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Inéquations du second degré à une inconnue Remarque:Tu devrais visionner les présentations: - Inéquations du premier degré à une variable.ppt; - Zéros.

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1 Inéquations du second degré à une inconnue Remarque:Tu devrais visionner les présentations: - Inéquations du premier degré à une variable.ppt; - Zéros de fonction ( fonction quadratique ).ppt; - Résoudre une équation du second degré.ppt; avant de visionner cette présentation.

2 Une inéquation du second degré à une inconnue est une inéquation se ramenant à lune ou lautre des formes suivantes: Forme générale : Forme canonique : où a R * et b, c R. ax 2 + bx + c < 0a ( x – h ) 2 + k < 0 ax 2 + bx + c > 0a ( x – h ) 2 + k > 0 ax 2 + bx + c 0a ( x – h ) 2 + k 0 ax 2 + bx + c 0a ( x – h ) 2 + k 0 où a R * et h, k R. Résoudre une inéquation du second degré à une inconnue consiste à trouver toutes les valeurs de x qui transforment linéquation en une inégalité vraie; il sagit donc de déterminer lensemble-solution de linéquation.

3 Exemple 1 :Détermine lensemble-solution de linéquation suivante: ( x - 1 ) 2 - 4 0 1 1 23 -2-3 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Il faut dabord tracer la courbe de léquation associée à cette inéquation. On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à linéquation sont comprises dans lintervalle de [ -1, 3 ]. En effet, entre -1 et 3, les valeurs de y sont toutes 0 cest-à-dire négatives. Une esquisse est suffisante en déterminant seulement trois points : - les zéros de fonction : -1, 3 - le sommet de la parabole : ( 1, - 4 ) E-S : [ -1, 3 ]

4 Exemple 2 :Détermine lensemble-solution de linéquation suivante: ( x - 1 ) 2 - 4 0 1 1 23 -2-3 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à linéquation sont comprises dans lintervalle de : En effet, pour ces deux intervalles, les valeurs de y sont toutes 0 cest-à-dire positives. -, -1 ] [ 3, + -, -1 ] [ 3, + E-S :

5 Exemple 3 :Détermine lensemble-solution de linéquation suivante: - ( x - 1 ) 2 + 4 0 1 1 23 -2-3 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Il faut dabord tracer la courbe de léquation associée à cette inéquation. On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à linéquation sont comprises dans lintervalle de [ -1, 3 ]. En effet, entre -1 et 3, les valeurs de y sont toutes 0 cest-à-dire positives. Une esquisse est suffisante en déterminant seulement trois points: - les zéros de fonction : -1, 3 - le sommet de la parabole : ( 1, 4 ) E-S : [ -1, 3 ]

6 Exemple 4 :Détermine lensemble-solution de linéquation suivante: - ( x - 1 ) 2 + 4 0 1 1 23 -2-3 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à linéquation sont comprises dans lintervalle de : En effet, pour ces deux intervalles, les valeurs de y sont toutes 0 cest-à-dire négatives. -, -1 ] [ 3, + -, -1 ] [ 3, + E-S :

7 On peut représenter les ensembles-solutions en utilisant laxe des x : 1 1 23 -2-3 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 ( x - 1 ) 2 - 4 0 - 1 3 ( x - 1 ) 2 - 4 0 - 1 3 3 3 ( x - 1 ) 2 + 4 0 - - ++ - -- +

8 Avec la forme générale : Détermine lensemble-solution de linéquation suivante:x 2 - 2x – 8 < 0 123 -2-3 4 3 2 1 -2 -3 -4 4 1) Déterminer les zéros: -2, 4 2) Sommet: E-S : ] -2, 4 [ Remarque: Ici, les crochets sont ouverts puisque linéquation comporte le signe <. ( 1, - 3 )

9 Détermine lensemble-solution de linéquation suivante : - x 2 - 2x - 3 Attention:Pour trouver lensemble-solution dune inéquation du second degré à une inconnue, il faut préalablement transformer linéquation en une inéquation équivalente de sorte quun des membres soit 0. 1) - x 2 - 2x - 3 - x 2 - 2x + 3 0 1) Déterminer les zéros: - 3, 1 2) Sommet:( - 1, 4 ) 1 1 23 -2-3 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 E-S : [ -3, 1 ]

10 Problème :Le dessin, ci-contre, représente un projectile lancé du haut dun rocher en fonction du temps. La trajectoire du projectile peut être décrite selon léquation : y = - ( x - 3 ) 2 + 16 À quel moment le projectile est-il à au moins 12 m de hauteur ? - ( x - 3 ) 2 + 16 12 Temps (sec) Hauteur (m) 1234567 2 4 6 8 10 12 14 16 Selon le graphique, le projectile est à au moins 12 m de hauteur entre 1 et 5 secondes. En se servant de linéquation: Trajectoire dun projectile

11 - ( x - 3 ) 2 + 16 12 - ( x - 3 ) 2 + 4 0 1234567 2 4 6 8 10 12 14 16 2) Déterminer les zéros de léquation associée à cette inéquation : 1, 5 3) Déterminer le sommet :( 3, 4 ) 4) Esquisser la courbe. E-S : [ 1, 5 ] Le projectile sera à au moins 12 m de haut entre 1 et 5 secondes. Attention:Ceci est un procédé équivalent qui donnera les mêmes valeurs de x que la situation de départ. 1) Ramener linéquation à zéro: 5) Déterminer lensemble-solution :

12 Validation :- ( x - 3 ) 2 + 16 12 E-S : [ 1, 5 ] pour x = 1 - ( 1 - 3 ) 2 + 16 12 pour x = 3 - ( 3 - 3 ) 2 + 16 12 pour x = 4 - ( 4 - 3 ) 2 + 16 12 pour x = 5 - ( 5 - 3 ) 2 + 16 12 pour x = 6 - ( 6 - 3 ) 2 + 16 12 - 4 + 16 12 0 + 16 12 - 1 + 16 12 - 4 + 16 12 - 9 + 16 12 vrai faux

13 Pour résoudre une inéquation du second degré par la méthode graphique: 2) Déterminer les zéros de léquation associée à cette inéquation. 3) Déterminer le sommet. 4) Esquisser la courbe. 1) Ramener linéquation à zéro. 5) Déterminer lensemble-solution selon le signe de linéquation.


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