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Distributions de probabilités discrètes Opération et systèmes de décision Faculté des Sciences de ladministration MQT-21919 Probabilités et statistique.

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1 Distributions de probabilités discrètes Opération et systèmes de décision Faculté des Sciences de ladministration MQT Probabilités et statistique Chapitre 5

2 Varia Lectures obligatoires dans manuel du cours: Chapitre 5 Probabilité en gestion et en économie, Martel et Nadeau, Sections 3.1, 3.2, 5.1, 5.2, et 5.3.2

3 Plan de la séance On poursuit létude des probabilités en introduisant les concepts de variable aléatoire et de distribution (ou loi) de probabilité Distributions de probabilités discrètes –Loi Binomiale –Loi de Poisson –loi Hypergéométrique

4 Notion de variable aléatoire Dans le chapitre précédent, pour étudier une expérience aléatoire, on a construit un modèle mathématique sur la base de trois éléments: –S (ou ): lensemble fondamental des résultats –Une famille dévénements associés à S –Une fonction de probabilité P Cependant, souvent, on ne sintéresse pas aux résultats eux-mêmes mais plutôt à une ou des caractéristiques particulières de ces résultats Une variable aléatoire fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats dune expérience

5 Notion de variable aléatoire Lorsquon lance une pièce de monnaie 3 fois, les résultats ont la forme: (F,P,F), (F,P,P), etc. Ce qui nous intéresse, ce nest pas tellement un triplet particulier mais plutôt une caractéristique de ce triplet –Par exemple le nombre de faces De plus, il arrive souvent que les résultats ne soient pas définis sous forme numérique

6 Notion de variable aléatoire Il est pratiquement impossible deffectuer des opérations mathématiques sur des résultats comme des triplets (P,F,P) Il est donc utile de faire correspondre à chacun des résultats non numériques un résultat de type numérique Ainsi à chaque triplet on fera correspondre, par exemple, le nombre réel défini comme le nombre de faces dans le triplet

7 Exemple Dans lespoir dêtre mieux informé sur des intentions de vote lors de prochaines élections au Québec, on décide deffectuer un sondage éclair. On choisit trois étudiants au hasard dans la classe, et on décide de les interroger sur leurs intentions de vote. On suppose quil y a simplement 2 partis: le parti vert (V) et le parti mauve (M). En assignant à chacun des trois étudiants la lettre V sil se déclare pour le parti Vert et la lettre M sil se déclare pour le parti Mauve, on obtient lensemble fondamental comme suit: = {(M,M,M), (M,V,M), (M,M,V), (V,V,V), (V,M,V),(V,V,M), (M,V,V) (V, M,M)}.

8 Exemple Cependant, on ne sintéresse pas à un résultat particulier, par exemple, si le premier étudiant vote pour le parti Mauve, mais plutôt disons, au nombre détudiants qui voteront pour le parti Mauve. Dans cette perspective, il est utile de définir une variable aléatoire qui permet dassocier à chaque résultat un nombre réel x, ce nombre étant le nombre de Verts dans léchantillon de 3 étudiants. L'ensemble des nombres réels

9 Exemple X: (M,M,M) (M,V,M) (M,M,V) (V,M,M) (V,M,V) (V,V,M) (M,V,V) (V,V,V) Le nombre de votants pour le parti vert

10 Variable aléatoire - Définition Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque résultat dune expérience aléatoire un nombre réel Elle nous fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats dune expérience Elle associe une valeur numérique à chaque résultat possible

11 Notation Une variable alétoire est identifiée par une lettre majuscule: –Soit X le nombre de faces obtenues en lançant 3 pièces de monnaies Les résultats, les valeurs que X peut prendre sont représentés par une lettre minuscule x : –x= 0, 1, 2 ou 3 faces

12 Variable aléatoire discrète Variable aléatoire discrète (V.A.D.) : –Lorsque lensemble des résultats est un ensemble fini ou infini dénombrable –La variable aléatoire discrète peut prendre soit un nombre fini de valeurs, soit un nombre infini dénombrable de valeurs telles 0, 1, 2, 3...

