La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La fonction quadratique Les zéros de fonction ou Les abscisses à lorigine.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "La fonction quadratique Les zéros de fonction ou Les abscisses à lorigine."— Transcription de la présentation:

1 La fonction quadratique Les zéros de fonction ou Les abscisses à lorigine

2 Les zéros de fonction sont les valeurs de x quand f(x) = 0. Graphiquement Algébriquement f(x) = a ( x – h ) 2 + k 0 = a ( x – h ) 2 + k f(x) = ax 2 + bx + c 0 = ax 2 + bx + c Ce sont les abscisses à lorigine. On les appelle également:- les valeurs de x qui annulent le polynôme. - les racines ou les solutions de la fonction. si alors si alors

3 Pour déterminer algébriquement les zéros de fonction, il existe plusieurs procédés. En forme canonique: + - h - k a En forme générale: Procédé 1: Isoler x. Procédé 2: Utiliser les formules des zéros. Procédé 1:Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul. Procédé 2:Utiliser les formules des zéros. 2a b 2 – 4ac b

4 Avec la forme canonique: Procédé 1: f(x) = 1 ( x - 1 ) = 1 ( x - 1 ) = ( x - 1 ) = ( x - 1 ) + 2 = x - 1 si alors = x - 2 = x - 1si alors = x x 1 = - 1 x 2 = 3 0 = ( x - 1 ) = ( ) = ( ) Vérifions: Un nombre possède 2 racines. x 1 = - 1 x 2 = 3 Isoler x vrai donc -1 et 3 sont bien les deux valeurs de x qui annulent le polynôme.

5 f(x) = a ( x - h ) 2 + k 0 = a ( x - h ) 2 + k - k = a ( x - h ) 2 Procédé 2: + - h - k a Démonstration Utilisons la forme théorique. - k = a ( x - h ) 2 a a - k a = ( x – h ) 2 x 1 = - k a h - x 2 = - k a h + Utiliser les formules des zéros: - k = ( x - h ) 2 a - k a = ( x – h )+ - - k a = x – h k a = x h + - Avec la forme canonique:

6 Ainsi, dans la fonction :f(x) = 1 ( x - 1 ) a = 1 h = 1 k = k a = x h = x x 1 = 1 – 2 = - 1x 2 = = 3 x 1 = - 1 x 2 = 3

7 Remarque:dans la formule - k a = x h k a est appelé le DISCRIMINANT. Il nous renseigne sur lexistence des zéros. Si - k a > 0 Si - k a = 0 Si - k a < 0, les zéros sont réels et distincts: x 1 = - k a h - x 2 = - k a h + x 1 = h – 0 x 2 = h + 0 Zéro double Les zéros ne sont pas des nombres réels.

8 Exemple 1:f(x) = 2 ( x + 3 ) x 1 = - 5 a = 2 h = - 3 k = k a = = 4donc deux zéros réels distincts x 1 = x 2 = x 1 = - 3 – 2 = - 5x 2 = = - 1 x 2 = - 1Deux solutions:

9 Exemple 2:f(x) = 3 ( x - 6 ) 2 x = 6 a = 3 h = 6 k = 0 - k a = 0 3 = 0donc un zéro double x 1 = x 2 =6 + 0 La parabole touche laxe des x par son sommet. Exemple 3:f(x) = 2 ( x + 6 ) a = 2 h = - 6 k = 2 - k a = = - 1 aucun zéro réel car- 1 On ne peut pas extraire la racine carrée dun nombre négatif. Aucune solution Une solution:

10 Avec la forme générale: Procédé 1 : Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul. Exemple: f(x) = 2x 2 + 3x = 2x 2 + 3x = ( 2x + 1 ) ( x + 1 ) Étape 1 : Factoriser le polynôme: Étape 2 : Utiliser la loi du produit nul. Que signifie la loi du produit nul ?

11 La loi du produit nul 0 = ( 2x + 1 ) ( x + 1 ) Pour obtenir : on a 2 possibilités: 0 0 =0( x + 1 )soitX 0 =0soit( 2x + 1 )X X Dans les deux cas, la multiplication par 0 de lun des deux binômes, nous donnera f(x) = 0. Cest la loi du produit nul.

12 2x + 1 = x = x + 1 = x 1 = -1 On pose alors les conditions suivantes: si ( x + 1 ) = 0 si ( 2x + 1) = 0 f(x) = 2x 2 + 3x + 1Vérifions: 0 = 2 X (-1) X = 2 X (- 0,5 ) X - 0,5 + 1 x 1 = - 1 x 2 = - 0,5 vrai donc - 0,5 et -1 sont bien les deux valeurs de x qui annulent le polynôme. x 2 = ou - 0,5

13 Avec la forme générale: Procédé 2 :Utiliser les formules des zéros: - b - + b 2 – 4ac 2a Démonstration En utilisant les formules des zéros de la forme canonique : - k a h + - en association avec les coordonnées du sommet de la parabole, en forme générale: - b 2a 4a 4ac – b 2 S, on obtient les formules des zéros en forme générale.

14 - k a h + - On sait que : - b 2a h = et que 4a 4ac – b 2 k = alors remplaçons : 4a 4ac – b 2 - b 2a a 4a 4ac – b a ÷ - b 2a 4a 4ac – b a X 1 - b 2a 4a 2 4ac – b b 2a 4a 2 4ac + b b 2a 4a 2 b 2 – 4ac b 2a 4a 2 b 2 – 4ac b 2a b 2 – 4ac b 2a b 2 – 4ac b x 1 = 2a b 2 – 4ac - b - x 2 = 2a b 2 – 4ac - b +

15 Exemple :f(x) = 2x 2 + 3x + 1 a = 2 b = 3 c = 1 2a b 2 – 4ac b 2 X – 4 X 2 X – x 1 = = = x 2 = = = x 1 = - 1 x 2 = - 1 2

16 Remarque:dans la formule est le DISCRIMINANT.Il nous renseigne sur lexistence des zéros. Si < 0, les zéros sont réels et distincts: x 1 = - b - 0 x 2 = - b + 0 Zéro double Les zéros ne sont pas des nombres réels. b 2 – 4ac Si > 0b 2 – 4ac 2a b 2 – 4ac b x 1 =x 2 = 2a b 2 – 4ac - b - 2a b 2 – 4ac - b + Si = 0 b 2 – 4ac


Télécharger ppt "La fonction quadratique Les zéros de fonction ou Les abscisses à lorigine."

Présentations similaires


Annonces Google