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PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027. Interpolation de fonctions u Introduction u Méthode de Gregory-Newton u Méthode de Lagrange u Travail pratique.

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1 PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027

2 Interpolation de fonctions u Introduction u Méthode de Gregory-Newton u Méthode de Lagrange u Travail pratique 3 a) –Affichage de 2 courbes avec xgraph

3 Introduction u Dans plusieurs problèmes nous avons en main un ensemble de mesures discrètes u Nous voulons souvent connaître le comportement du phénomène mesuré entre chaque mesure discrète u Nous devons alors interpoler les intervalles de valeurs entre chaque mesure discrète à laide de fonctions de degré quelconque

4 Introduction u Si nous avons un polynôme dinterpolation f(x) de degré n: u Les coefficients du polynôme sont déduits à partir des points de contrôle (mesures)

5 Introduction u Interpolation linéaire u Deux points de contrôle (mesures) sont nécessaires pour déduire les coefficients inconnus

6 Introduction u Interpolation linéaire

7 Introduction u Interpolation linéaire –Par la loi des triangles semblables nous savons: – Si f(x) est mis en évidence: PENTE DÉVIATION PAR RAPPORT à x i

8 Introduction u Interpolation linéaire –Ce type dinterpolation peut causer des erreurs importantes lorsque le polynôme réel est dordre supérieur au polynôme dinterpolation (Voir lintervalle [2,3]) –Pour améliorer la précision de linterpolation nous devons utiliser des polynômes de degrés supérieurs

9 Introduction u Interpolation non linéaire –Prenons par exemple un polynôme de degré 2 – Nous devons alors utiliser 3 points de contrôle pour dé- duire les valeurs des coefficients – Si nous généralisons cette approche, nous pouvons alors utiliser un polynôme dinterpolation de degré n avec n+1 coefficients et qui requière n+1 points de con- trôle pour déduire les valeurs des coefficients

10 Méthode de Gregory-Newton u Cette méthode permet de déduire un polynôme dinterpolation de degré n sans avoir à résoudre un système déquations linéaires u Le polynôme déduit par cette méthode est de la forme u Les n valeurs de x i et f(x i ) sont connues, les n+1 valeurs des coefficients a i sont inconnues et doivent être déduites

11 Méthode de Gregory-Newton u Si les valeurs de x sont en ordre croissant nous pouvons alors déduire les coefficients a i par u Nous répétons ces calculs pour les n+1 coefficients a i.

12 Méthode de Gregory-Newton u Le polynôme de Gregory-Newton sous sa forme généralisée

13 Méthode de Gregory-Newton u Le polynôme de Gregory-Newton sous sa forme généralisée (calcul des coefficients a i )

14 Méthode de Gregory-Newton u Le polynôme de Gregory-Newton sous sa forme généralisée

15 Méthode de Gregory-Newton u Le polynôme de Gregory-Newton sous sa forme généralisée (forme récursive)

16 Méthode de Lagrange u Lorsque les intervalles en x sont inégaux il faut utiliser une autre forme de polynôme dinterpola- tion u Le polynôme de Lagrange de degré n-1 est utilisée dans ces circonstances. Sa forme générale est donnée par

17 Méthode de Lagrange u Les fonctions cardinales l i (x) sont données par

18 Méthode de Lagrange u Les fonctions cardinales l i (x) sont données par (n = 3)

19 Méthode de Lagrange u Les fonctions cardinales l i (x 1 ) sont données par (n = 3)

20 Méthode de Lagrange u Les fonctions cardinales l i (x 1 ) sont données par (n = 3)

21 Méthode de Lagrange u Algorithme Lire les x i Lire les y i Pour m valeurs de x dans lintervalle [minx, maxx] FAIRE Calculer Écrire x et f(x) dans un fichier FIN POUR

22 Travail pratique 3 a) u Recherche du chemin interpolant un ensemble de points (exemple du taxi)


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