13 Variable aléatoire discrète - Exemples Expérience aléatoire Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre la variable aléatoire X Contacter cinq clients Nombre de clients qui passent une commande 0,1,2,3,4,5 Inspecter une cargaison de 50 radios Nombre de radios défectueuses 0,1,2,…,49,50 Gérer un restaurant pendant une journée Nombre de clients0,1,2,3,…

14 Variable aléatoire continue Variable aléatoire continue (V.A.C.) : –Lorsque lensemble des résultats est un intervalle de nombres réels ou une suite dintervalles. Poids, température, temps, distance, etc.

15 Variable aléatoire continue - Exemples ExpérienceVariable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre la variable aléatoire X Gérer une banqueTemps écoulé entre les arrivées des clients en minutes x0x0 Remplir une canette de soda (max=12,1 onces) Nombre donces0 x 12,1 Travailler sur un projet de construction Pourcentage du projet réalisé après six mois 0 x 100

16 Quel type de variable aléatoire? Représenter les valeurs de la variable aléatoire par des points sur une droite Choisissez deux points représentant des valeurs de la variable aléatoire Si nimporte quel point du segment formé par ces deux points représente aussi une valeur possible, alors cette variable aléatoire est continue

17 Généralités Les notions de variables aléatoires ne nous sont pas totalement inconnues –On les a abordées sous langle des statistiques descriptives pour des échantillons Létude des lois de probabilités permet de caractériser dune manière conceptuelle une population hypothétique et possiblement infinie Le calcul des probabilités est laspect théorique des notions pratiques déjà traitées en statistiques descriptives

18 Généralités Les notions probabilistes sont associées à une population hypothétique (ensemble de tous les résultats possibles dune expérience aléatoire) Les notions statistiques sont associées à un nombre restreint dobservations (échantillon) La loi des grands nombres nous permet détablir un pont entre les notions probabilistes et les notions statistiques –Elle précise que la fréquence relative dun événement tend vers sa probabilité lorsque le nombre de répétitions de lexpérience aléatoire augmente

19 Généralités Notions probabilistes (Concepts théoriques) Notions statistiques (Concepts pratiques) Probabilité dun événement Fréquence relative Variable aléatoireVariable statistique Loi de probabilitéDistribution statistique (empirique) Espérance mathématique dune variable aléatoire Moyenne arithmétique dune variable statistique Variance dune variable aléatoire Variance dune variable statistique s 2

20 Fonction de probabilité ou fonction masse de probabilité dune variable aléatoire discrète (v.a.d.) La distibution de probabilité dune variable aléatoire décrit comment sont distribuées les probabilités des valeurs que peut prendre la v.a. Définir la fonction (distribution, loi) de probabilité dune v.a. discrète cest associer à X, chacune des valeurs possibles de la v.a., la probabilité qui lui correspond Pour une variable aléatoire discrète X, la distribution de probabilité est définie par une fonction de probabilité notée f(x). Celle-ci donne la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x

21 Exemple Soit lexpérience aléatoire consistant à lancer deux dés, on considère la v.a. X = la somme des résultats des deux dés. Construire un tableau de distribution de probabilité Lensemble des réalisations de X est : –x = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Il faut maintenant calculer la fonction de probabilité associée à chacun de ces résultats: f(x)

22 Exemple Tableau de distribution de probabilités (fonction de masse de probabilité): x P(X=x) ou f(x) Pour une variable aléatoire discrète

23 Exemple X: (M,M,M) (M,V,M) (M,M,V) (V,M,M) (V,M,V) (V,V,M) (M,V,V) (V,V,V) Le nombre de votants pour le parti vert f(0)=1/8 f(3)=1/8 f(2)=3/8 f(1)=3/8

24 Représentation graphique

25 Propriétés dune fonction de probabilité f(x) 0 x f(x i ) = 1

26 Exemple Considérons les ventes dautomobiles chez le concessionnaire Automax. Les données de ventes journalières sur une durée de 300 jours sont les suivantes: au cours de 117 jours, une auto a été vendue chaque jour; au cours de 72 jours, 2 autos ont été vendues chaque jour; au cours de 42 jours, 3 autos ont été vendues chaque jour, au cours de 12 jours, 4 autos ont été vendues chaque jour; au cours de 3 jours, 5 autos ont été vendues chaque jour. Lexpérience consiste à sélectionner un jour parmi les 300 jours de lopération.

