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David Rolland, formateur en Mathématiques. Plan du cours - Faire le point sur ses connaissances - Les apports théoriques - Types de problèmes et méthodes.

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1 David Rolland, formateur en Mathématiques

2 Plan du cours - Faire le point sur ses connaissances - Les apports théoriques - Types de problèmes et méthodes de résolution - Quelques exemples de fonctions numériques - Lenseignement de la proportionnalité à lécole élémentaire (didactique)

3 Faire le point sur ses connaissances : 1/ Quévoque pour vous le terme « proportionnalité » ? 2/ Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ? a/ La taille dune personne varie proportionnellement à son poids. b/ 5 et 7 sont proportionnels à 8 et 10. c/ Pour lessence, le prix à payer est proportionnel à la quantité achetée. d/ 4 et 6 sont proportionnels à 5 et 7,5. e/ Le périmètre dun cercle est proportionnel à son rayon. f/ Laire dun disque est proportionnelle à son rayon.

4 3/ Résoudre le problème suivant en utilisant le plus de méthodes possibles. « 6 mètres de tissu coûtent 4 euros. Quel est le prix de 9 mètres du même tissu ? » 4/ Résoudre le problème suivant (extrait de lémission « Coucou cest nous » TF1) « Une poule et demie pond un œuf et demi en un jour et demi. Combien dœufs pondent neuf poules en neuf jours ? »

5 I/ les apports théoriques 1/ Suites de nombres proportioonnelles Définition 1 : Deux suites de nombres réels (ayant le même nombre de termes) sont proportionnelles si on peut passer de chaque terme de la première suite au terme correspondant de la deuxième par un même opérateur multiplicatif Exercice 1 : les suites de nombres suivants sont-elles des suites proportionnelles ? a/ (10; 11; 12; 13) et (35; 38,5; 42; 45,5). b/ (0,5; 0,75; 0,9; 1,5; 2) et (2; 2,5; 2,8; 4; 5)

6 Exercice 2 : Compléter ces deux suites pour quelles soient proportionnelles ? Suite n°1 : ( 5 ; 7 ; ? ; ?, 12 ) Suite n°2 : (6 ; ? ; 10,2 ; 12 ; ? ). Définition 2 : Lopérateur multiplicatif qui permet de passer de chaque terme de la première suite à chaque terme de la seconde est aussi appelé coefficient de proportionnalité entre la première suite et la deuxième.

7 Définition 3 : On peut, ranger les valeurs des deux suites dans un tableau de valeurs appelé tableau de proportionnalité. Exemple 1 : Grandeur A en euros Grandeur B en XPF 119,331193,31312,63

8 Exemple 2 : ,57,510,51519,525,5 X 3/4 X 4/3 Exemple 3 : x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 …xnxn y1y1 y2y2 y2y2 y3y3 …ynyn X a X 1/a On a les égalités suivantes : y 1 = a.x 1 ;y 2 = a.x 2 ;y 3 = a.x 3 ; …. ;y n = a.x n.

9 Le coefficient de proportionnalité entre la deuxième suite et la première suite est linverse du coefficient de proportionnalité entre la première suite et la deuxième suite. Les égalités précédentes traduisent le fait que si deux suites de nombres sont proportionnelles, il existe une fonction appelée fonction linéaire, f : R R x ax telle que la deuxième suite soit limage de la première par cette fonction.

10 2/ Propriétés numériques. a/ Propriétés relatives à lordre : - Si deux suites de nombres sont proportionnelles et si le coefficient de proportionnalité est positif, lordre dans lequel sont rangés les nombres de la deuxième suite est le même que lordre dans lequel sont rangés les nombres de la première suite. - Si deux suites de nombres sont proportionnelles et si le coefficient de proportionnalité est négatif, lordre dans lequel sont rangés les nombres de la deuxième suite est linverse que lordre dans lequel sont rangés les nombres de la première suite.

