Les fonctions en économie et en mathématiques Jacques BAIR (CDS, 9 décembre 2011)

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1 Les fonctions en économie et en mathématiques Jacques BAIR (CDS, 9 décembre 2011)

2 Sommaire (Historique) (Dans lenseignement) Décalage interdisciplinaire potentiel (Fonctions mathématiques exploitées en économie) Conclusion

3 Historique

4 Deux points de vue En mathématiques - Concept très ancien - Fort lente maturation - cfr B-H, sur Orbi En économie - Assez récent : Cournot (1801-1877) - cfr B-H sur BibNum

5 Dans lenseignement : généralités

6 Variété des notations

7 « Pluridimensionnalité conceptuelle » Plusieurs facettes : - verbale - numérique (tables) - graphique - analytique - (ensembliste)

8 « Procept » (Tall, Sfard, …) Exemple simple : SymboleProcessusConcept x2x2 calcul du carré dun nombre - f(x) = x 2 idemfct = une loi y= x 2 dessiner une parabole fct = équation

9 Décalage interdisciplinaire potentiel

10 Le procept Souvent = outil Construction (souvent) inductive Pas de mention explicite de la loi ex.: C = C(q) Grandeurs endogène et exogène (p, q, …) Grandeur parfois ordinale Souvent = objet Approche (souvent) hypothético-déductive Mention explicite de la loi f Variables (in)dépendantes (x, y, …) Grandeur cardinale

11 Compétences Habiletés calculatoires faibles Savoir calculer et interpréter : - taux dévolution (nbre décim., fraction, %) - propension - élasticité Habiletés calculatoires importantes Savoir exploiter : - taux de variation

12 Compétences (suite) Traitement de cas typiques Procédé de résolution familier Liens avec la réalité économique Explorer des cas exceptionnels, contre- exemples Situation de résolution de problème La situation problématique est admise

13 La représentation graphique Représentation graphique = un départ Choix des axes variable Importance des unités sur les axes (inclinaison vs pente) Axes orthogonaux Segments verticaux Construction par points Parfois, plusieurs courbes Représentation graphique = un but Choix des axes imposé Peu dimportance des unités sur les axes Axes pouvant être qcqs Pas de sgmts verticaux Construction daprès des propriétés Généralement, 1 seule courbe par graphique

14 Graphe dans le 1 er quadrant Intensité de la pente (et élasticité) Rendement Représentation typique: une droite Graphe complet Signe de la pente Concavite / convexité Représentation typique: une courbe

15 Analyse infinitésimale Souvent variations discrètes (ou entières) Infini actuel Notations dC/dq (ou D ou « del » ou « delta ») Variation marginale : C(q+1) – C(q) ou C(q) ou C(q)-C(q-1) Importance de lélasticité (sans dérivée) Différentielle = nombre très petit Variations généralement continue Infini potentiel Notation : f(x) Variation : Peu dintérêt pour lélasticité (avec dérivée) Différentielle = fct linéaire

16 Fonctions usuelles Fonctions linéaires Importance des FAPM Fonctions carré, cube, puissances quelc., … Définition du logarithme (expo.) Définition de lexponentielle (continuité) Fonctions affines Peu dintérêt pour les FAPM Fonctions polynômes (degré quelconque) Définition du logarithme (primitive) Définition de lexponentielle (logarithme)

17 Types de raisonnement Souvent « littéraire » Exemple : Si le coût moyen est minimal, alors il est égal au coût marginal Souvent « formel » Démonstration mathématique (avec hypothèses)

18 Situations particulières Quasi-concavité Importance des fonctions implicites Courbes enveloppes Extrema liés Equations récurrentes Concavité Fonctions surtout explicites Rarement courbes enveloppes Extrema libres Equations différentielles

19 Fonctions mathématiques exploitées en économie

20 Exemples simples (cfr SBPMef) Lois doffre et de demande Coûts (fixes, variables, moyens, marginaux, taxes, …) Revenu (net, brut, …) Fonction dutilité, courbe dindifférence Fonction de production, isoquante Evolution dynamique dune grandeur …

21 Conclusion

22 Plaidoyer pour un enseignement interdisciplinaire Les différents points de vue peuvent être utilisés pour faciliter lacquisition des concepts dans chacune des deux disciplines Une interdisciplinarité peut mettre en pratique le jeu de contextualisation-décontextualisation Permet une réflexion formatrice sur le processus de modélisation Pour les mathématiques, montre lutilité de la discipline, tout en renouvelant lenseignement Pour léconomie, peut apporter plus de rigueur, une motivation pour les études abstraites …

23 Citation (Cf. Bonneval, Repères-IREM, 1999) Les enseignants qui acceptent de sy engager y trouvent leur compte : en décloisonnant le savoir, léchange permet un enrichissement mutuel et un nouveau regard sur sa propre discipline

24 Merci pour votre attention