27 Exemple - suite Définissons une variable aléatoire qui représente le nombre dautos vendues par jour: –Soit X le nombre dautos vendues par jour –X est une variable aléatoire discrète –Les valeurs que X peut prendre sont x= 0,1,2,3,4,5 –f(x) donne la probabilité quon vende x autos un jour donné. –La distribution (fonction) de probabilité de x est: f(0)= 54/300=0,18 ;f(1)= 117/300=0,39 ; f(2)= 42/300=0,24 ;f(3)= 0,14 ;f(4)=0,04 ; f(5)= 0,01;

28 Exemple - suite Lavantage de décrire une variable aléatoire et sa distribution de probabilité est quune fois cette distribution connue, il est relativement facile de déterminer la probabilité doccurrences des différents événements qui peuvent présenter un intérêt La probabilité de vendre au moins 3 automobiles au cours dune journée est: –f(3)+f(4)+f(5)= 0,14+0,04+0,01=0,19

29 Fonction de répartition La fonction de répartition est la somme des probabilités des valeurs x j de X (inférieures à x) jusquà x: –F(x) = P( X x ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) +…+ f(x j ) tel que x 1,..x j, x - Cest la fonction de probabilités cumulées des valeurs de X jusquà x j - Cest aussi la surface sous la courbe f(x) jusquà la valeur x j

30 Exemple somme de 2 dés - suite X P(X=x) f(x) P(X x) F(x)

31 Représentation graphique

32 Propriétés de la fonction de répartition 1.Une fonction de répartition F(x i ) prends ses valeurs dans lintervalle (0, 1) 2.F(- ) = lim F(x) lorsque x tend vers - = 0 3.F(+ ) = lim F(x) lorsque x tends vers + = 1 4.F(x) est non-décroissante, i.e. si x 1

33 Propriétés de la fonction de répartition Pour une variable aléatoire discrète: –P(a < X b) = F(b) – F(a) –P(a < X < b) = F(b - ) – F(a) –P(a X < b) = F(b - ) – F(a - ) –P(a X b) = F(b) – F(a - ) où : F(x - ) = P(X

34 Paramètres dune v.a.d Paramètre de tendance centrale –Espérance mathématique Paramètres de dispersion –Variance –Écart type

35 Lespérance mathématique Lespérance mathématique dune v.a. X permet de caractériser la tendance centrale ou la position de lensemble des valeurs possibles dune v.a. Notation : E[X] ou Si X est une v.a. discrète : E[X] = x i f(x i )

36 Exemple 1 - suite xixi P(X=x i ) x i.f(x i ) E[X] = x i f(x i ) = …+ 12 = 252 =

37 La variance La variance sert dindicateur pour létalement des valeurs de la variable aléatoire par rapport à (lespérance mathématique) Var(X) = 2 = E[(X- ) 2 ] =

38 La variance Var(X) = E[X 2 ] – (E[X]) 2

39 Écart type Lécart type (déviation standard) de la variable aléatoire X, noté (X) ou simplement, est défini comme la racine carrée positive de Var(X) (X) =

40 Exercice a) Calculer lespérance et lécart type de Q. b) En supposant que le stock est toujours de 5 unités en début de journée, calculer la probabilité que, sur une semaine de 6 jours, on nait une rupture de stock que le dernier jour de la semaine. c) Le prix de vente dun article est de 400 $, tout invendu entraîne une perte de 100 $. De plus, le coût dune rupture de stock est de 40 $. En supposant un stock journalier de 5 unités, donner les différentes valeurs possibles du bénéfice et calculer son espérance. Note : Une rupture de stock survient lorsque la demande excède la quantité en main dun article donné. Quantité Q f(X) La demande journalière Q dun produit obéit à la loi de probabilité suivante :