11 b/ Linéarité du tableau de proportionnalité : Théorème 1 : Soit le tableau de proportionnalité suivant : Grandeur Ax1x1 x2x2 x 3 = k.x 1 x 4 = x 1 + x 2 Grandeur B y1y1 y2y2 y3y3 y4y4 On a : y 3 = k × y 1 (propriété multiplicative de linéarité) et y 4 = y 1 + y 2 (propriété additive de linéarité).

12 On peut donc dire que « limage dune somme est la somme des images ». Dans le langage des fonctions, les deux égalités précédentes se traduisent par : f ( x 1 + x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) (I) f ( kx) = k. f ( x) pour tout réel k (II)

13 Démonstration de la propriété 1 : Si deux suites sont proportionnelles et si a est le coefficient de proportionnalité entre la première et la seconde, on a : y 1 = a x 1 et y 2 = a x 2 et donc y 1 + y 2 = a x 1 + a x 2 = a (x 1 + x 2 ) Donc y 1 + y 2 est bien limage de x 1 + x 2. Cette propriété est également vérifiée avec la soustraction : f ( x 1 - x 2 ) = f ( x 1 ) - f ( x 2 )

14 Démonstration de la propriété 2 : Si deux suites sont proportionnelles et si a est le coefficient de proportionnalité entre la première et la seconde, on a : y = a x et donc k.y = k (a x) = a (kx) Donc ky est bien limage de kx. Cette propriété est également vérifiée avec la division.

15 Exemple : activité découverte CM1 Objectif Calcul – Hatier page 168 Complète le tableau de proportionnalité suivant : Le coefficient de proportionnalité est évident, cest 7. c/ Retour à lunité dans un tableau de proportionnalité Théorème 2 :. Soit le tableau de proportionnalité suivant : Avant de trouver y, on cherche y qui est donné par y = y/ x (cest aussi le coefficient de proportionnalité). y se déduit alors par y = x. y

16 Exemple : Déterminer y Y = 15/3 = 5

17 d/ Propriétés des rapports égaux, du produit en croix Soit le tableau de proportionnalité suivant : Un tableau de proportionnalité satisfait la propriété des rapports égaux suivante : y 1 / x 1 = y 2 / x 2 = y 3 / x 3 = … = y n / x n = a (III) (à condition quaucun des nombres x n ne soit nul). x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 …xnxn y1y1 y2y2 y2y2 y3y3 …ynyn X a

18 Démonstration de la propriété des rapports égaux : Cest évident car on a : y 1 = a x 1 ; y 2 = a x 2 ; y 3 = a x 3 … y n = a x n

19 De ces égalités découle la règle de trois aussi appelée règle de la quatrième proportionnelle : A partir des égalités (III), il est facile de déduire les égalités du type : x 1 y 2 = x 2 y 1 ou x 2 y 5 = x 5 y 2 ou… On peut illustrer cette propriété sur ce tableau par lidentification des produits égaux, à laide de croix : ,57,510,51519,525,5

20 Exemple : 3 paquets de café coûtent XPF 945. Combien coûtent 8 paquets ? Combien peut-on acheter de paquets avec XPF 1575 ? Solution : Si on appelle p le prix de huit paquets, il y a proportion : p / 8 = 945 / 3 Doù : p = 8 x 945 / 3 = Le prix de 8 paquets est de XPF On peut effectuer ce calcul en commençant le calcul par le quotient 945 par 3, qui est égal à 315, ce qui représente le prix en XPF dun paquet. Pour calculer le nombre de paquets que lon peut acheter avec XPF 1575, il suffit de diviser 1575 par 315, ce qui donne 5 paquets.

21 e/ Propriétés des écarts. Pour deux suites proportionnelles, à des écarts égaux entre les nombres de la première suite correspondent des écarts égaux entre les nombres correspondants de la deuxième suite ,57,510,51519,525,5 Ainsi, dans le tableau ci-dessus, il y a le même écart (6) entre 14 et 20 dune part et 20 et 26 dautre part, et donc le même écart (4,5) entre 10,5 et 15 dune part et 15 et 19,5 dautre part.

