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La symétrie. LAVAL SHINZOX ININI b d p q.

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La symétrie. LAVAL SHINZOX ININI andin basnoda a une epouse qui pue.

La symétrie. NON SONOS Définitions Symétrie (symmetry): Du grec (sun) "avec" (metron) "mesure" Même étymologie que "commensurable" Jusqu'au mi-XIX.

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1 La symétrie

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3 LAVAL

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5 SHINZOX

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7 ININI

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11 b d p q

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14 Définitions Symétrie (symmetry): Du grec (sun) "avec" (metron) "mesure" Même étymologie que "commensurable" Jusqu'au mi-XIX e : symétrie "gauche-droite" Transformation, Groupe Évariste Galois 1811, Symétrie : Propriété d'invariance d'un objet sous une transformation de l'espace.

15 Définitions Symétrique : Invariant par au moins deux transformations de l'espace. Asymétrique : Invariant par une transformation de l'espace. Dissymétrique…

16 Transformation Bijection (dune partie) dun ensemble géométrique dans lui-même M f(M)=M Transformation affine : deux points (P,P) et O linéaire f(M) = P + O(PM) P P f : positions O : vecteurs P

17 Transformation affine Translation : O identité Homothétie : O(PM)=k.PM Affinité : Homothétie une direction Isométrie : Conserve les distances Similitude : Conserve les rapports P Conserve droites, plans, parallélisme P P P P P P P P P P

18 Translation Réseaux périodiques infinis

19 Homothétie Objets auto-similaires Fractals infinis

20 Similitude Fractals infinis Spirale logarithmique (r=ae b ) r -> re -b e -b

21 Deux types dopération de symétrie : Symétries de position : f(M) Agissent sur de points. Propriétés microscopiques des cristaux (structure électronique) Symétries dorientation O(PM) Agissent sur des vecteurs (directions) Propriétés macroscopiques des cristaux (fonctions de réponse) Les isométries Isométrie ||O(u)||=||u|| Hélice de pas P (, P /2 ) Translation Rotations Réflexions E ? 60° Rotations Réflexions f(M) = P + O(PM)

22 Symétrie dorientation - 2D Dans le plan (2D) Transformation linéaire || O(u) || = || u || Rotations Symétries orthogonales (réflexions par rapport à une droite) Déterminant +1 Valeurs propres e i, e -i Déterminant -1 Valeurs propres -1, 1

23 Symétrie dorientation - 3D c) Inversion ( ) d) Inversion rotatoire ( ) c) Réflexion (0) Dans lespace (3D) : || O(u) || = | || u || Valeurs propres | = 1 : équation 3 e degré à coefficients réels ±1, e i, e -i (dét. = ± 1) RotationsRéflexions rotatoires dét. = 1 Symétrie directes dét. = -1 Symétrie indirectes a) Rotation dangle b) Réflexion rotatoire

24 O N M P P P P M S N Projection stéréographique Représentation des directions Conservation des angles sur la sphère Direction OM P, projection de OM : Intersection de SM et léquateur Transformation conforme (conserve les angles) mais pas affine

25 Les opérations de symétrie principales Conventionnellement Rotations (A n ) Réflexions (M) Linversion (C) Inversions rotatoires (A n ) Indirectes Réflexions rotatoires (A n ) Réflexion (M) Inversion (C) Inversions rotatoires (A n ) A 2 verticalA 2 horizontal A3A3 A4A4 A5A5. M vertical.. Inversion. M horizontal M de biais.... A4A4. Directes Rotation A n dordre n (2 /n) Représentée par un polygone de même sym. ~ _ _ Élément de symétrie Ensemble des points invariants

26 Composition de symétries Produit de deux réflexions faisant un angle = rotation 2 Produit de deux rotations = rotation MM=A M M AN1AN1 AN2AN2 AN3AN3 /N 1 /N 2 AN2AN1=AN3AN2AN1=AN3 Construction dEuler Ne donne pas de relations entre N 1, N 2 et N 3 Anticommutatif

27 Les groupes ponctuels : définition Lensembles des éléments de symétrie dun objet muni de la loi de composition des symétries possède une structure de groupe G Si A et B à G, AB à G (ensemble est fermé) La loi produit est associative (AB)C=A(BC) Il existe un élément neutre E (rotation d ordre 1) Chaque élément A à un inverse A -1 Pas de commutativité en général (rotation 3D) Exemple groupe de symétrie dune table rectangulaire 2mm MxMx MyMy A2A2 2mm Multiplicité du groupe : nombre déléments

28 Composition de rotations AN1AN1 AN2AN2 AN3AN3 /N 1 /N 2 Triangle sphérique, vérifie linégalité : 22N (N qcq), 233, 234, 235 Groupes diédraux Groupes multiaxiaux 234 Contraintes :

29 Les groupes ponctuels Classés par degré de symétrie Groupes limites de Curie Chiraux, propres Impropres Centrosymétriques m343mm3m /m /m 346=3/m2=m _____ /m6/m2/m 3m4mm6mm2mm 3m42m (4m2) __ _ 62m (6m2) _ _ 4/ mmm 6/ mmm ___ /m 2 m /mm Triclinique Monoclinique Orthorhombique Trigonal Tétragonal Hexagonal Cubique Groupes limites de Curie... A n A n A n A n A 2 A n A n /M A n M A n M A n /MM A n A n _ _ _

30 Les groupes multiaxiaux m3 _ 43m _ m3m _ 53m _ _ Tétraèdre Octaèdre Cube Icosaèdre Dodécaèdre

31 Groupes ponctuels : Notations Schönflies : C n, D n, D nh Hermann-Mauguin (Notations internationales) Donne les éléments générateurs du groupe (pas le mini.) Notion de direction de symétrie Direction dune réflexion ( _ ) : normale au plan de réflexion Direction primaire : de plus haute symétrie Direction secondaire : de degré inférieur Direction tertiaire : de degré inférieur mmm 4 m mm Notation réduite

32 Les 7 groupes limites de Pierre Curie /m /m 2 /m /mm m Cône tournant Cylindre tordu Cylindre tournant Cône Cylindre Sphère tournante Sphère Vecteur axial + polaire Tenseur axial dordre 2 Vecteur axial (H) Vecteur polaire (E, F) Tenseur polaire dordre 2 (susceptibilité) Scalaire axial (chiralité) Scalaire polaire (pression, masse)


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