41 Rappel Définition dune population : –On appelle population tout ensemble sur lequel porte une étude statistique Les éléments dun tel ensemble sappellent «individus» ou «unités statistiques» Taille de la population = N

42 Rappel Définition dun échantillon : –On appelle échantillon tout sous-ensemble dune population. –Taille de léchantillon = n

43 Expérience binomiale Cest une expérience aléatoire constituée dune suite dépreuves indépendantes où chaque épreuve ne peut conduire quaux 2 mêmes résultats possibles (succès, échec) et où chacun de ces résultats a la même probabilité de réalisation dune épreuve à lautre

44 Processus Bernoulli et expérience binomiale Propriétés: 1.Lexpérience est une série de n tirages identiques 2.Deux événements sont possibles à chaque tirage: succès et échec 3.La probabilité de succès, notée p, ne se modifie pas dun tirage à lautre. La probabilité déchec q=1-p ne se modifie pas non plus 4.Les tirages sont indépendants – Lorsque les propriétés 1, 2, 3, et 4 sont satisfaites, il sagit dune expérience binomiale

45 Distribution binomiale Si une variable aléatoire X représente le nombre de succès lorsquon effectue n épreuves de Bernoulli, alors X obéit à une distribution binomiale. –X Bi (n, p) –Ce qui se lit «X obéit à une loi binomiale de paramètres n, p» –Lintérêt est de connaître le nombre de succès après n tirages

46 Distribution binomiale n = le nombre dépreuves de Bernoulli p = la probabilité de succès Définition mathématique dune v.a. binomiale : –Une v.a. X qui prend les valeurs entières x telles que x = 0,1,2,…n pour n entier positif, 0 p 1, q=1-p, avec les probabilités : sappelle une v.a. binomiale de paramètres n et p.

47 Distribution binomiale Si X est une v.a. binomiale alors :

48 Exemple Soit lexpérience aléatoire consistant à lancer 2 dés où un succès consiste à obtenir une somme égale à 7. Si on répète 4 fois cette expérience aléatoire, quelle est la probabilité dobtenir 2 succès ? p= q= n= x= Utilisation des tables p. 702: probabilité dobtenir x succès en n tirages lors que p est la probabilité de succès Quelle est la probabilité dobtenir moins de 3 succès?

49 Exemple Dans une population, il y a 49% de filles et 51% de garçons. Quelle est la probabilité que dans une famille de 6 enfants, il y ait au moins 3 garçons?

50 Distribution binomiale Exemple : X~Bi (50, 0,30) Procédure dans Excel : Insertion; fonction, Statistiques, loi binomiale. LOI.BINOMIALE(nombre_succès;tirages;prob abilité_succès;cumulative) P( X = 19) = LOI.BINOMIALE(19;50;0,3;FAUX) = 0,0557 P( X 19) = LOI.BINOMIALE(19;50;0,3;VRAI)= 0,915

51 Exemple À l'entrée de l'hiver, une épidémie de grippe affecte une population et on estime que 20% des personnes âgées sont menacées. –1- Calculer la probabilité que, dans un groupe de 20 personne âgées, il y en ait moins de 5 atteintes. –2- Une campagne de vaccination est mise en place, à l'issue de laquelle, soit le risque de maladie reste le même, soit il est diminué de moitié: on estime à 40% les chances que la campagne soit efficace. Que devient la probabilité de la question précédente?

52 Distribution de Poisson (distribution des événements rares) Une v.a.d. souvent utilisée pour décrire le nombre doccurrences dun événement au cours dun intervalle de temps ou despace bien défini Si les deux propriétés suivantes sont satisfaites: 1.La probabilité doccurrence est la même dans deux intervalles de la même longueur 2.Loccurrence ou la non-occurrence dun événement dans un intervalle est indépendante de loccurrence ou de la non-occurrence dun événement dans un autre intervalle –Alors: X Po ( ) Ce qui se lit «X suit une loi de Poisson de paramètre »

53 Définition mathématique dune v.a. de Poisson : Une v.a.d. X qui prend toutes les valeurs entières x telles que x = 0, 1, 2,… avec les probabilités : sappelle une v.a. de Poisson de paramètre Distribution de Poisson

