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1 Didactique des mathématiques : la théorie anthropologique du didactique (Y. Chevallard) 3 e partie Maggy Schneider Université de Liège.

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1 1 Didactique des mathématiques : la théorie anthropologique du didactique (Y. Chevallard) 3 e partie Maggy Schneider Université de Liège

2 2 Praxéologie « modélisation » vs praxéologie « déduction » Quelques définitions dalgèbre linéaire basées sur le produit scalaire :

3 3 Praxéologie « modélisation » vs praxéologie « déduction » Cette subordination des concepts à celui de produit scalaire permet de déduire très facilement des théorèmes fondamentaux de géométrie ou de trigonométrie. Ainsi, le théorème de Pythagore :

4 4 Praxéologie « modélisation » vs praxéologie « déduction » Exemple des formules daddition en trigonométrie :

5 5 Praxéologie « modélisation » vs praxéologie « déduction » Mais cette subordination relève dune « inversion didacti- que » (Freudenthal). Dans lhistoire, on savait que : avant de percevoir un « même » calcul derrière toutes ces situations

6 6 Démonstration dune formule daddition sans produit scalaire

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9 9 Quelques réflexions sur ces démonstrations « La démonstration utilisant le produit scalaire est courte, mais il faut pour cela rappeler la notion de produit scalaire, qui nest pas toujours bien assimilée chez tout le monde. Certains enseignants préfèrent alors la démonstration à partir des distances, qui est un peu plus longue mais qui se démontre à partir de choses simples, sans devoir se référer à danciennes notions (mis à part la formule des distances, censée connue) » « La démonstration utilisant le produit scalaire est courte, mais il faut pour cela rappeler la notion de produit scalaire, qui nest pas toujours bien assimilée chez tout le monde. Certains enseignants préfèrent alors la démonstration à partir des distances, qui est un peu plus longue mais qui se démontre à partir de choses simples, sans devoir se référer à danciennes notions (mis à part la formule des distances, censée connue) » « La démonstration utilisant le produit scalaire est simple et élégante, mais repose sur une équivalence de formulation vue « La démonstration utilisant le produit scalaire est simple et élégante, mais repose sur une équivalence de formulation vue (? Pas sûr - léquivalence a bien pu être acceptée telle quelle et non démontrée !) il y a bien longtemps et refait sans le dire la démonstration de léquivalence » « Un gros avantage de la démonstration basée sur le produit scalaire est quelle est aisée à retenir. En fait, elle est basée sur une seule définition. Doù, elle sera sûrement privilégiée dans les classes de plus faible niveau » « Un gros avantage de la démonstration basée sur le produit scalaire est quelle est aisée à retenir. En fait, elle est basée sur une seule définition. Doù, elle sera sûrement privilégiée dans les classes de plus faible niveau »

10 10 A un extrême : une démonstration qui retourne aux « sources » mais néglige les apports positifs des math. modernes

11 11 A lautre extrême : une démonstration qui naurait pas pu exister sans la propriété quelle prétend démontrer Lécriture exponentielle dun nombre complexe permet de « compacter » des écritures mais se « justifie » grâce à une analogie de propriétés ou des développements formels en séries qui supposent la propriété à démontrer

12 12 Pourquoi les vecteurs (et opérations associées) ? Physique (sens, direction, intensité, point dapplication) : Physique (sens, direction, intensité, point dapplication) : forces, vitesses, champ électromagnétique, travail dune force et produit scalaire, … forces, vitesses, champ électromagnétique, travail dune force et produit scalaire, … Mathématiques (n-uples) Mathématiques (n-uples) Démonstration de propriétés géométriques (y compris démonstrations analytiques) Démonstration de propriétés géométriques (y compris démonstrations analytiques) Expression des translations Expression des translations ? Construction de plans ? Construction de plans Fonctions de plusieurs variables Fonctions de plusieurs variables Regroupement de données en statistiques descriptives Regroupement de données en statistiques descriptives Nombres complexes Nombres complexes Algèbre linéaire Algèbre linéaire

