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Des fractions aux nombres décimaux Sébastien DESSERTINE Animateur Formateur Départemental Mathématiques Sciences et Développement Durable.

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1 Des fractions aux nombres décimaux Sébastien DESSERTINE Animateur Formateur Départemental Mathématiques Sciences et Développement Durable

2 Voici un nuancier fait à partir de 3 couleurs primaires. Comment a-t-on procédé pour obtenir la couleur du tube n°6 ?

3 Il y a du bleu dans 8 tubes. Il y a de moins en moins de bleu dans les tubes.

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5 fractions simples et décimales : - écriture, Les nombres décimaux et les fractions BO HS N° 3 du 19 juin encadrement entre deux nombres entiers consécutifs, - écriture comme somme dun entier et dune fraction inférieure à 1, - somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur

6 - désignations orales et écritures chiffrées, - valeur des chiffres en fonction de leur position, - passage de lécriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement, - comparaison et rangement, - repérage sur une droite graduée ; - valeur approchée dun décimal à lunité près, au dixième près, au centième près. nombres décimaux

7 Fractions - Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième. - Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. - Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs. - Écrire une fraction sous forme de somme dun entier et dune fraction inférieure à 1. Grilles de références pour lévaluation et la validation des compétences du socle commun au palier 2, © MENJVA/DGESCO, juin 2011, page 26

8 Nombres décimaux - Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusquau 1/100ème). - Savoir les repérer, les placer sur une droite graduée. - Savoir les comparer, les ranger. - Savoir encadrer un nombre décimal non entier par deux nombres entiers consécutifs. - Produire des décompositions en utilisant 10 ; 100 ; 1000… et 0,1 ; 0,01. - Donner une valeur approchée à lunité près, au dixième ou au centième près. - Passer dune écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. Grilles de références pour lévaluation et la validation des compétences du socle commun au palier 2, © MENJVA/DGESCO, juin 2011, page 26

9 Lélève est capable de : - utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier) - estimer lordre de grandeur dun résultat ; - utiliser une calculatrice - utiliser les unités de mesure usuelles ; utiliser des instruments de mesure ; effectuer des conversions - écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusquau centième) et quelques fractions simples - résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, règle de trois, figures géométriques, schémas ;

10 Les fractions simples ? Usuelles ? ½ litre ½ heure ½ baguette ½ euro ? Garçon un demi ! 3/4 de minute ¼ litre ¼ de kilogramme ? Le tiers provisionnel 1/10 de secondes 10/100 deuro ?

11 Fractions unitaires à dénominateur puissance de 2

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15 Comment aborder la fraction ? 1° Approche procédurale ? ……. 2° Approche fonctionnelle ? ……. 3° Approche par sauts ? ……. 4° Approche par la mesure ? ……. 5° Approche par partage dun segment ? ……. Approche par un système de mesures mesure ? …….

16 1° Approche procédurale ? ……. Une fraction désigne une division à effectuer. Action de diviser 7 par Dans cette approche la fraction nest pas un nombre mais une procédure visant à atteindre un nombre décimal aussi proche que lon veut de 7/4. 7/4 = 1,75 Attention

17 2° Approche fonctionnelle ? ……. La fraction désigne une chaîne dopérateurs. Cest … x par 7 et ÷ par 4 Ou Cest … ÷ par 4 et x par Le nombre et la fraction x sont deux objets de nature différentes Attention

18 3° Approche par sauts ? ……. En partant du point 0, on passe par le nombre « n » après un certain nombre « s » de sauts. Ex : 8/4 arriver au point 8 en 4 sauts Le saut est un déplacement auquel on associe une longueur repérée par un nombre. Facilite létude des équivalences et donc de la simplification des fractions.

19 3° Approche par sauts ? …… = = 4 2 =

20 4° Approche par la mesure ? ……. La représentation sappuie sur une représentation de partition surface (souvent un disque ou un rectangle)

21 4° Approche par la mesure ? ……. Attention unité En absence dunité de référence, on reconnaît toujours le tiers dun disque En absence dunité de référence, on ne reconnaît pas le quart dun rectangle

22 4° Approche par la mesure ? ……. Attention ou

23 Approche par un système de mesure ? ……. Segment S La longueur du segment S est de 1 U nité et 8 V (Unité partagée en 10 morceaux égaux : U = 10 V V = 1/10 U ). 18V = 1U 8V = 1,8 U

24 5° Approche par partage dun segment ? …….

25 nous obtenons des morceaux dont l'aire est 1/2 puis, 1/4 ; 1/8 ; 1/16 ; 1/32 ; 1/64 ; etc... ½ 1/4 1/8

26 Les formats de type A n

27 R Q D Z N Π 2 10/3 1/7 15/3 -7 naturelsrelatifsdécimauxrationnelsréels

28 Les décimaux permettent d'approcher la mesure de n'importe quelle grandeur continue d'aussi près que l'on veut. « Le filtre décimal »

29 Introduire les nombres décimaux au C 3 1° Enjeu 2° Enjeu sapproprier le projet auquel répondent les décimaux Surmonter les difficultés de conceptualisation inhérentes aux fractions qui ne sont pas unitaires

30 il y a des ruptures à vivre moment de lintroduction des écritures à virgule mais aussi certaines continuités. 1° rupture : Lidée de prédécesseur et de successeur na plus de sens pour les décimaux. 2° rupture : Entre 2 entiers il y a un nombre fini dentiers. Entre deux décimaux, il y a une infinité de décimaux. 3° rupture : Les règles de comparaison sont différentes de celles institutionnalisées sur les entiers. 4° continuité : Les techniques opératoires ne changent pas. Souvent mal transférées car appuyée sur des « trucs » plus que sur du sens mathématique.

31 Lintroduction de nouveaux nombres au cycle 3 Quoi quon fasse il y a une rupture au moment de lintroduction des écritures à virgule. Certaines propriétés, certaines techniques de calcul qui étaient valables avec les entiers restent valables, dautres ne le ont plus Pour multiplier par 10, on najoute pas un 0 à la fin : 1,6 x 10 ne vaut pas 1,60 Remarque : au cycle 2, il semble important de donner du sens à la multiplication par 10 (25×10 cest 25 « paquets de dix » et 25 « paquets de dix » ça sécrit 250) Le nombre qui a lécriture la plus longue nest pas nécessairement le plus grand (2,123 2,3). Une écriture à virgule ce nest pas « la juxtaposition de deux entiers » et, pourtant de nombreux élèves font comme si cétait le cas : 2,17 < 2,125 car 17 < 125 2,95 × 2 = 4, 190 « Il ny a pas de nombre entre 1,16 et 1,17 » (car il ny a pas dentiers entre 16 et 17)


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