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Inéquations du second degré à une inconnue Remarque :Tu devrais visionner les présentations : - Inéquations du premier degré à une variable.ppt; - Zéros.

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1 Inéquations du second degré à une inconnue Remarque :Tu devrais visionner les présentations : - Inéquations du premier degré à une variable.ppt; - Zéros de fonction (fonction quadratique).ppt; - Résoudre une équation du second degré.ppt; avant de visionner cette présentation.

2 Une inéquation du second degré à une inconnue est une inéquation se ramenant à lune ou lautre des formes suivantes : Forme générale : Forme canonique : où a R * et b, c R. ax 2 + bx + c < 0a ( x – h ) 2 + k < 0 ax 2 + bx + c > 0a ( x – h ) 2 + k > 0 ax 2 + bx + c 0a ( x – h ) 2 + k 0 ax 2 + bx + c 0a ( x – h ) 2 + k 0 où a R * et h, k R. Résoudre une inéquation du second degré à une inconnue consiste à trouver toutes les valeurs de x qui transforment linéquation en une inégalité vraie. Il sagit donc de déterminer lensemble-solution de linéquation.

3 Exemple 1 :Détermine lensemble-solution de linéquation suivante. (x - 1) Il faut dabord tracer la courbe de léquation associée à cette inéquation. On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à linéquation sont comprises dans lintervalle [ -1, 3 ]. En effet, entre -1 et 3, les valeurs de y sont toutes 0, cest-à-dire négatives. Une esquisse est suffisante en déterminant seulement trois points : - les zéros de fonction : -1, 3 - le sommet de la parabole : (1, - 4) E-S. : [ -1, 3 ] y x

4 Exemple 2 :Détermine lensemble-solution de linéquation suivante. (x - 1) On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à linéquation sont comprises dans lintervalle : En effet, pour ces deux intervalles, les valeurs de y sont toutes 0, cest-à-dire positives. -, -1 ] [ 3, + -, -1 ] [ 3, + E-S. : y x

5 Exemple 3 :Détermine lensemble-solution de linéquation suivante. - (x - 1) Il faut dabord tracer la courbe de léquation associée à cette inéquation. On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à linéquation sont comprises dans lintervalle [ -1, 3 ]. En effet, entre -1 et 3, les valeurs de y sont toutes 0, cest-à-dire positives. Une esquisse est suffisante en déterminant seulement trois points : - les zéros de fonction : -1, 3 - le sommet de la parabole : (1, 4) E-S. : [ -1, 3 ] y x

6 Exemple 4 :Détermine lensemble-solution de linéquation suivante. - (x - 1) On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à linéquation sont comprises dans lintervalle : En effet, pour ces deux intervalles, les valeurs de y sont toutes 0, cest-à-dire négatives. -, -1 ] [ 3, + -, -1 ] [ 3, + E-S. : y x

7 On peut représenter les ensembles-solutions en utilisant laxe des x : (x - 1) (x - 1) (x - 1) y x

8 Détermine lensemble-solution de linéquation suivante :x 2 - 2x – 8 < 0 1) Déterminer les zéros : -2, 4 2) Sommet : E-S. : ] -2, 4 [ Remarque Ici, les crochets sont ouverts puisque linéquation comporte le signe <. (1, - 3) y x

9 Détermine lensemble-solution de linéquation suivante : - x 2 - 2x - 3 Attention :Pour trouver lensemble-solution dune inéquation du second degré à une inconnue, il faut préalablement transformer linéquation en une inéquation équivalente de sorte quun des membres soit 0. 1) - x 2 - 2x x 2 - 2x ) Déterminer les zéros : - 3, 1 2) Sommet :(-1, 4) E-S. : [ -3, 1 ] y x

10 Problème Le dessin, ci-contre, représente un projectile lancé du haut dun rocher en fonction du temps. La trajectoire du projectile peut être décrite selon léquation : y = - (x - 3) À quel moment, le projectile est-il à au moins 12 m de hauteur ? - (x - 3) Temps (sec) Hauteur (m) Selon le graphique, le projectile est à au moins 12 m de hauteur entre 1 et 5 secondes. En se servant de linéquation : Trajectoire dun projectile

11 - (x - 3) (x - 3) ) Déterminer les zéros de léquation associée à cette inéquation : 1, 5 3) Déterminer le sommet :(3, 4) 4) Esquisser la courbe. E-S. : [ 1, 5 ] Le projectile sera à au moins 12 m de haut entre 1 et 5 secondes. Attention :Ceci est un procédé équivalent qui donnera les mêmes valeurs de x que la situation de départ. 1) Ramener linéquation à zéro : 5) Déterminer lensemble-solution :

12 Validation :- (x - 3) E-S. : [ 1, 5 ] pour x = 1 - (1 - 3) pour x = 3 - (3 - 3) pour x = 4 - (4 - 3) pour x = 5 - (5 - 3) pour x = 6 - (6 - 3) Vrai. Faux.

13 Pour résoudre une inéquation du second degré par la méthode graphique : 2) Déterminer les zéros de léquation associée à cette inéquation. 3) Déterminer le sommet. 4) Esquisser la courbe. 1) Ramener linéquation à zéro. 5) Déterminer lensemble-solution selon le signe de linéquation.


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