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LES NOMBRES DECIMAUX Cycle 3 Poix de Picardie - Picquigny 28 mars 2012.

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1 LES NOMBRES DECIMAUX Cycle 3 Poix de Picardie - Picquigny 28 mars 2012

2 Réussites et difficultés des élèves

3 Objectifs de cette formation Se mettre dans la peau des élèves qui découvrent ces nouveaux nombres et qui doivent ainsi modifier radicalement leurs représentations. Aider à construire une programmation pour l'apprentissage des nombres décimaux sur les 3 années du cycle 3. Identifier les principaux obstacles, les difficultés récurrentes pour l'élève à propos des décimaux. Trouver des manières d'aborder les notions pour lever les obstacles.

4 Rallye mathématique

5 4 personnes désirent se partager 3 baguettes. Quelle part reçoit chacune d'entre elle ?

6 Rallye mathématique

7 Mise en situation : rallye mathématique Cette mise en situation permet de préciser : la définition de la fraction et du nombre décimal (Exercices 1, 2, 9, 13) la détermination des différents sens de la fraction (partition de lunité, partition de la pluralité, proportion entre des unités différentes, division partage / division groupement) (Exercices 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14) le rôle d'un nombre décimal (donner une valeur approchée dune mesure ou de la mesure dune grandeur continue quelconque) (Exercices 4, 9, 11, 13, 15)

8 Connaissances à maîtriser – Ce que lenseignant doit savoir Qu'est-ce qu'un nombre décimal ? Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient décimal, cest-à-dire dun quotient dun nombre entier par une puissance de 10. Cest donc un nombre fractionnaire particulier. Cette définition met en évidence : la globalité du nombre : 4,25 c'est un seul nombre. On évitera donc de parler trop tôt de partie entière et de partie décimale. l'identité du nombre décimal avec un quotient décimal : 4,25 = 425 : 100 le fractionnement de l'unité en dixièmes, centièmes, millièmes. Toute écriture a,b (a virgule b), sans nom d'unité explicite, où a et b sont des nombres entiers est un nombre décimal. Attention : un nombre décimal utilisé comme valeur approchée d'une fraction ne donne pas à cette fraction le statut de nombre décimal (dire que 0,33 est une valeur approchée de 1/3 ne signifie pas que 1/3 soit un nombre décimal).

9 Connaissances à maîtriser – Ce que lenseignant doit savoir Un nombre entier est un nombre décimal car il peut toujours s'écrire sous forme d'une fraction décimale. Une fraction est un nombre décimal si le quotient du numérateur par le dénominateur est constitué d'un nombre fini de chiffres (le reste est égal à 0). Par exemple, 11/4 est un nombre décimal car 11 : 4 = 2,75. en revanche, 4/7 n'est pas un nombre décimal car le quotient de 4 par 7 est 0, Le reste ne sera jamais égal à 0, la division ne sarrête pas. On peut également vérifier, après avoir simplifié la fraction, que le dénominateur est un diviseur de 10 n c'est-à-dire qu'on peut le décomposer en facteurs premiers tous égaux à 2 ou à 5 (qui sont les seuls diviseurs de 10). Par exemple, 11/4 = 11/2x2, cest donc un nombre décimal.

10 Types de difficultés rencontrés par les élèves DIFFICULTÉS LIÉES À LA RUPTURE AVEC LES NOMBRES ENTIERS Un même nombre peut avoir plusieurs écritures / plusieurs écritures peuvent désigner un même nombre Les nombres décimaux ne se comptent pas dans lordre Adaptation de certaines techniques opératoires

11 Types de difficultés rencontrés par les élèves DIFFICULTÉS LIÉES À LÉCRITURE ET À LA LECTURE DES NOMBRES Dans la dénomination des chiffres, il ny a pas de parallélisme : le premier chiffre avant la virgule s appelle « unité » et celui après la virgule sappelle « dixième ». Exemple : 324,58 La lecture de la « partie décimale » ne correspond pas à la dénomination des chiffres Exemple : 324,582

12 LES CONCEPTIONS DES ÉLÈVES QUELQUES THÉORÈMES « ÉLÈVES » Erreurs fréquemment rencontrées quil convient de détecter : Le suivant de 3,6 est 3,7 Entre 5,12 et 5,13 il ny a aucun nombre Quand on multiplie, cela augmente Quand on divise, cela diminue Si on doit diviser, on divise le plus grand nombre par le plus petit