22 Exercice 3 : Utiliser les propriétés précédentes pour reconnaître, parmi les suites de nombres mises en relation dans les tableaux suivants, celles qui ne sont pas proportionnelles ,633, ,

23 Exercice 4 : Utiliser les propriétés précédentes pour compléter le tableau suivant de telle sorte que les suites de nombres en relation soient proportionnelles ?? 26???78136,5

24 Soient deux suites proportionnelles; on considère les couples de nombres formés par un nombre de la première suite et son image dans la deuxième : ( x 1 ; y 1 ) ; ( x 2 ; y 2 ) ; ( x 3 ; y 3 ) ; … ; ( x n ; y n ) Soit un système daxes gradués régulièrement à partir de 0 (repère du plan), les points correspondants à ces couples sont alignés sur une droite qui passe par lorigine des axes. 3/ Propriété graphique des suites proportionnelles

25 1/ Types de problèmes : a/ problème du type « recherche dune quatrième proportionnelle » Deux grandeurs sont en présence. On a trois données, on cherche une quatrième. Exemple : « jai acheté 4 places de cinéma et jai payé 36 euros en tout. Quel est le coût douze places de cinéma ? » II/ Types de problèmes et méthodes de résolution

26 On distingue plusieurs cas : - les classiques comme le précédent, - les problèmes qui tout en étant du même type sont plus compliqués car ils mettent en jeu deux grandeurs de même nature (ex : agrandissement ou réduction de figures) - les problèmes de type « pourcentages ». Ce dernier type reprend le type de quatrième proportionnelle mais lune des données de référence est sous-entendue. Par exemple, « dans une école de 200 élèves, 70 % des élèves mangent à la cantine. Quel est le nombre délèves qui mangent à la cantine dans cette école ? »

27 b/ Type comparaison de proportion Deux grandeurs sont en présence mais impliqués dans deux situations différentes. On a 4 données, deux pour chaque situation. La question porte sur léquivalence des deux situations. Exemple : Voici deux mélanges deau et de sucre. Dans le mélange A, on a dissous 25 grammes de sucre et 4 litres deau. Dans le mélange B, on a dissous 31 grammes de sucre et 5 litres deau. Quel est le mélange le plus sucré ?

28 c/ Problème du type « proportionnalité multiple » Dans ces problèmes, une grandeur est fonction de plusieurs autres, dans une relation de linéarité par rapport à chacune delles lorsque toute les autres sont fixées. Exemple : Six vaches produisent en moyenne litres de lait en 30 jours. Combien de jours faut-il à 18 vaches pour produire litres de lait ?

29 Solution : Le volume de lait est considéré comme proportionnel dune part au nombre de vaches (le nombre de jours étant fixé) et dautre part au nombre de jours (le nombre de vaches étant fixé). Un mode de résolution possible consiste à utiliser cette double proportionnalité, par exemple en organisant les données dans un tableau comme celui-ci : Nombre de vaches6?18 Nombre de jours30 ? Volume de lait (l)4 000? X 3 X 6 Réponse : 180 jours

30 d/ Autres types : vitesses, échelles.

31 2/ Typologie de Vergnaud de problèmes : 1 – La multiplication ex. : Jai 3 paquets de yaourts. Il y a 4 yaourts dans chaque paquet. Combien ai-je de yaourts ? 2 – La division-partition (recherche de la valeur dune part) ex. : Jai payé 9600 francs pour 3 bouteilles de vin. Quel est le prix dune bouteille ? 3 – La division-quotition (recherche du nombre de parts) ex. : Pierre a 1200 francs et veut acheter des paquets de bonbons à 240 francs le paquet. Combien de paquets peut-il acheter ? 1 a b ? 1 ? b c 1 a ? c

32 4 – La 4ème proportionnelle (proportion simple sans présence de lunité) ex. : 3 pelotes de laine pèsent 200 g. Il en faut 8 pour faire un pull. Combien pèse le pull ? a b c ?