54 Variables utilisées : –V.a. X donne le nombre de succès obtenus pour une période de temps donnée; –t= période de temps considérée; = lintensité du processus considéré (constante de proportionnalité) (correspond au nombre moyen de succès pour une période de temps unitaire); – =.t –e=2, …

55 Distribution de Poisson Si X est une v.a. de Poisson alors : –E(X) = –VAR(X) =

56 Exemple Dans une grande usine, on sait par expérience quil se produit en moyenne 1,8 accidents de travail par semaine. Trouvons : 1- La probabilité quil se produise, dans cette usine, au plus 2 accidents dans une semaine; 2- La probabilité quil se passe 2 semaines sans quil se produise daccident dans cette usine.

57 Approximation La distribution de Poisson comme approximation de la distribution binomiale –X Bi (n, p) X Po(np) –En général lapproximation est valable si: n 20 et p < 0,1

58 Distribution binomiale Exemple : X~Bi (50, 0,30) –approximer par :X~Po (50*0,30)= X~Po (15) Calcul par binomiale: P( X = 19)= 0,05575 Calcul par Poisson: P( X = 19)=0,05574

59 La distribution hypergéométrique Étroitement liée à la binomiale. La différence majeure est que, lorsquil sagit dune loi hypergéométrique, les tirages ne sont pas indépendants et la probabilité de succès change dun tirage à lautre

60 La distribution hypergéométrique La distribution hypergéométrique permet de calculer la probabilité d'obtenir x succès et n-x échecs lorsqu'on choisit n éléments sans remise à partir d'une population de taille N

61 La distribution hypergéométrique N =taille de la population; n =taille de léchantillon; r = nombre dindividus dans la population qui possèdent la caractéristique étudiée (considérés comme un succès); N-r= nombre dindividus dans la population qui ne possèdent pas la caractéristique étudiée (considérés comme un échec); P= r/N (probabilité de succès au premier tirage)

62 La distribution hypergéométrique Si une variable aléatoire X représente le nombre dindividus dans léchantillon qui possède la caractéristique étudiée, alors X obéit à une distribution hypergéométrique –X Hg (N, n, p) –Ce qui se lit «X suit une loi hyper-géométrique de paramètres N, n, p.»

63 La distribution hypergéométrique Si X est une v.a. hypergéométrique alors :

64 Exemple Considérons une urne contenant 10 boules dont 4 sont blanches. On tire successivement et sans remise trois boules de cette urne et on sintéresse à la v.a. X représentant le nombre de boules blanches tirées. –Donnez la distribution de probabilité de la v.a X.

65 Exemple Un élève na pas étudié son examen de statistiques qui comporte 5 questions. Chaque question contient 3 choix de réponses. Lélève répond au hasard aux 5 questions. Quelle est la probabilité quil réponde correctement à: –a) aucune des 5 questions 0,13 –b) au moins une des questions 0,87 –c) exactement 2 des 5 questions 80/243

66 Exemple Dans un groupe de 25 personnes, 10 sont fumeurs. On choisit au hasard quatre de ces personnes pour former un comité. –Quelle est la probabilité que le comité ait moins de fumeurs que de non-fumeurs ?

67 Exemple (solution intranet) On choisit au hasard deux chiffres différents et on considère la variable aléatoire X correspondant au plus petit des deux chiffres. a)Trouver la fonction de probabilité de X b)Trouver fonction de répartition de X c)Trouver P(3 X 6) 18/45

68 Pour célébrer son 150e anniversaire, un grand magasin organise un tirage (avec remise) spécial : chaque client, immédiatement après avoir payé ses achats, est invité à prendre un jeton dans un sac contenant 100 jetons portant le nom du magasin et 900 jetons blancs; si le client tire un jeton portant le nom de la compagnie, on lui remet un chèque dun montant correspondant à 30% de ses achats; si le client tire un jeton blanc, on lencourage à revenir au magasin et à «tenter sa chance» une autre fois. Quelle est la probabilité pour que, dans un groupe de 8 clients, il y ait 4 gagnants ? Exemple