13 LES CONCEPTIONS DES ÉLÈVES RÈGLES DE COMPARAISON On ne tient pas compte de la virgule 21,5 < 4,01 car 215 < 401 La comparaison ne porte que sur les « parties décimales » 4,15 < 3,21 car 15 < 21 A partie entière égale, le plus grand est celui qui a le plus de chiffres après la virgule 5,043 > 5,15 Traitement des « parties décimales » comme si cela était des nombres entiers 5,15 > 5,8 car 15 > 8

14 LES PRINCIPALES DIFFICULTÉS La signification de la partie décimale La signification des chiffres dans lécriture à virgule dun décimal Les calculs sur les décimaux La comparaison Lintercalation dun nombre entre deux décimaux (densité de lensemble des décimaux)

15 Ce que disent les programmes… B.O n° 3 du 19 juin 2008 Les nombres décimaux et les fractions : - F ractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs, écriture comme somme dun entier et dune fraction inférieure à 1, somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur ; - Nombres décimaux : désignations orales et écritures chiffrées, valeur des chiffres en fonction de leur position, passage de lécriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement, comparaison et rangement, repérage sur une droite graduée ; valeur approchée dun décimal à lunité près, au dixième près, au centième près.

16 Pré-requis à maîtriser au CE2 Les fractions et les nombres décimaux napparaissent pas dans la progression en CE2, mis à part « connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié ou demi, triple, quart dun nombre entier ». Pour autant, un certain nombre dapproches ou de notions abordées au CE2 facilitent lintroduction des fractions et des nombres décimaux dans la suite du cycle :

17 une bonne compréhension de notre système de numération (décimale et de position) ; les décompositions et recompositions additives des nombres ; la valeur dun chiffre dans un nombre entier suivant sa position ; lutilisation systématique, ou du moins régulière, de la droite numérique graduée comme moyen de visualisation (en variant les échelles et les tâches : placer, intercaler...), comme medium permettant de visualiser et de donner du sens aux notions de comparaison, dintercalation, dordre de grandeur ; une première connaissance du tableau de conversion des unités de mesures ; la rencontre régulière de situations de la vie quotidienne où lélève peut être confronté à la nécessité de mobiliser dautres nombres que les nombres entiers pour résoudre des problèmes de mesure.

18 Ce que disent les programmes… CM1CM2 Fractions -Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième. - Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. Fractions -Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs. -Écrire une fraction sous forme de somme dun entier et dune fraction inférieure à 1

19 Ce que disent les programmes… CM1CM2 Nombres décimaux Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusquau 1/100ème). Savoir : - les repérer, les placer sur une droite graduée, - les comparer, les ranger, -les encadrer par deux nombres entiers consécutifs, - passer dune écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. Nombres décimaux Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusquau 1/10 000ème). Savoir : - les repérer, les placer sur une droite graduée en conséquence, -les comparer, les ranger, - produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; et 0,1 ; 0,01 ; 0, Donner une valeur approchée à lunité près, au dixième ou au centième près.

20 Les attendus du Socle commun Palier 2 – Compétence 3 Nombres et calcul Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusquau centième) et quelques fractions simples Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier)

21 EVALUATIONS NATIONALES CM2 Résultats Analyse des résultats départementaux au niveau des domaines, des compétences / connaissances et des items % Ecrire et nommer les nombres entiers, décimaux et les fractions % Passer dune écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement % %

22 EVALUATIONS NATIONALES CM2 Exercice 1 : Dictée de nombres Item 65 dans la case D, écrivez vingt huit unités et sept centièmes (laisser 10 secondes) ; dans la case E, écrivez trente-cinq centièmes (laisser 10 secondes) ; dans la case F, écrivez trois dixièmes (laisser 10 secondes). »

23 EVALUATIONS NATIONALES CM2 Exercice 2 Item 66 A/ Entoure la fraction égale à 6,02 60/2 62/10 602/ /100 Item 67 B/ Entoure le nombre à virgule égal à 3/10 3,10 - 0,3 - 0, ,00 - 3,0 - 3,00 Item 68 C/ Écris 1/4 sous forme de nombre à virgule : ¼ =