33 Exercice : voici différents problèmes, les classez suivant la typologie de Vergnaud. 1)Jai collé 32 timbres sur chaque page dun album de 14 pages. Combien y a-t-il de timbres dans lalbum ? 2)Dans une bande de 96 cm jai découpé des rubans de 12 cm. Combien de rubans ai-je découpé ? 3)Avec 354 bonbons je veux faire 12 paquets identiques. Combien de bonbons dois-je mettre dans chaque paquet ? 4)Pour faire une expérience de chimie, un professeur verse 6dl deau et 15 g de sucre dans un récipient. Il donne ensuite à ses élève un récipient contenant de leau. Dans celui de Jacques il y a 8 dl deau, dans celui de Pierre il y a 18 dl, dans celui de Benoît il y a 30 dl, dans celui dIsabelle il y a 15 dl deau et dans celui de Laurence il y a 12 dl. Quelle quantité de sucre doit mettre chaque élève dans son récipient afin davoir une eau aussi sucrée que celle du professeur ? 5)Un appareil coûte 750 euros en décembre. Son prix augmente de 20 % en janvier. Combien coûte-t-il alors ? 6)Je déplace un pion sur une piste graduée, par bonds réguliers. En partant de 0 jai avancé de 12 bonds de longueur 16. Quelle est la position darrivée ? 7)Jai collé 448 timbres dans un album. Il y a 14 timbres sur chaque page. Combien de pages ont été remplies ? 8)On a acheté 7,20 m de fil électrique à 4 euros le mètre, combien a-t-on payé ? 9)Je déplace un pion sur une piste graduée, par bonds réguliers. En partant de 0 et en 12 bonds, le pion arrive à la position 192. Quelle est la valeur de chaque bond ? 10)On sait que pour 1000 g de poisson on paye 16 euros. Combien payera-t-on pour 3000 g ? Pour 1500 g ? Pour 500 g ? Pour 2500 g ? Pour 1040 g ? 11) Mr Michel a consommé 32 litres pour parcourir 400 km. Combien de litres utilise son auto pour parcourir 1 km ? 12) déplace un pion sur une piste graduée, en partant de 0, par bonds réguliers de longueur 12. Je suis arrivé à la position 192. En combien de bonds ? 13) Pierre a acheté 2 cahiers pour 4 euros, Jean en a acheté 4 pour 10 euros. Leur camarade Michel pense quils ne les ont pas acheté au même endroit. Explique pourquoi. Pierre doit retourner dans le même magasin pour en acheter 6 autres, combien va-t-il payer ? 14) Une dose de caramel mesure 0,25 dl. Jai besoin de 5 doses pour napper mon gâteau. Quelle est la quantité de caramel dont je vais avoir besoin ?

34 SOLUTION : Problèmes de type multiplicatif : (on connaît la valeur de l, et on cherche pour plusieurs). Problème 1 : 1 32 Problème 6 : ? 12 ? Problème 8 : 1 4 Problème 14 : 1 0,25 7,20 ? 5 ? Problèmes de type « division partition » : (on cherche la valeur dune part). Problème 3 : 1 ? Problème 9 : 1 ? Problème 11 : 1 ? Problèmes de type « division quotition » : (on cherche le nombre de part). Problème 7 : 1 14 Problème 2 : 1 12 ? 448 ? 96 Problème 12 : 1 12 ? 192 Problème de recherche dune 4ème proportionnelle : Problème 4 : ? 18 ? 30 ? Problème 5 : Problème 10 : ? 1040 ? Problème 13 : ?

35 3/ Méthodes de résolution : Les procédures varient suivant les nombres en jeu. Ces procédures découlent soit des propriétés de la linéarité des fonctions, soit de la fonction elle-même. Il y a plusieurs méthodes pour un même problème de proportionnalité. Exemple : Jai acheté 4 places de cinéma et jai payé en tout 36 euros. Quel est le coût de 12 places de cinéma ?

