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Factorisation de trinômes Remarque:Tu devrais visionner la présentation: Factorisation par double mise en évidence.ppt avant de visionner celle-ci. a x.

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1 Factorisation de trinômes Remarque:Tu devrais visionner la présentation: Factorisation par double mise en évidence.ppt avant de visionner celle-ci. a x 2 + b x + c

2 ? Factoriser un trinôme de la forme a x 2 + b x + c, cest retrouver les facteurs qui lont produit. Exemple: x ( x + 3 ) + 2 ( x + 3 ) x x + 2 x + 6 x x + 6 Termes semblables donc on les regroupe. Ce terme est le regroupement de 2 termes, mais lesquels ? 1 x + 4 x ? 7 x – 2 x ? 3 x + 2 x ? Pour retrouver ces 2 termes, il faut une méthode. ( x + 2 ) ( x + 3 ) Développer x x + 6 Factoriser

3 Méthode x x + 6 Appelons le premier terme : T 1 T1T1 Appelons le deuxième terme : T 2 T2T2 Appelons le troisième terme : T 3 T3T3 Pour décomposer le terme du milieu, il faut trouver 2 termes qui respectent, en même temps, les 2 conditions suivantes: - les 2 termes multipliés doivent être égaux à T 1 X T 3 x 2 X 6 =6x26x2 - les 2 termes additionnés doivent être égaux à T 2 5x5x T 1 X T 3 = 6 x 2 T 2 = 5 x 3x3x 2x2x 3x3x 2x2x X 3x3x 2x2x + = 6 x 2 = 5 x les 2 termes sont donc 3 x et 2 x.

4 Lorsque ces 2 termes sont déterminés, on remplace le terme du milieu par ceux-ci; x x + 6 x x + 3 x + 6 on termine par une double mise en évidence. x ( ) x x + 3 x + 6 x x x ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 2 ) + 3 ( )

5 + 2 ( ) Exemple:Factorise x x + 8 T 1 X T 3 = 8 x 2 T 2 = 6 x 4x4x 2x2x x x + 2 x + 8 x ( ) x x x ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x + 4 )

6 + 3 ( ) Exemple:Factorise x x + 15 T 1 X T 3 = 15 x 2 T 2 = 8 x 5x5x 3x3x x x + 3 x + 15 x ( ) x x x ( x + 5 ) ( x + 3 ) ( x + 5 )

7 - 3 ( ) Exemple:Factorise x x - 18 T 1 X T 3 = - 18 x 2 T 2 = 3 x + 6 x -3 x x x - 3 x - 18 x ( ) x x x x + 6 ( x + 6 ) ( x - 3 ) ( x + 6 ) Remarque:Connaître ses tables de multiplication et daddition est, ici, un facteur important.

8 + 2 ( ) Exemple:Factorise x x - 14 T 1 X T 3 = - 14 x 2 T 2 = - 5 x - 7 x + 2 x x x + 2 x - 14 x ( ) x x x ( x - 7 ) ( x + 2 ) Démarche exigée : x x - 14 x x + 2 x ( ) x ( ) x - 7 ( x - 7 ) ( x + 2 )

9 - 4 ( ) Exemple:Factorise x x + 28 T 1 X T 3 = 28 x 2 T 2 = - 11 x - 7 x - 4 x x x - 4 x + 28 x ( ) x - 7 ( x - 4 ) ( x - 7 )

10 + 5 ( ) Exemple:Factorise 6 x x + 5 T 1 X T 3 = 30 x 2 T 2 = 13 x 10 x 3 x 6 x x + 10 x x ( ) 2 x + 1 ( 3 x + 5 ) ( 2 x + 1 )

11 - 5 ( ) Exemple:Factorise 6 x x + 10 T 1 X T 3 = 60 x 2 T 2 = - 17 x - 12 x - 5 x 6 x x - 5 x x ( ) x - 2 ( 6 x - 5 ) ( x - 2 )

12 + 5 ( ) Exemple:Factorise 2x x + 55 T 1 X T 3 = 110 x 2 T 2 = 27 x 22 x 5 x 2 x x + 5 x x ( ) x + 11 ( 2 x + 5 ) ( x + 11 ) Il nest pas toujours facile de déterminer les deux termes. Utiliser la technique des facteurs premiers peut aider : 1) Déterminer les facteurs premiers du terme obtenu par T 1 X T 3 : 2) Faire des regroupements par addition pour obtenir T 2 : Exemple: 110 = 2 X 5 X 11 Exemple: ( 2 X 5 ) + 11 = 21 ( 2 X 11 ) + 5 = = 21 non = 27 oui