24 Proposition de programmation et de progression de la fraction au nombre décimal CM1 Période 1 : Notion de partage Période 2 : les fractions décimales Période 3 : formalisation du nombre à virgule composer, décomposer Période 4 : comparer, ranger, encadrer Tout au long de lannée : - Travail sur les fractions - Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesure de grandeur

25 Notion de partage ItemsObjectifs Nommer des fractions simples en utilisant le vocabulaire: demi, tiers, quart Appréhender le sens des fractions simples : ½, 1/3, ¼, 2/4, 2/3… Faire remarquer la nécessaire égalité des parts (lécriture fractionnaire na de sens que si toutes les parts sont égales. Lexique : demi, tiers, quart, entier, partager, parts égales, partage équitable. Activités et exercices proposés : partage dunité Pliages de bandes de papier (outils individuels de lélève) Partage de disque (horloge, tarte) Il est nécessaire de produire des affiches dans la classe Le rituel des fractions, le disque des fractions

26 Affichage possible

27 Travail sur les fractions ItemsObjectifs Nommer des fractions simples en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. Travail expérimental de pliage de bandes pour mettre en évidence les égalités remarquables telles que : ½+½=1 ; ¼+¼=½ Travail sur les fractions supérieures à 1 5/4=1(4/4)+1/4 Activités et exercices proposés : Mesures de bandes à partir dune bande unité Tracer des segments de longueur en référence à une unité (3u+1/2U) Proposer des exercices sur les aires Il est nécessaire de produire des affiches dans la classe concernant les égalités remarquables

28 Travail sur les égalités remarquables Affichage dans la classe : du pliage de bande vers la droite graduée 2/3= 1/3 + 1/3

29 Les fractions décimales ItemsObjectifs Nommer des fractions décimales en utilisant le vocabulaire: dixième, centième. Prolongement des activités précédentes Choisir des bandes pour permettre un partage en 10 ou en 100 Ecriture fractionnaire dune fraction décimale : 3/10, 2/100 Ecriture dégalités telles que : 13/10=1(10/10)+3/10 Activités et exercices proposés : Mesures de bandes à partir dune bande unité (expérimentation) Réalisation daffiches Bandelettes, monopoly des décimaux, jeu de casino

30 Exemple daffichage sur les équivalences de fractions

31 Formalisation du nombre à virgule composer et décomposer ItemsObjectifs Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu'au 1/100ème). Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement Mesures de bandes Ex: mesurer une bande de2,46m (enseignant) avec les bandes construites précédemment (1m pliée en 10 et en 100) 246/100=2u+4/10u+6/100u=2,46 2: chiffre des unités 4: chiffre des dixièmes 6: chiffre des centièmes La présentation sous forme daddition est une anticipation pour lenseignement de laddition des nombres décimaux. Activités et exercices proposés : Travail expérimental Construction de tableau du type Fabrikadécimaux, le nombre secret, le jeu des familles de décimaux Ecriture avec une seule fraction DécompositionEcriture avec une virgule 246/1002+4/10+6/1002,46

32 Comparer, ranger, encadrer ItemsObjectifs Savoir repérer les nombres décimaux et les placer sur une droite graduée. Les comparer, les ranger. Les encadrer par deux nombres entiers consécutifs. Comparaison raisonnée des fractions par rapport à des entiers, recours au sens de lécriture décimale Introduction de la droite graduée en se limitant à des nombres entiers Activités et exercices proposés : Le rituel des cibles, Le nombre secret

33 Proposition de programmation et de progression de la fraction au nombre décimal CM2 TOUTE LANNEE Reprise et poursuite du travail sur les fractions Connaissance du nombre à virgule Comparer, ranger, encadrer

34 Reprise du travail sur les fractions ItemsObjectifs Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs Écrire une fraction sous forme de somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1. Reprendre les activités du CM1 avec les bandes de papier pour : - Revoir les fractions simples - Mesurer des bandes à partir dune bande unité - Tracer des segments de longueurs données (ex: 3U+1/2U) Comparer la longueur du segment à un nombre entier dunités Ex : 3U ˂ 3U+1/2U ˂ 4U Passage à la droite graduée pour placer des fractions supérieures à lunité Activités et exercices proposés Utilisation de bandes de papier (construites au CM1) Utilisation de la droite graduée comme outil individuel (systématiquement en début dapprentissage) Le rituel des fractions (sup. à 1), les cocktails des fractions