36 La correction de ce problème permet de mettre en évidence différentes procédures de résolution. Lénoncé suppose implicitement quon a affaire à une situation de proportionnalité mettant en jeu deux grandeurs et qui peut être représentée par le tableau suivant : Nombre de places de cinéma 412 Prix à payer (en euros) 36? Ce type de problème est appelé classiquement « problème de quatrième proportionnelle ». On a affaire à deux suites proportionnelles ( 4 ; 36 ) et ( 12 ; ? ) et, trois nombres sont connus, on doit chercher le quatrième

37 Procédure 1 : utilisation de la propriété additive (méthode très utilisée par les élèves) 12 = donc prix des 12 places = Le prix de 12 places est donc de 108 euros. Nombre de places de cinéma412 Prix à payer (en euros)36?

38 Procédure 2 : utilisation de la propriété multiplicative Nombre de places de cinéma 412 Prix à payer (en euros)36? 12 = 3 x 4 donc prix des 12 places = 3 x 36 X 3

39 36 = 4 x 9 donc CM = 9 donc prix des 12 places = 12 x 9 = 108. Procédure 3 : utilisation du coefficient de proportionnalité Nombre de places de cinéma 412 Prix à payer (en euros)36? x9

40 Procédure 4 : utilisation du retour à lunité Le prix pour 4 places permet de calculer le prix dune seule place soit 9 euros. Le prix des 12 places est donc 12x9 euros, soit 108 euros. Procédure 5 : utilisation des rapports égaux 4 / 36 = 12 / x ou 36 / 4 = x / 12 qui donne x = (12 ).(36) /4 4.x = (12).(36) doù x = (12).(36)/4 Procédure 6 : utilisation du produit en croix (variante de la précédente)

41 - Méthode 7 : utilisation de la représentation graphique Nombre de places Prix en euros On place le point de coordonnées ( 4 ; 36 ) et on trace la droite reliant lorigine O du repère et ce point. On cherche ensuite lordonnée du point de cette droite dabscisse 12.

42 1/ Fonction linéaire: III/ Quelques exemples de fonctions numériques. Définition : Sous ce terme, sont regroupées toutes les fonctions qui peuvent être décrites par un schéma du type : R xax (a étant un nombre réel constant) Ces fonctions sont caractéristiques des suites proportionnelles : à deux suites proportionnelles peut être associée une telle fonction (a étant le coefficient de proportionnalité), et inversement une telle fonction permet de générer des suites proportionnelles. Comme cela a déjà été indiqué, les propriétés de linéarité peuvent être traduites par : f(x) + f(y) = f(x + y) pour tous nombres réels x et y f(kx) = k f(x) pour tous nombres réels k et x.

43 Dans un système daxes régulièrement gradués à partir de 0, les couples de nombres correspondants sont représentés par des points alignés sur une droite passant par lorigine O du repère (0;0). Représentation de la fonction linéaire de coefficient de proportionnalité 3

44 2/ Fonction affine : Définition : Sous ce terme, sont regroupées toutes les fonctions qui peuvent être décrites par un schéma du type : R xax + b (a et b étant deux réels constants) Comme les fonctions linéaires, ces fonctions sont croissantes si a > 0 et vérifient la propriété des écarts. Dans un système daxes régulièrement gradués à partir de 0, les couples de nombres correspondants sont représentés par des points alignés. La droite ne passe par lorigine que si b = 0. Remarque : la fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine (cas où b=o); mais elle possède de nombreuses propriétés que ne possèdent pas les autres fonctions affines (propriété de linéarité en particulier).

45 Définition : Sous ce terme, sont regroupées toutes les fonctions qui peuvent être décrites par un schéma du type : R xax n 3/ Fonction puissance : Par exemple, la relation entre le rayon et « laire du disque » peut être représentée par une telle fonction : x πx² où πx² exprime laire en cm², x désigne le rayon du cercle en cm, a = π et n=2. Dans un système daxes régulièrement gradués à partir de 0, les couples de nombres correspondants ne sont pas représentés par des points alignés (sauf si n=1 ou n=0 ou a=0) Dans le cas où n=2, les points sont situés sur une parabole.

