutôt que de contracter un cap de strike 5%, elle achète le cap up-and-out suivant: - montant nominal: euros - taux de référence: Euribor 3 mois - strike: 5% - barrière: 6% - date de démarrage: 08/01/01 - maturité: 08/01/03 - fréquence de constatation: tous les 3 mois :

73 Exemple de Cap Up-and-Out (2) Payoff de loption au 08/04/01: où est le taux Euribor 3 mois au 08/01/01, et si lévénement A se passe, et zéro sinon. Le cap à barrière est identique à un cap classique si le taux euribor au 08/01/01 natteint pas la barrière. Il est désactivé dès lors que cette barrière est atteinte ou dépassée. En supposant que la prime est égale à 0.08% du montant nominal, nous traçons le P&L de ce cap up-and-out. :

74 Exemple de Cap Up-and-Out (3) :

75 Incremental Fixed Swaps Un incremental fixed swap est un swap dont la patte fixe peut être transformée en la combinaison dune patte fixe et dune patte variable, en fonction du niveau du taux variable. Quand le taux variable augmente, la composante fixe augmente en proportion. Une entreprise endettée à taux variable et payeuse de la patte fixe bénéficiera ainsi d une couverture efficace en cas de hausse des taux tout en profitant dun coût de financement réduit si les taux restent bas. Le taux de swap dun incremental fixed swap est supérieur à celui dun swap standard. :

76 Exemple dIncremental Fixed Swap Soit lincremental fixed swap de montant nominal deuros qui repose sur le taux euribor 3 mois. La proportion fixe sur la patte fixe est déterminée comme suit: La patte fixe est payée annuellement tandis que la patte variable est payée tous les 3 mois. Le taux fixe de ce swap est égal à 6.3%. :

77 Exemple dIncremental Fixed Swap (2) Le swap est comme suit: où y est la proportion à taux fixe qui dépend du niveau du taux Euribor 3 mois. Le taux de swap du swap standard est égal à 6% et nous calculons le coût de financement dune entreprise endettée à taux variable Euribor 3 mois dans les 3 situations suivantes: - quand elle ne fait rien; - quand elle contracte le swap standard où elle paie la patte fixe; - quand elle contracte lincremental fixed swap précédent. :

78 Exemple dIncremental Fixed Swap (3) Le coût de financement est résumé dans le tableau suivant: Nous traçons sur la slide suivante le graphique des trois coûts de financement comparés. :

79 Exemple dIncremental Fixed Swap (4) :

80 Les N-Caps et Floors Le N-cap (N-floor) est:une version modifiée du cap up-and-out (floor down-and-out). Quand la barrière est atteinte le cap (le floor) est remplacé par un autre cap (floor) de strike supérieur (inférieur). Le prix dun N-cap (N-floor) est supérieur à celui dun cap up- and-out (floor down-and-out) mais inférieur à celui dun cap (floor). Logiquement, la protection obtenue par un N-cap (N-floor) se situe entre celle dun cap up-and-out (floor down-and-out) et dun cap (floor). :

81 Exemple de N-Floor Une entreprise, qui détient un portefeuille obligataire de maturité 5 ans indexé sur lEuribor 1 an, anticipe que les taux vont baisser dans le futur. Il achète un N-floor de maturité 5 ans, de strike 5%, de barrière 4% avec un deuxième strike à 3.5%. Les paiements sont annuels, et le montant nominal est égal à deuros. Payoff de chacun des floorlets: où est le taux Euribor 1 an constaté un an auparavant. Nous traçons sur la slide suivante le graphique de ce payoff. :

82 Exemple de N-Floor (2) :

83 Les Subsidized Swaps Un subsidized swap est la combinaison dun swap standard payeur du fixe et de la vente dun cap. Ce produit est particulièrement adapté pour une entreprise endettée à taux variable: - si le taux variable reste inférieur au strike du cap, lentreprise paie sur la période le taux fixe moins la prime du caplet; - si le taux variable est supérieur au strike du cap, lentreprise paie sur la période le taux variable moins la différence entre le strike du cap plus la prime du caplet moins le taux fixe du swap. :

84 Exemple de Subsidized Swap Une entreprise a contracté une dette de montant nominal deuros, de maturité 2 ans indexée sur lEuribor 3 mois. Elle rentre dans un subsidized swap: - elle paie le taux fixe à 5% dun swap standard contre Euribor 3 mois, de montant nominal deuros et durée 2 ans. - et vend un cap de mêmes durée et montant nominal de taux de référence lEuribor 3 mois, et de strike 6.5%. La prime de chacun des caplets est égal à 0.2% du montant nominal. Nous calculons le coût de financement dune entreprise endettée à taux variable Euribor 3 mois dans les 3 situations suivantes: - quand elle ne fait rien; - quand elle contracte le swap standard où elle paie la patte fixe; - quand elle rentre dans un subsidized swap.. :

85 Exemple de Subsidized Swap (2) Le résultat en termes de coût de financement est résumé dans le tableau suivant: Nous traçons sur la slide suivante le graphique des trois coûts de financement comparés. :

86 Exemple de Subsidized Swap (3) :


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