Pour trois points non alignés A, B et C, on a les inégalités

Présentation au sujet: "Pour trois points non alignés A, B et C, on a les inégalités"— Transcription de la présentation:

1 Pour trois points non alignés A, B et C, on a les inégalités
triangulaires suivantes: AB < AC+CB AC < AB+BC BC < BA+AC Ces inégalités sont strictes puisqu’il y a égalité que lorsque les trois points sont alignés. Pourtant….

2 B Prenons un triangle ABC isocèle rectangle. Notons AB = a. a a A C

3 B D Prenons un triangle ABC isocèle rectangle. Notons AB = a. Construisons le point D de telle sorte que ABDC soit un carré. a a A C

4 a B D Chaque côté a pour longueur a. a a a A C

5 B D Transformons la ligne bleue de la manière suivante. a a A C

6 B D Transformons la ligne bleue de la manière suivante. On coupe les segments [BD] et [DC] en leur milieu. a a A C

7 B D Transformons la ligne bleue de la manière suivante. On coupe les segments [BD] et [DC] en leur milieu. a a A C

8 B D Transformons la ligne bleue de la manière suivante. On coupe les segments [BD] et [DC] en leur milieu. a a A C

9 B D La ligne bleue obtenue par cette construction a même longueur que la première : BD+DC = AB+AC a a A C

10 B Effectuons maintenant la même construction à chaque triangle formant cette ligne bleue. a a A C

11 B Effectuons maintenant la même construction à chaque triangle formant cette ligne bleue. a a A C

12 B Effectuons maintenant la même construction à chaque triangle formant cette ligne bleue. a a A C

13 B Effectuons maintenant la même construction à chaque triangle formant cette ligne bleue. a a A C

14 B Effectuons maintenant la même construction à chaque triangle formant cette ligne bleue. a a A C

15 B Pour les mêmes raisons, la ligne bleue obtenue a pour longueur : AB+AC a a A C

16 B Continuons cette transformation sur la ligne brisée. a a A C

17 B Continuons cette transformation sur la ligne brisée. a a A C

18 B Continuons cette transformation sur la ligne brisée. a a A C

19 B Continuons cette transformation sur la ligne brisée. a a A C

20 B Continuons cette transformation sur la ligne brisée. a a A C

21 B Encore une fois, nous obtenons une nouvelle ligne brisée de même longueur que la précédente : AB+AC a a A C

22 B Passons à l ’étape suivante. a a A C

23 B Passons à l ’étape suivante. a a A C

24 B Passons à l ’étape suivante. a a A C

25 B Passons à l ’étape suivante. a a A C

26 B Passons à l ’étape suivante. a a A C

27 B Passons à l ’étape suivante. a a A C

28 B Passons à l ’étape suivante. a a A C

29 B Passons à l ’étape suivante. a a A C

30 B Passons à l ’étape suivante. a a A C

31 B Et la ligne brisée bleue mesure toujours: AB+AC a a A C

32 B Etape suivante: a a A C

33 B Etape suivante: a a A C

34 B On obtient toujours une ligne brisée de longueur AB+AC a a A C

35 B Si on continue, on obtient une ligne qui se superpose au côté [BC]. a a A C

36 B Si on continue, on obtient une ligne qui se superpose au côté [BC]. On a alors: AB+AC = BC Or AB+AC > BC. a a A C

37 Quelle est donc cette contradiction ?
Conception : Laurent Hennequart