69 Le responsable du comité de sécurité de lentreprise Nicom a effectué une compilation du nombre daccidents de travail qui se sont produits depuis deux ans dans lusine. Ceci a permis détablir que le taux moyen daccidents de travail a été de 1,6 accident par jour. a)En admettant que le nombre daccidents de travail en une journée obéit à une loi de Poisson, quelle est lexpression qui permettrait de calculer la probabilité dobserver x accidents de travail par jour? b)Quel est lécart type de la v. a. concernée? c)Quel est la probabilité dobserver plus de 2 accidents par jour? d)Quelle est la probabilité davoir un nombre daccidents compris dans lintervalle : [E(X) - (X), E(X) + (X)] Exemple

70 Exemple (solution intranet) Un cavalier désire analyser ses chances de succès lors d'un prochain concours hippique sur un terrain qui lui est nouveau. Il décide de recueillir des renseignements auprès des 20 cavaliers qui connaissent bien le terrain en question. Le gagnant du concours est le cavalier qui accumule le moins de points de pénalité. Le nombre de points de pénalité se répartit comme suit : n points pour le n-ième obstacle qui tombe (1 pour le 1er obstacle, 2 pour le 2ième obstacle, etc.). Ainsi, pour un cavalier qui fait tomber 3 obstacles, il accumule 6 points de pénalité. Il demande donc à chacun des 20 cavaliers son estimation de la difficulté du parcours en terme du nombre de points de pénalité. Il obtient le résultat suivant : Nb de pts acc Nb de cavalier ayant attribué un nb de pts de pén

71 Exemple (suite) Notre cavalier estime que l'ensemble de ces renseignements est représentatif de sa performance lors du prochain concours hippique. On définit la variable aléatoire X comme étant le nombre de points de pénalité accumulés. a) Déterminer la masse de probabilité de X, sa fonction de répartition. b) Quelle est la probabilité que notre cavalier se qualifie, c'est-à-dire qu'il accumule 18 points de pénalité ou moins ?.9 c)Calculer la valeur espérée du nombre de points de pénalité pour notre cavalier d)Calculer la déviation moyenne (écart type) du nombre de points accumulés autour de la valeur espérée e)Quelle est la valeur modale du nombre de points accumulés ? 0.3

72 Exemple Une compagnie maufacture des clous sur cinq machines identiques. La probabilité quune machine tombe en panne un jour donné est de 0,1. On définit une variable aléatoire X qui correspond au nombre de machines qui tomberont en panne un jour donné. Quelle est la distribution de probabilité appropriée pour X ? Expliquer pourquoi. Calculer la probabilité quau moins 4 machines tombent en panne. – Calculer la probabilité que 4 machines tombent en panne. – Quelle est lespérance du nombre de machines qui tomberont en panne un jour donné?.5 Quelle est la variance du nombre de machines qui tomberont en panne un jour ?.45

73 Exemple Jean travaille comme valet de stationnement dans un hôtel du centre-ville. En moyenne, 6,7 autos arrivent par heure. La décision dun client de lhôtel dutiliser ou non les services dun valet de stationnement ne dépend pas de la décision dautres clients. On définit X la variable aléatoire correspondant au nombre dautos qui arrivent au stationnement par période dune heure. Quelle est la distribution de probabilité appropriée pour X ? Justifiez votre choix. Calculer la probabilité que 5 autos arrivent dans la prochaine heure Calculer la probabilité que pas plus de 5 autos arrivent dans la prochaine heure..3406

74 Exemple 5% des items d'une ligne de montage sont défectueux. Un client achète un lot de 10 items. 1- Quelle est la probabilité qu'aucun des items achetés soit défectueux? 2- Si plus d'un item est défectueux, le client retourne le lot et annule sa commande. S'il y a exactement un item défectueux, le client retour l'item et demande qu'on le remplace. Dans ce cas, le responsable de la ligne de montage envoie un item de remplacement sans vérification préalable. Si l'item de remplacement est aussi défectueux, le client annule la commande. Quelle est la probabilité qu'une commande soit annulée ?


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