13 13 Pourquoi les vecteurs (et opérations associées) ? Mais quelle entrée en matière pour les élèves ? Souvent, on part des translations et on évoque des questions de trajets dans un plan mais comment définir « sens » et « direction » à ce stade détude en dehors de la physique ? Quasiment jamais, on ne dit aux élèves quon cherche à exprimer des configurations géométriques et démontrer leurs propriétés de manière symbolique et calculatoire On se situe difficilement entre physique et algèbre linéaire qui est une théorie « multi-sens »

14 14 Pourquoi les vecteurs (et opérations associées) ? 1ère expérience possible dune démonstration calculatoire : les médianes dun triangle se coupent en un même point 1ère expérience possible dune démonstration calculatoire : les médianes dun triangle se coupent en un même point Résoudre le système formé des équations de AM et BN Résoudre le système formé des équations de AM et BN Contrôler que la solution vérifie léquation de CP Contrôler que la solution vérifie léquation de CP Coordonnées paramétrées ou non ? Coordonnées paramétrées ou non ?

15 15 Pourquoi les vecteurs (et opérations associées) ? Annoncer le but : traduire des configurations géométriques au moyen des coordonnées ou vecteurs. Exemples : Parallélogramme ABCD éventuellement « aplati » : Parallélogramme ABCD éventuellement « aplati » : B - A = C - D Milieu M dun segment EF : (E + F) / 2 Milieu M dun segment EF : (E + F) / 2 Que démontre léquivalence entre B - A = C - D et (D + B) / 2 = (A + C) / 2 ? Une situation fondamentale dentrée dans cet univers : trouver le 4 ème sommet dun parallélogramme connaissant les 3 autres

16 16 Forme dun déterminant 3 x 3 Partir dune définition du déterminant de n vecteurs relativement à une base en termes dimage dune forme n-linéaire alternée Partir dune définition du déterminant de n vecteurs relativement à une base en termes dimage dune forme n-linéaire alternée Une alternative possible, parmi dautres, est détudier la compatibilité dun système linéaire de trois équations à deux inconnues : recherche dun critère général et non pas résolution dun système Une alternative possible, parmi dautres, est détudier la compatibilité dun système linéaire de trois équations à deux inconnues : recherche dun critère général et non pas résolution dun système

17 17 Forme dun déterminant 3 x 3 Dune écriture « brute » à la nécessité dune écriture « mnémotechnique »:

18 18 Forme dun déterminant 3 x 3 Intérêt dun notation indicée : émergence historique des matrices postérieure à celle Intérêt dun notation indicée : émergence historique des matrices postérieure à celle des déterminants Caractère « multi-sens » de lannulation dun déterminant 3 x 3 : Caractère « multi-sens » de lannulation dun déterminant 3 x 3 : Concourance de droites Concourance de droites Coplanarité de points Coplanarité de points Parallélisme dune droite et dun plan Parallélisme dune droite et dun plan Positions relatives de trois plans (toutes sauf plans qui ont un seul point commun) Positions relatives de trois plans (toutes sauf plans qui ont un seul point commun) Dépendance linéaire de trois vecteurs… Dépendance linéaire de trois vecteurs…

19 19 Praxéologie « modélisation » vs praxéologie « déduction » La subordination de la géométrie à lalgèbre linéaire représente une économie de pensée énorme : e.a. les notions dorthogonalité et de distance prennent un sens plus large et sétendent aux espaces fonctionnels (distance chez Fréchet) mais cette subordination se paie du prix de définitions absconses et dune absence darticulation entre modélisation et déduction

20 20 Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à lalgèbre linéaire Schéma standard : on définit la droite et le plan de manière vectorielle on définit la droite et le plan de manière vectorielle on en « déduit » une écriture paramétrique, puis une écriture cartésienne on en « déduit » une écriture paramétrique, puis une écriture cartésienne Plusieurs observations montrent que ce schéma soulève des difficultés dapprentissage habituellement non gérées (Lebeau) et que les registres cartésien et paramétrique doivent être travaillés pour eux-mêmes

