La Cyclostationnarité Aspects théoriques et application au Diagnostic

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1 La Cyclostationnarité Aspects théoriques et application au Diagnostic
Rappels sur les processus stochastiques Rappels sur la stationnarité La non-stationnarité La cyclostationnarité : définition Exemples Analyse spectrale des processus cyclostationnaires Application à la détection de périodicités cachées

2 Rappels sur les processus stochastiques
Un signal = un processus stochastique Une mesure du signal = une réalisation du processus

3 Rappels sur la stationnarité
Définition : invariance des propriétés statistiques en fonctions du temps t Applicable à la moyenne, la variance, la fonction d’autocorrélation, etc.

4 Exemples de processus stationnaires
Signal de communication Bruit électronique  La stationnarité représente-elle bien la plupart des processus physiques? Signal ECG, signal de parole Bruits de véhicules (voitures, avions) Vibrations des machines Séries chronologiques (économie)

5 La non-stationnarité La non-stationnarité est une non-propriété
Pas d’outils d’analyse universels Traitements au cas par cas Outils classiques dédiés à la N-S Analyse d’enveloppe (N-S de l’énergie du signal) Analyse temps-fréquence (N-S de l’amplitude et du contenu fréquentiel) EX f DSE à chaque t t t0

6 Cyclostationnarité C’est une propriété de la N-S
Définition : périodicité des propriétés statistiques Exemples Modulation d’amplitude périodique Modulation de fréquence périodique T T

7 Cyclostationnarité Cyclostationnarité d’ordre 1 : moyenne instantanée
Cyclostationnarité d’ordre 2 : FAC instantanée Forme a.s. : Forme s. : t0 X(t) t RX(t0,) 

8 Exemples de processus CS
Télécom (sur-échantillonné) Machines tournantes (à vitesse stationnaire) Engrenages Roulements à billes Moteurs thermiques Phénomènes biologiques cycliques (période constante !) Phénomènes physiques cycliques (météorologie)

9 Statistiques cycliques
mkx = coefficients de Fourier de mx(t) Ordre 1 Rkx() = fonction d’autocorrélation cyclique Ordre 2  Si X(t) est CS1 alors mkx  0 pour k  0  Si X(t) est CS2 alors Rkx()  0 pour k  0

10 Analyse spectrale des processus CS
DSP classique (cas stationnaire) Densité de corrélation spectrale (cas CS) densité linéique densité surfacique SX(,f) f f 1/T 2/T 3/T 

11 Analyse spectrale des processus CS
Propriétés La DCS est continue en f et discrète en  Les densités linéiques Sx(f) sont portées aux fréquences cycliques  = k/T, kZ. On les nomme spectres de puissance cycliques. Le spectre de puissance cyclique en  = 0 est égal à la DSP Si le signal est stationnaire, alors seul S0x(f)  0 Unités DCS (densité surfacique)  u²/Hz² SPC (densité linéique)  u²/Hz

12 Relations entre statistiques temporelles, cycliques et spectrales
autocorrélation instantanée transformée de Fourier série de Fourier spectre instantané autocorrélation cyclique série de Fourier transformée de Fourier spectre de puissance cyclique

13 Application à la détection de périodicités cachées
Domaines d’application En diagnostic des machines pour détecter la présence d’un défaut En télécom pour estimer la porteuse En météo en bio pour la prédiction Méthode Calculer Sx(,f) et détecter la présence de lignes spectrales en certaines valeurs de  (lourd en pratique) Calculer Rx() et trouver les valeurs de  où la quantité n’est pas nulle (T.F de x²(t) = estimation de Rx(0) )

14 Exemples Roulement à billes avec défaut bague interne

15 Exemples Roulement à billes avec défaut bague externe

16 Présentation du système
Instrumentation par la Westland LTD 477 signaux. 8 accéléromètres. 8 différents défauts. 3 tests effectués sans défaut. Seulement trois niveaux de défaut. Système à vitesse constante et neuf couples différents. Applications Présentation du système 22

17 Recherche de liens entre les différents couples ( fe ; fr )
Lien entre fe1 et fr1 Lien entre fe1 et fr2 Diagnostiquer un écaillage Applications Défaut caractérisé par un lien entre fr et fe Lien entre fe2 et fr1 Recherche de liens entre les différents couples ( fe ; fr ) Lien entre fe2 et fr3 Diagnostic 25

18 Autres intérêts de la CS
Approche récente en Traitement du Signal qui apporte des possibilités nouvelles L’approche conserve l’information de la phase (référence des temps) et renseigne sur des liens statistiques entre composantes fréquentielles  Utilisation en soustraction de bruit  Utilisation en identification aveugle de fonctions de transfert linéaires  Utilisation en identification de FT non-linéaires et/ou variantes  Utilisation en séparation de sources