35 Exemple daffichage sur les équivalences de fractions en référence à la mesure daire

36 Travail sur les fractions ItemsObjectifs Écrire une fraction sous forme de somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1. Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur Aborder la somme de fractions décimales ou simples dans des situations concrètes (lien avec « Grandeurs et mesures ») PAS DE TECHNIQUE OPERATOIRE Travail visuel pour avoir des représentations mentales Ex: 1/8+5/8 dune tarte cest égal à 6/8 de tarte Travail sur des exercices plus techniques : écrire 5/4 comme la somme de… Activités et exercices proposés Mathou matheux (Volume – Coktail)

37 Connaissance du nombre à virgule ItemsObjectifs Nombres décimaux: Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu'au 1/10000ème). Reprise du travail expérimental proposé au CM1 Passage par le tableau pour retrouver la valeur des chiffres Activités et exercices proposés Mesure du temps jusquau centième en course de vitesse à exprimer sous forme de fraction décimale puis de nombre à virgule Ex: 562 cest 562/100 donc 5 s, 6 dixièmes et 2 centièmes ou 5+6/10+2/100 Mesures de longueurs Jeu de paires de décimaux, jeux de loto des décimaux, domino des décimaux Partie entière Partie décimale DizainesUnitésDixièmes Centième s Millièmes

38 Comparer, ranger, encadrer ItemsObjectifs Nombres décimaux: Savoir les repérer, les placer sur une droite graduée en conséquence. Savoir les comparer, les ranger. Faire le lien avec le placement des fractions décimales sur une droite graduée Activités et exercices proposés Jeu des étiquettes en variant la difficulté notamment en modifiant la précision des nombres et la précision de la droite graduée : dixième, centième… Jeux des étiquettes, Jeu de bataille, Labyrinthe des décimaux, Le jeu de dés des décimaux

39 Comparer, ranger, encadrer ItemsObjectifs Nombres décimaux: Savoir produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10; 100; et 0,01; 0, Savoir décomposer un nombre à virgule en utilisant des écritures fractionnaires Activités et exercices proposés Problèmes : combien de centièmes, millièmes…dans X unités Addition de nombres exprimés sous forme de décomposition Fabrikadécimaux, Jeu des familles des décimaux, Le nombre secret

40 Comparer, ranger, encadrer ItemsObjectifs Nombres décimaux: Donner une valeur approchée à l'unité près, au dixième ou au centième près. Maîtriser les ordres de grandeurs Activités et exercices proposés

41 Attendus du collège a) Le sens de lécriture fractionnaire sélargit : À lécole, les fractions sont introduites en vue daider à la compréhension des nombres décimaux. Elles sont définies en référence au partage de lunité sur une ligne graduée régulièrement Au collège, dès la sixième, Lécriture fractionnaire est utilisée comme lexpression dun quotient. a/b devient le nombre qui multiplié par b donne a. Il s'agit de distinguer le nombre a/b et « a/b de... » qui désigne une fraction d'une quantité. b) Lusage des fractions se diversifie : En effet, les fractions peuvent être conçues comme des nombres quon pourra comparer et sur lesquels on pourra calculer (+, -, x, : ). Un travail est également effectué sur les désignations (écritures fractionnaires égales, rendre une fraction irréductible).

42 Ensemble des jeux prêts à l'utilisation Synthèse sur lécriture fractionnaire nlvm.usu.edu.edu.fr Le rituel des fractions Le disque des fractions Cousin03.pdf Le domino des fractions Les cocktails des fractions rennes.fr/num/fractions/CM2/cocktailCM1.htm#CM2 Le fabrikadécimaux Le jeu des familles des décimaux Composer/Décomposer en ligne Le jeu des paires des décimaux html Le loto des décimaux Les dominos des décimaux Le jeu des étiquettes Le nombre secret Euro Maths – CM2. A portée des maths – CM2 JF Quilfen – groupe départemental mathématiques 77 creteil.fr/guppy/file/jfrancois/rallyemaths/rallye /http://www.ien-mee.ac- creteil.fr/guppy/file/jfrancois/rallyemaths/rallye /rallye_calcul _mental_77_jfquilfen.pdf En ligne :


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