21 21 Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à lalgèbre linéaire Léquation y - 2x - 1 = 0 est celle dune droite. Or, on cherche léquation dun plan. Où est lerreur de calcul ? Léquation y - 2x - 1 = 0 est celle dune droite. Or, on cherche léquation dun plan. Où est lerreur de calcul ? Pourquoi faut-il deux équations cartésiennes pour une droite ? On pourrait nen faire quune seule Pourquoi faut-il deux équations cartésiennes pour une droite ? On pourrait nen faire quune seule « x = 3 » est la solution dune équation et pas une équation « x = 3 » est la solution dune équation et pas une équation Je nai pas les mêmes équations paramétriques que mon voisin. Qui a juste ? Je nai pas les mêmes équations paramétriques que mon voisin. Qui a juste ? On ne comprend pas ce que faites pour vérifier la coplanarité de 4 points On ne comprend pas ce que faites pour vérifier la coplanarité de 4 points Qui dit que laddition de 2 vecteurs de lespace ne conduit pas à un « parallélogramme gauche » ? Qui dit que laddition de 2 vecteurs de lespace ne conduit pas à un « parallélogramme gauche » ?

22 22 Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à lalgèbre linéaire Essai dun projet denseignement où lon travaille dabord les registres cartésien et paramétrique pour « remonter » ensuite au vectoriel Essai dun projet denseignement où lon travaille dabord les registres cartésien et paramétrique pour « remonter » ensuite au vectoriel Questions de démarrage Questions de démarrage Décrivez lensemble des points de « lespace » dont les coordonnées (x,y,z) vérifient léquation : Décrivez lensemble des points de « lespace » dont les coordonnées (x,y,z) vérifient léquation : y = -3/2 x + 3 y = -3/2 x + 3 Donnez une équation du plan Oxy Donnez une équation du plan Oxy

23 23 Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à lalgèbre linéaire Réactions à léquation y = -3/2 x + 3 Une première interprétation en termes de droites Une première interprétation en termes de droites Un questionnement sur labsence de z qui conduit à un débat sur le sens dune équation comme contrainte (vs étiquette) Un questionnement sur labsence de z qui conduit à un débat sur le sens dune équation comme contrainte (vs étiquette) Un passage à lespace par mouvement, empilement ou projection Un passage à lespace par mouvement, empilement ou projection

24 24 Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à lalgèbre linéaire Réactions à léquation y = -3/2 x + 3 Certains élèves continuent à interpréter cette équation comme celle dune droite : cela reste pour eux léquation dune droite « qui bouge » Certains élèves continuent à interpréter cette équation comme celle dune droite : cela reste pour eux léquation dune droite « qui bouge »

25 25 Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à lalgèbre linéaire Réactions à la recherche de léquation du plan Oxy Difficulté à concevoir la question Difficulté à concevoir la question Difficulté à penser que la liberté ne sexprime pas : Difficulté à penser que la liberté ne sexprime pas :

26 26 Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à lalgèbre linéaire Le discours sur le nombre de degrés de liberté est intéressant mais suppose un apprentissage en amont qui permettra aux élèves de sortir dune conception « étiquette » pour rentrer dans la perspective des contraintes et libertés (ces dernières étant « muettes ») Le discours sur le nombre de degrés de liberté est intéressant mais suppose un apprentissage en amont qui permettra aux élèves de sortir dune conception « étiquette » pour rentrer dans la perspective des contraintes et libertés (ces dernières étant « muettes ») Ce changement de conception doit exister en analyse aussi Ce changement de conception doit exister en analyse aussi

27 27 Une remontée de la géométrie analytique à lalgèbre linéaire Eviter la lourdeur des calculs sur les coordonnées Notation « bipoint » vs notation « vecteur »

