Déceler ce qu’il y a au plus profond de nos élèves représente un des privilèges spéciaux des enseignants. Cela exige que l’on perçoive dans les échecs.

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1 Déceler ce qu’il y a au plus profond de nos élèves représente un des privilèges spéciaux des enseignants. Cela exige que l’on perçoive dans les échecs et dans la confusion de l’adolescence la possibilité d’obtenir quelque chose de démêlé, clair et dirigé. (Barbara Windle)

2 L’apprentissage chez les adolescents et les mathématiques au secondaire Anne Watson Université d’Oxford Sherbrooke, Mai 2008

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7 Plus près Trouvez un nombre qui est plus près de 3/8 que de 3/16. … et un autre

8 Plus de ‘… et une autre’ Construire une équation linéaire avec x dont la solution est 5. … et une autre … et une autre, mais celle-ci doit être TRÈS différente de la précédente.

9 Potentialités des tâches de mise en exemple. … et un autre conscience des espaces d’exemples conscience des dimensions de variation conscience de l’étendue du domaine de variation

10 Comparaison d’objets équivalents Combien de façons pouvez-vous trouver d’exprimer le nombre de points sur cette illustration?

11 Potentialités de la comparaison Combien de façons …? représentations équivalentes transformations entre différentes représentations débats à propos de la complétude

12 Grille de multiplication x+ 3 x - 2

13 Radicaux / irrationnels Utiliser la grille de multiplication pour trouver une paire de nombres de la forme a + √b qui, lorsqu’ils sont multipliés, n’ont pas d’éléments irrationnels. c √d a√b

14 Potentialités des tâches de construction: Pour apprendre à se questionner Pour résoudre des problèmes de façon impromptue Pour étendre et enrichir les espaces d’exemples personnels Pour comprendre propriétés et structure (activités mathématiques plus riches)

15 Agrandissement

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18 Potentialités de la comparaison de méthodes Identifier les “super-méthodes” Un choix éclairé donne du pouvoir d’action Connaître les limites donne du pouvoir d’action Comprendre pourquoi il y a des algorithmes

19 L’adolescence c’est … l’identité le sentiment d’appartenance être entendu être autonome être supporté la réorganisation des connexions neurologiques dans le cortex frontal se sentir puissant comprendre le monde négocier avec l’autorité débattre pour être entendu par les adultes le sexe

20 L’apprentissage chez les adolescents implique du progrès De ad hoc à abstrait D’une fiction imaginée à une actualité imaginée Des notions intuitives à des notions “scientifiques” Des approches empiriques à des approches raisonnées

21 L’apprentissage mathématique implique du progrès De ad hoc à abstrait De l’imagination à l’abstraction Des notions intuitives à des notions “scientifiques” Des approches empiriques à des approches raisonnées

22 Sommes de termes consécutifs 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 10 + 11 = 21 6 + 7 + 8 = 21

23 Les potentialités des tâches d’investigation: Choix; action (méthode) Conjectures; perspectives (identité) Appropriation (habilitation; identité) Discussion (collaboration) Réflection Changements dans la nature des activités mathématiques

24 L’illusion du choix Le choix ne mène pas nécessairement à des activités mathématiques plus riches

25 Illusion de réflexion Pour valider et évaluer un travail Pour évaluer l’effort personnel Pour évaluer la qualité de procédures, de méthodes, de travail et de résultats Pour identifier les structures, abstractions, relations, propriétés (activités mathématiques plus riches)

26 Changements possibles dans l’activité mentale due à l’intervention enseignante dans les “sommes de termes consécutifs” Discret – continu Additif - multiplicatif Règles – outils Procédures – signification Exemple – généralisation Perceptuel – conceptuel Opérations – inverses Régularités – relations Relations – propriétés Conjecture – preuve Résultats – réflexion sur les résultats Résultats – réflexion sur les procédures et méthodes Inductif – déductif Autre ….

27 Relations multiplicatives

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29 x 2 = 24 x 3 = 24 e x = 24

30 Relations multiplicatives 24 2 6 3 2 2 12

31 Relations multiplicatives

32 xy = 24 x = 24 y y = 24 x Qu’est-ce qui est semblable/différent dans les deux derniers exemples?

33 Relations multiplicatives Quels deux nombres multipliés ensemble donnent 24? …deux autres Quels trois nombres multipliés ensemble donnent 24? Quel nombre élevé au carré donne 24?

34 Les aspects problématiques des mathématiques au secondaire probabilité proportions & rapports séquences non linéaires représentations symboliques Démonstrations, preuves additions de fractions….. compréhension de limites utilisation de relations algébriques perspectives discrètes et continues raisonnement à partir de propriétés…

35 Quels sont les changements nécessaires pour apprendre les mathématiques au secondaire? Discret – continu Additif - multiplicatif Règles – outils Procédures – signification Exemple – généralisation Perceptuel – conceptuel Opérations – inverses Régularités – relations Relations – propriétés Conjecture – preuve Résultats – réflexion sur les résultats Résultats – réflexion sur les procédures et méthodes Inductif – déductif Autre ….

36 L’actualisation de l’adolescent en mathématiques L’identité : comme penseur actif L’appartenance à la classe Être entendu par l’enseignant Comprendre le monde Négocier l’autorité de l’enseignant par l’entremise des mathématiques Être capable de débattre mathématiquement de façon à se faire écouter des adultes

37 L’actualisation de l’adolescent en mathématiques Être responsable de son espace d’exemples personnel S’appuyer sur le sens mathématique intrinsèque Se sentir puissant grâce à la capacité de générer des mathématiques Être aidé pour faire des changements explicites de conceptualisation Et le sexe …??

38 Raising Achievement in Secondary Mathematics Watson (Open University Press) Mathematics as a Constructive Activity Watson & Mason (Erlbaum)