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I LA DISTRIBUTIVITE CALCUL LITTERAL k ( a + b )k a + k b = 1° Règle On dit que la multiplication est DISTRIBUTIVE par rapport à laddition.

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1 I LA DISTRIBUTIVITE CALCUL LITTERAL k ( a + b )k a + k b = 1° Règle On dit que la multiplication est DISTRIBUTIVE par rapport à laddition.

2 2° Vocabulaire k x ( a + b ) = a+bk x Développer k x a + k x b = ( a + b )k x Factoriser

3 II EXEMPLES DE DEVELOPPEMENT. 1° Exemple 1 3 ( 5 + x ) =3 x x x =15+3x3x 2° Exemple 2 3x ( x – 4 ) = 3x x x - 3x x 4 = 3x x

4 3° Exemple 3 4x( 3x + 5) + 2( 3x – 7 ) Il faut développer séparément les deux termes de la somme 4x( 3x + 5) + 2( 3x – 7 ) = 4x x 3x+4x x x 3x-2 x 7 = 12x x+6x - 14 = 12x x -14

5 3° Exemple 4 5x( 7x + 4) - 3( 4x – 7 ) Il faut développer séparément les deux termes de la somme 5x( 7x + 4) - 3( 4x – 7 ) = 5x x 7x+5x x 43 x 4x3 x 7 = 35x x12x21 =35x 2 + 8x21 3 x( 7) = 3 x 7

6 A = ( 3x + 4 ) ( 5x + 7 )= 3x × 5x+ 3x × 7+4 × 5x + 4 × 7 = 15x 2 +21x+20x+28 = 15x x +28 B = ( 5x - 3 ) ( 9x + 4 ) 5x × 9x=+5x × 43 × 9x 3 × 4 Attention au signe = 45x x 27x12 = 45x 2 7x7x 12 III PRODUIT DE DEUX SOMMES

7 C = ( 6x + 5) ( 4x -7 )= 6x × 4x 6x × 7+5 × 4x5 × 7 = 24x 2 -42x+20x-5 ×7 =24x x -35 D = ( 7x - 3 ) ( 8x - 5 ) 7x × 8x=7x × 53 × 8x 3 × 5 -3 ×( - 5 ) = 3 × 5 = 56x x 24x15 = 56x x ×(-7) = - 6x × 7 5 ×( - 7 ) = -5 × x - +

8 SOMME de DEVELOPPEMENTS 2x (3x + 5) - ( 3x –2)(5x + 3) = 6x + 10 x – [ 15 x + 9x - 10x - 6 ] Danger, il faut dabord développer dans les crochets = 6x + 10 x- 15 x - 9x + 10x = - 9 x + 11x + 6 2

9 IV PRODUIT REMARQUABLES 1° Carré dune somme: ( a +b ) 2

10 ab a b Calculons laire du grand carré de deux façons 1° façon A = côté x côté= ( a + b ) ( a + b )= ( a + b ) 2 2° façon On fait la somme des aires à lintérieur du grand carré A = a x a + a x b + b x a + b x b a x a a x b b x a b x b = a + ab + ab + b 22 = a + 2 ab + b 2 2 Conclusion ( a + b ) = a + 2 ab + b 222 Double produit

11 Exemples dutilisation Développer ( x + 7 ) 2 ( x + 7 ) 2 = ( a + b ) = a + 2 x a x b + b 222 x 2 +2x7+7 2 = x+ 14 x+49 Développer ( 3x + 5 ) 2 ( a + b ) = a + 2 x a x b + b 222 ( 3x + 5 ) 2 = ( 3x ) + 23x3x5+5 2 Attention, cest 3x qui est au carré, donc ne pas oublier les parenthèses 2 9x9x = x+25 2 Détail

12 2° Carré dune différence ( a – b ) 2 a) Développement (a – b ) =(a – b) ( a – b ) =a x a- a x b- b x a+ b x b =a-ab-ab+b = a -2 ab + b b) On retient ( a + b ) = a - 2 ab + b 2 22

13 Exemples dutilisation Développer ( x - 8 ) 2 ( x - 8 ) 2 = ( a - b ) = a - 2 x a x b + b 222 x 2 -2x8+8 2 = x- 16 x+64 Développer ( 4x - 7 ) 2 ( a - b ) = a - 2 x a x b + b 222 ( 4x - 7 ) 2 = ( 4x ) - 24x4x7+7 2 Attention, cest 4x qui est au carré, donc ne pas oublier les parenthèses 2 16x = x+49 2 Détail

14 2° Différence de deux carrés a – b 22 a) Recherche ( a – b ) ( a + b ) =a x a+ a x b- b x a - b x b =a + ab -ab - b 2 2 = a- b 22 b) On retient ( a – b ) ( a + b ) = ab 22

15 c) Utilisation Développer ( x – 5 ) ( x + 5 ) ( a – b ) ( a + b ) = a - b 22 ( x – 5 ) ( x + 5 ) = x = x - 25 Développer ( 7x + 4 ) ( 7x - 4 ) 22 ( 7x + 4 ) ( 7x - 4 ) = ( 7x ) = 4 9x