13 + 6 ( ) Exemple:Factorise 4 x x - 12 T 1 X T 3 = - 48 x 2 T 2 = - 2 x - 8 x + 6 x 4 x x + 6 x x ( ) x - 2 ( 4 x + 6 ) ( x - 2 ) La simple mise en évidence est toujours la première étape dune factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes. Ce binôme nest pas assez factorisé. 4 x x - 12 ce polynôme contient 3 facteurs : 2 ( 2 x + 3)( x – 2 )

14 La simple mise en évidence est toujours la première étape dune factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes. 4 x x ( 2 x 2 - x – 6) T 1 X T 3 = - 12 x 2 T 2 = - x - 4 x + 3 x + 3 ( ) 2 ( 2 x ( ) x - 2 x – 2 ) ( 2 x + 3 ) ( x - 2 ) 2 2 ( 2 x x + 3 x - 6 )

15 Problème 3 x x + 6 Sachant que le polynôme 3 x x + 6 représente laire de ce rectangle, détermine lexpression algébrique représentant son périmètre. 1) Factoriser le polynôme pour connaître les dimensions du rectangle: + 2 ( ) 3 x x + 6 T 1 X T 3 = 18 x 2 T 2 = 11 x 9x9x 2x2x 3 x x + 2 x x ( ) x + 3 ( x + 3 ) ( 3 x + 2 ) 2 ) Calculer le périmètre:P = 2 ( L + l ) P = 2 ( 3 x x + 3 )= 2 ( 4 x + 5 )= 8 x + 10

16 Pour quelles valeurs de x, le polynôme x 2 – 9 x + 20 est – il égal à zéro ? 1) Factoriser le polynôme: - 4 ( ) x x + 20 = 0 T 1 X T 3 = 20 x 2 T 2 = - 9 x - 5 x - 4 x x x - 4 x + 20 = 0 x ( ) x - 5 ( x - 5 ) ( x - 4 ) 2) Loi du produit nul: ( x - 5 ) ( x - 4 ) = 0 soit x - 4 = 0 donc x = 4 soit x - 5 = 0 donc x = 5 4, 5 Problème = 0

17 Un prisme à base rectangulaire a un volume représenté par lexpression algébrique ( 4 x x x ) cm 3. Quelles expressions algébriques représentent les dimensions de la base si on sait que la hauteur du prisme est représentée par 2 x + 3 ? 1) Déterminer lexpression algébrique représentant la base du prisme: + 57 x Volume = Aire base X hauteur Aire base = volume hauteur 4 x x x x x x x x + 3 2x22x2 4x34x3 + 6 x x x x + 38 x x x Lexpression algébrique représentant laire de la base est ( 2 x x + 35 ) cm 2. Problème

18 + 5 ( ) 2) Factoriser 2 x x + 35 T 1 X T 3 = 70 x 2 T 2 = 19 x 14 x 5 x 2 x x + 5 x x ( ) x + 7 ( 2 x + 5 )( x + 7 ) Les dimensions de la base du prisme sont ( 2 x + 5 ) cm et ( x + 7 ) cm.

19 Problème Pour quelle valeur de x, laire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm 2 ? ( 4x – 2 ) ( 4x + 18 ) 1) Déterminer lexpression algébrique représentant laire du rectangle. Longueur X largeur Aire = ( 4x – 2 )( 4x + 18 ) Aire = 4x ( 4x – 2 ) + 18 ( 4x – 2 )Aire = 16x 2 - 8x + 72x - 36Aire = 16x x - 36 Aire =

20 2) Déterminer léquation: 16x x =3) Ramener léquation à 0: x x = 16x x - 36 Aire = 16x x = ( 4x – 2 ) ( 4x + 18 ) Pour quelle valeur de x, laire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm 2 ?

21 4) Déterminer les valeurs de x par factorisation et par la loi du produit nul. 16x x = 0 = 16 ( x 2 + 4x – 45 ) 0 = 16 ( x + 9 ) ( x - 5 ) 0 = ( x + 9 ) ( x - 5 ) si x + 9 = 0 alors x = - 9 à rejeter; si x – 5 = 0 alors x = 5 Réponse: 5 cm ( 4x – 2 ) ( 4x + 18 ) Pour quelle valeur de x, laire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm 2 ? Le facteur 16 ninfluence pas les valeurs de x, donc en géométrie, on ne peut pas avoir une valeur négative.

22 ( 4x – 2 ) ( 4x + 18 ) Pour quelle valeur de x, laire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm 2 ? Validation 16x x = Pour x = 5 16 X X = = = = Remarque : La factorisation et la loi du produit nul est une des méthodes permettant de résoudre une équation du second degré.


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