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2010-2011Traitement Numérique du Signal1 Université Paris 13 Traitement Numérique du Signal Master 1 1.Exemple de filtres analogiques issus de la propagation.

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1 2010-2011Traitement Numérique du Signal1 Université Paris 13 Traitement Numérique du Signal Master 1 1.Exemple de filtres analogiques issus de la propagation 2.Comportement fréquentiel des filtres et classification 3.Stroboscope 4.Repliement de spectre 5.Critère de Shannon-Nyquist 6.Reconstruction du signal après échantillonnage 7.Sous-échantillonnage 8.Sur-échantillonnage

2 2010-2011Traitement Numérique du Signal2 1/ Une onde sur un ressort signal à temps continu : t |-> l(t) t=t 0 t=t 1 t=t 2 l(t 0 ) l(t 1 ) l(t 2 )

3 2010-2011Traitement Numérique du Signal3 Onde sonore p v r c= f c=343m.s^-1 2cm->30m 10Hz->20kHz p = p-p 0 = 1.41 P eff(r) cos(2 ft-r/ v = 1.41 V eff(r) sin(2 ft-r/ Signal à temps continu périodique Signal en r 2 en retard par rapport à signal en r 1 Puissance dun signal I = p v Sound Wave Bruit très fort (90dB) 1.5mm.s-1, 0.5Pa(0.05mm)

4 2010-2011Traitement Numérique du Signal4 Echos p(r,t)=1.41 P eff /r cos(2 ft-r/ )) Lintensité sonore et la puissance varient en r^-2 s O (t)=P eff /r1 cos(2 f(t-r1/c))+P eff /(r2+r3) cos(2 f(t-(r2+r3)/c)) s O (t) = a s(t-t a )+ b s(t-t b ) r1 r2 r3 observateur Linéarité Filtre analogique Entrée Sortie En pratique : déphasage ? 1/r : dispersion plutôt quabsorption. réfraction

5 2010-2011Traitement Numérique du Signal5 Effet Larsen Audio-Feedback

6 2010-2011Traitement Numérique du Signal6 Instabilité (microphone proche des haut-parleurs)

7 2010-2011Traitement Numérique du Signal7 Instabilité moindre (microphones plus loin des haut-parleurs)

8 2010-2011Traitement Numérique du Signal8 2/ Filtre analogique Passe-bas Passe-haut Passe-bande Coupe-bande Passe-tout fc Fréquence de coupure f Réponse fréquentielle Domaine temporel => Domaine fréquentiel TF

9 2010-2011Traitement Numérique du Signal9 Filtre numérique Passe-bas Passe-haut Passe-bande Coupe-bande Passe-tout fc Fréquence de coupure f Réponse fréquentielle périodique TFTD Domaine temporel => Domaine fréquentiel -fe/2 fe/2

10 2010-2011Traitement Numérique du Signal10 3/ Exemple du stroboscope (vitesse lente)

11 2010-2011Traitement Numérique du Signal11 Exemple du stroboscope (vitesse rapide)

12 2010-2011Traitement Numérique du Signal12

13 2010-2011Traitement Numérique du Signal13 module 4/ Repliement de spectre Signaux non-périodiques Signaux périodiques échantillonnage repliement de spectre t t f f phase N=T/T e

14 2010-2011Traitement Numérique du Signal14 Repliement de spectre Repliement : Elle rend compatible : En effet (changement de variable f=f-lfe) :

15 2010-2011Traitement Numérique du Signal15 Transformée de Fourier de signaux échantillonnés échantillonnage, troncature puis périodisation signal en tempsmodule du spectre échantillonnage troncature périodisation TF TFTD repliement de spectre oscillations TFTD raies TFTD TFD déphasage *f e discontinuité sinc

16 2010-2011Traitement Numérique du Signal16 Transformée de Fourier de signaux échantillonnés échantillonnage, troncature puis périodisation signal en tempsmodule du spectre échantillonnage troncature périodisation TF TFTD repliement de spectre oscillations TFTD raies TFTD TFD déphasage *f e discontinuité

17 2010-2011Traitement Numérique du Signal17 Transformée de Fourier de signaux échantillonnés troncature, périodisation puis échantillonnage signal en tempsmodule du spectre troncature périodisation échantillonnage TF oscillation raies TF Coéf Série de Fourier repliement de spectre TFD discontinuité déphasage sinc

18 2010-2011Traitement Numérique du Signal18 Transformée de Fourier de signaux échantillonnés troncature, périodisation puis échantillonnage signal en tempsmodule du spectre troncature périodisation échantil- lonnage TF oscillation raies TF Coéf Série de Fourier repliement de spectre TFD *1/T *T e

19 2010-2011Traitement Numérique du Signal19 5/ Critère de Shannon-Nyquist fmax -fmax f |X(f)| ^ Formulation 1 Formulation 2 Le signal est réel aussi le module du spectre est paire.

20 2010-2011Traitement Numérique du Signal20 6/ Reconstruction –Pour reconstruire, on nutilise que la bande fondamentale Produit de la réponse en fréquence par la fonction porte (largeur f e, amplitude 1/f e, centrée en f = 0) : TF (domaine temporel) Sinc(f e t) On obtient le produit de convolution de la fonction par Sinc(f e t) ^^

21 2010-2011Traitement Numérique du Signal21 Reconstruction Pour un signal constant x n = 1 pour n>=0 et x n =0 sinon.

22 2010-2011Traitement Numérique du Signal22 Echantillonnage et interpolation Signal en temps Spectre Échantil- lonnage Repliement de spectre interpolation Nyquist

23 2010-2011Traitement Numérique du Signal23 7/ Sous-échantillonnage Sous-échantillonnage Nyquist filtrage

24 2010-2011Traitement Numérique du Signal24 8/ Suréchantillonnage suréchantillonnage si filtrage


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