28 28 Une remontée de la géométrie analytique à lalgèbre linéaire « Vecteur : Elément dun espace vectoriel […] (Exemples: polynôme, matrice carrée, fonction de classe C1 sur R, progression arithmétique, éléments de R 2 ou de R 3 appelés vecteurs géométriques). […] Pendant longtemps, on appela vecteurs liés des couples de points de R 2 (ou des triplets de R 3 ) et vecteurs libres leurs classes modulo léquipollence. Aujourdhui la terminologie sest précisée; les vecteurs liés (qui ne sont pas des vecteurs !) sont désormais appelés bipoints, le mot vecteur étant réservé aux vecteurs libres » (Bouvier et al., Dictionnaire des mathématiques, PUF, 7 e édition de 2005)

29 29 Une remontée de la géométrie analytique à lalgèbre linéaire Expressions ambiguës ou sujettes à glissement mental dans lapprentissage : vecteurs liés, vecteurs égaux, vecteurs consécutifs, vecteurs parallèles, … Expressions ambiguës ou sujettes à glissement mental dans lapprentissage : vecteurs liés, vecteurs égaux, vecteurs consécutifs, vecteurs parallèles, … Doù la nécessité de ménager un apprentissage qui permette de voir des triplets de points de manières multiples (coordonnées, variations de position, vecteur directeur, …) Doù la nécessité de ménager un apprentissage qui permette de voir des triplets de points de manières multiples (coordonnées, variations de position, vecteur directeur, …)

30 30 Une remontée de la géométrie analytique à lalgèbre linéaire Efficacité de la notation « bipoint » grâce au concept de barycentre qui permet de situer un point par rapport à dautres sans devoir privilégier une origine

31 31 Une remontée de la géométrie analytique à lalgèbre linéaire Ici, les écritures vectorielles sont censées modéliser les écritures paramétriques ou cartésiennes Ici, les écritures vectorielles sont censées modéliser les écritures paramétriques ou cartésiennes Dans la transposition didactique standard, le passage du vectoriel au paramétrique et au cartésien nest pas vraiment justifié dans lenseignement secondaire. Il manque une pièce du montage déductif : Tout espace vectoriel E de dimension finie sur un champ K est isomorphe à lespace K n des coordonnées (par rapport à une base donnée de E) Dans la transposition didactique standard, le passage du vectoriel au paramétrique et au cartésien nest pas vraiment justifié dans lenseignement secondaire. Il manque une pièce du montage déductif : Tout espace vectoriel E de dimension finie sur un champ K est isomorphe à lespace K n des coordonnées (par rapport à une base donnée de E) On observe une praxéologie « à trous » (Rouy) : on laisse tomber les maillons du schéma déductif qui semblent trop difficiles pour les élèves On observe une praxéologie « à trous » (Rouy) : on laisse tomber les maillons du schéma déductif qui semblent trop difficiles pour les élèves

32 32 Praxéologie « modélisation » vs praxéologie « déduction » Dans une praxéologie « modélisation », les tâches majeures consistent à déterminer des grandeurs, mouvements, objets géométriques, … sur base dintuitions premières et avec les techniques les plus commodes. Ces techniques servent, en fin de parcours, à définir les objets modélisés Dans une praxéologie « modélisation », les tâches majeures consistent à déterminer des grandeurs, mouvements, objets géométriques, … sur base dintuitions premières et avec les techniques les plus commodes. Ces techniques servent, en fin de parcours, à définir les objets modélisés Dans une praxéologie « déduction », ces mêmes définitions servent, avec des axiomes bien « choisis », de point de départ à un développement déductif Dans une praxéologie « déduction », ces mêmes définitions servent, avec des axiomes bien « choisis », de point de départ à un développement déductif Les praxéologies « modélisation » relève dun premier niveau de rationalité mathématique encore peu identifié (Rouy) Les praxéologies « modélisation » relève dun premier niveau de rationalité mathématique encore peu identifié (Rouy)


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