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Filtrage, domaine fréquentiel GIF-4105/7105 Photographie Algorithmique Jean-François Lalonde 09/03/13.

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1 Filtrage, domaine fréquentiel GIF-4105/7105 Photographie Algorithmique Jean-François Lalonde 09/03/13

2 Administration Heures de disponibilité (JF): - Mercredi 15h30-16h30 - Jeudi 11h30-12h30 Date de remise du TP1: 2 février (dimanche 23h55

3 La semaine dernière… Une image est une matrice de nombres Filtrage linéaire – Peut adoucir, accentuer, identifier les arrêtes horizontales/verticales Considérations – Que faire en bordure de limage? – Dimensions du filtre (en fonction de la variance) =

4 Questions de révision 1.Un filtre 3x3 qui retourne un nombre positif si la valeur moyenne des 4-voisins est plus petite que celle du pixel central, et négatif sinon. 2.Un filtre qui calcule le gradient dans la direction horizontale: gradx(y,x) = im(y,x+1)-im(y,x) pour tout x, y

5 Questions de révision Remplir les trous: a) _ = D * B b) A = _ * _ c) F = D * _ d) _ = D * D A B C D E F G HI Filtrage

6 Aujourdhui La transformée de Fourier et le domaine spectral – Autre dimension du filtrage: domaine spectral – Échantillonnage

7 Salvador Dali, Gala Contemplating the Mediterranean Sea, which at 30 meters becomes the portrait of Abraham Lincoln, 1976 Salvador Dali Gala contemplant la mer Méditerranée qui à vingt mètres devient le portrait d'Abraham Lincoln, 1976

8

9

10 Pourquoi le filtre gaussien nous donne une image lisse, mais pas le filtre boîte? GaussienBoîte

11 Pourquoi une image à plus faible résolution est toujours compréhensible? Quelle est linformation perdue? Image:

12 Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) a eu une idée révolutionnaire (1807): Toute fonction peut être écrite comme une somme pondérée de sinus et cosinus de différentes fréquences Vous ny croyez pas? – Lagrange, Laplace, Poisson et autres non plus! – Pas traduit en anglais jusquà 1878! Laplace Lagrange Legendre Slide: Efros

13 Une somme de sinus Notre bloc de base: Rajouter suffisamment de bloc pour obtenir nimporte quel signal f(x)! Combien de degrés de liberté? Qu'est-ce que chacun contrôle? Lequel capture les variations rapides et lentes du signal?

14 La transformée de Fourier Nous voulons comprendre la fréquence de notre signal. Exprimons alors le signal avec au lieu de x: f(x) F( ) Transformée de Fourier capture la magnitude et la phase à chaque fréquence – Magnitude: combien de signal à chaque fréquence – Phase: information spatiale (indirectement) – Comment faire pour représenter ces deux informations? On utilise les nombres complexes Amplitude:Phase: Formule dEuler:

15 Calculer la transformée de Fourier Discrète Fast Fourier Transform Fast Fourier Transform (FFT): NlogN (pour sen souvenir) k=-N/2..N/2 Continue

16 Spectre en fréquences exemple : g(t) = sin(2πf t) + (1/3)sin(2π(3f) t) = + Efros

17 Spectre en fréquences

18 = + =

19 = + =

20 = + =

21 = + =

22 = + =

23 =

24 Exemple: musique

25 Autres signaux xkcd.com

26 Transformée de Fourier dans les images Image Transformée de Fourier

27 On peut composer les images += More:

28

29 Modifications au spectre

30 Filtrage passe-bas et passe-haut

31 Le théorème de la convolution La transformée de Fourier dune convolution de deux fonctions est le produit de leur transformée de Fourier La transformée de Fourier inverse dun produit de deux transformées de Fourier est la convolution des deux transformées de Fourier inverse La convolution dans le domaine spatial est équivalent à la multiplication dans le domaine spectral

32 Théorème de la convolution * f(x,y)f(x,y) h(x,y)h(x,y) g(x,y)g(x,y) |F(s x,s y )| |H(s x,s y )| |G(s x,s y )|

33 Propriétés des transformées de Fourier Linéarité La transformée de Fourier dun signal réel est symmétrique avec lorigine Szeliski (3.4)

34 Filtrage spatial * =

35 Filtrage spectral FFT FFT inverse =

36 DÉMONSTRATION 36

37 Questions Quest-ce qui contient plus dinformation, la phase ou la magnitude? Quarrive-t-il si lon combine la phase dune image et la magnitude dune autre?

38 Pourquoi le filtre gaussien nous donne une image lisse, mais pas le filtre boîte? GaussienBoîte

39 Gaussien

40 Boîte

41 Pourquoi une image à plus faible résolution est toujours compréhensible? Quelle est linformation perdue? Image:

42 Échantillonnage par un facteur 2

43 Bonne idée?

44 1D (sinus): Source: S. Marschner Recouvrement spectral

45 Source: S. Marschner 1D (sinus) Recouvrement spectral

46 Léchantillonnage peut être dangereux! Erreurs typiques: – Roues tournant à lenvers – Jeu déchec disparaissant à distance – Texture des vêtements à la télé Source: D. Forsyth Recouvrement spectral

47 Recouvrement spectral dans les vidéos Slide by Steve Seitz

48 Source: A. Efros Recouvrement spectral en infographie

49 À la télé…. 49

50 Recouvrement spectral

51 La fréquence déchantillonnage dun signal devrait être 2 f max f max = fréquence maximale du signal Cette condition respectée garantit la reconstruction du signal original bon! mauvais vvv Théorème déchantillonnage Nyquist- Shannon

52 Anti-recouvrement (anti-aliasing) Solutions: Augmenter la fréquence déchantillonnage! Réduire les fréquences qui sont plus grandes que la moitié de la fréquence déchantillonnage – Perte dinformation – Mieux que le recouvrement spectral!

53 Algorithme pour re-dimensionner dun facteur 2 1.Étant donnée une image(h, w) 2.Filtre passe-bas im_blur = imfilter(image, fspecial(gaussian, 7, 1)) 3.Échantillonner un pixel sur deux im_small = im_blur(1:2:end, 1:2:end);

54 Recouvrement spectral Forsyth and Ponce 2002

55 Échantillonner sans filtrage 1/4 (2x zoom) 1/8 (4x zoom) 1/2 Slide by Steve Seitz

56 Échantillonner avec filtrage G 1/4G 1/8Gaussian 1/2 Slide by Steve Seitz

57 La direction est donnée par: quel est le lien avec la direction de larête? La force du gradient est la magnitude: Gradient Le gradient dune image: Pointe dans la direction du changement le plus rapide en intensité

58 Bruit Analysons une seule ligne dans limage Affiche lintensité en fonction de la coordonnée x Où est larête? Comment calculer le gradient (la dérivée?)

59 Où est larête? Solution: adoucir! (filtrer!) Chercher maximums:

60 Théorème sur la dérivée de la convolution On sauve une étape:

61 Laplacien dune gaussienne Laplacian of Gaussian operator Où est larête? Où le graphe du bas croise 0

62 Détection darête en 2-D est lopérateur Laplacien: Laplacien dune gaussienne Gaussiennedérivée dune gaussienne


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