16 (3x) 2 = 3x 2 2 = 9x 2 Retour Rappel ( ab) = a x b 222

17 V FACTORISATION Rappel : ka + kb = k ( a + b ) 1° Exemple x =3 x x x= 3 ( 5 + x ) 2° Exemple 2 14x - 21 x = 7x x 2x - 7x x 3 = 7x ( 2x - 3) 2 3° Exemple 3 2x ( 3x -5 ) + 7 ( 3x – 5 ) = (3x -5 ) ( 2x +7)

18 4° Exemple 4 ( 3x -2 )( 6x +7) ( 3x -2 )( 4x - 3 )+=( 3x - 2 ) [ ] (6x + 7)+( 4x - 3 ) = ( 3x -2 ) [ 6x x – 3 ] = ( 3x -2 ) ( 10x + 4 )

19 5° Exemple 5 ( 2x - 5 )( 3x + 4) ( 2x - 5 )( 4x - 3 )-=( 2x - 5 ) [ ] (3x + 4)-( 4x - 3 ) = ( 2x - 5 ) [ 3x x + 3 ] = ( 2x - 5 ) ( 7 - x ) Penser à changer les signes

20 VI FACTORISER avec les égalités remarquables 1° Avec (a + b) et (a - b) 2 On cherche à factoriser x + 10 x il n y a pas de facteur commun rappel a + 2 a b + b=( a + b ) 22 2 x + 10 x + 25 = x+2 x x x = ( x + 5 ) 2 Remarque : Si l on doit factoriser x + 15x Il y a bien deux carrés x et 5 Mais le double produit 2 x x x 5 ne convient pas car il faut 10x et là il y a 15x Donc en troisième vous ne pouvez pas factoriser cette expression. 22 2

21 Factoriser 9x - 30 x = ( 3x )- 2 x 3x x x - 30 x = ( 3x – 5 ) 2° Factoriser avec a – b 22 a) Exemple 1 x – 25=x =( x – 5 ) ( x + 5 ) b) Exemple 2 9x - 49=( 3x )-7 2 = ( 3x + 7 ) ( 3x – 7 )

22 3° Exemple 3 ( 3x + 5) = ( 3x + 5 ) = [ ( 3x + 5 ) - 9] [ ( 3x + 5 ) + 9] = [ 3x – 4 ][ 3x + 14 ] 4° Exemple 4 (5x + 3 ) – ( 2x - 5 ) 2 [ (5x + 3 ) – ( 2x - 5 ) ][ (5x + 3 ) + ( 2x - 5 ) ]= = [ 5x x + 5 ] [ 5x x - 5 ] = [ 3x + 8 ][ 7x – 2 ] a - b = [ a - b ][ a + b ] 22

23 5° Exemple 5 Soit A = 9x + 24 x ( 3x + 4) ( 2x – 5 ) 2 a) On factorise 9x + 24 x x + 24 x = ( 3x + 4 ) 2 b) On factorise A A = 9x + 24 x ( 3x + 4) ( 2x – 5 ) 2 = ( 3x + 4) + ( 3x + 4) ( 2x – 5 ) =( 3x + 4) [ ( 3x + 4) + ( 2x – 5 ) ] = ( 3x + 4 ) ( 5 x – 1 ) 2

24 VII EQUATION PRODUIT ou PRODUIT NUL 1° Rappel sur les équations a) Résoudre 5x - 3 = 12 5x - 3 = On ajoute +3 aux deux membres de léquation 5x = 15 x = x = 3

25 b) Résoudre x + 7 – 7 =- 7 x= x= 2x x 5 = – 34 x 3 On fait le produit en croix 10 x = – 102 x = – x + 7 =

26 c) Résoudre léquation 5( 3x – 2) = 4x -7 5( 3x – 2) = 4x -7 15x – 10 = 4x -7 15x – = 4x x = 4x x - 4x = 4x + 3 – 4x 11x = 3 x = On développe On supprime les termes constants du 1° membre On supprime les en x du 2° membre

27 2° Remarque. a) Si 3x = 0 alors x = 0 b) Si x y = 0 alors x = 0ouy = 0 c) Règle Si un produit est nul alors lun des facteurs au moins est nul

28 3° Résoudre léquation ( 3x + 2 ) ( 5x + 3 ) = 0 ( 3x + 2 ) ( 5x + 3 ) est un produit les facteurs du produit sont ( 3x -2 ) et ( 5x +3 ) Si un produit est nul alors lun des facteurs au moins est nul doncSoit 3x -2 = 0 Soit 5x +3 = 0 3x = 2 x = 5x = - 3 x = Léquation admet deux solutions x = et x =

29 4° Résoudre léquation 16x² - 25 = 0 Cette équation contient un carré x² Pour la résoudre, il faut se ramener à une équation du 1° degré, en FACTORISANT 16x² - 25 = ( 4x ) ² - 5² = ( 4x – 5) ( 4x + 5) Donc il faut résoudre léquation Si un produit est nul alors lun des facteurs au moins est nul ( 4x – 5) ( 4x + 5) = 0 doncSoit 4x – 5 = 0 Soit 4x + 5 = 0 4x = 5 4x = - 5 x = x = Léquation admet deux solutions x = et x =


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