46 Remarque : La fonction linéaire est aussi un cas particulier dune telle fonction (cas où n=1).

47 Le tableur est un outil commode pour produire des ensembles de nombres qui sont en relation par une fonction donnée. Exemple 1 : tableaux associés à la fonction linéaire x 7,5x AB 1 23= A2*7,5 37= A3*7,5 410= A4*7,5 512,5= A5*7,5 624,3= A6*7,5 4/ Fonctions et tableur : FormuleRésultats AB 1 23= 22,5 37= 52,5 410= ,5= 93,75 624,3= 182,25

48 Exemple 2 : tableaux associés à la fonction linéaire x 2,5x + 3 FormuleRésultats AB 1 23= A2*2,5+3 37= A3*2, = A4*2, ,5= A5*2, ,3= A6*2,5+3 AB 1 23= 10,5 37= 20,5 410= ,5= 34,25 624,3= 63,75

49 1/ Vitesse moyenne. La vitesse moyenne dun mobile parcourant une distance est la vitesse quaurait dû avoir le mobile pour parcourir la même distance dans le même temps en se déplaçant régulièrement, cest-à-dire de telle manière que la distance parcourue soit proportionnelle au temps. La vitesse est alors représentée par le coefficient de proportionnalité. On a la relation : d = vxt, d représentant la distance parcourue, v la vitesse moyenne sur le parcours considéré et t la durée du parcours. IV/ Application de la proportionnalité.

50 Exemple : Une voiture roule à la vitesse moyenne de 85 km/h. Combien de temps met-elle pour parcourir 136 km ? Solution : On a ainsi la relation : 136 km = 85 km/h x t donc t = 136km / 85km/h = 1,6 h. Il faut maintenant convertir 0,6 h en minutes. 0,6 h = 6/10 h = 6/10 x 60 min = 36 min. Donc t = 1h 36 min.

51 2/ Pourcentages. Définition : Prendre a% de x revient à calculer x x a/100, ce qui correspond au schéma : Exemple : Le prix HT dun article est de euros. Quel est le montant de la TVA (19,6 %) ? Réponse : 2000 x 19,6/100 = 392, soit 392 euros de TVA. 100x a?

52 Définition : augmentation en pourcentage Augmenter de a %, cest multiplier par 1 + a / 100. Définition : diminution en pourcentage Diminuer de a %, cest multiplier par 1 - a / 100. Exemple : Combien coûte un vêtement qui, avant les soldes, était vendu 125 euros (rabais : 30%) ? Réponse : Diminuer de 30%, cest multiplier par 1 – 30/100, cest-à-dire par 0,7. Le prix après diminution est donnée par : 125 x 0,7 soit 87,50 euros

53 3/ Echelles. La notion déchelle relève elle aussi de la proportionnalité. On représente une réalité physique (terrain, voiture …) par un dessin ou une maquette établis en respectant les proportions entre les dimensions. Propriété : Il y a proportionnalité entre les dimensions dans la réalité et les dimensions sur la représentation de cette réalité. Exemples : - Avec une échelle de « 2 cm pour 5 m », 5 m dans la réalité sont représentés par 2 cm. - Avec une échelle de 1/25000, cm sont représentés par 1 cm. 1/25000 représente le coefficient de proportionnalité entre les dimensions réelles et les dimensions représentées. Dans ce cas, les unités des dimensions doivent être les mêmes.

54 Exercice : Une maquette de voiture au 1/45 e mesure 9 cm de long et 3,2 cm de large. Quelles sont les dimensions réelles de cette voiture ? Solution : On peut schématiser le problème. 193,2 45?? Par un simple produit en croix, les dimensions réelles de cette voiture sont 4,05 m de long et 1,44 m de large.

55 V. DIDACTIQUE : 1/ Les programmes : Au cycle des approfondissements, « lélève approche la notion de fonction numérique, en particulier dans le cadre des situations de proportionnalité ». Des situations relevant de la proportionnalité sont proposées et traitées en utilisant des raisonnements personnels, adaptés aux données en jeu dans la situation et aux connaissances numériques des élèves. Les élèves distingueront ces situations de celles pour lesquelles ces raisonnements ne sont pas pertinents (situations de non-proportionnalité).

56 Ces procédures de résolution concernent également les problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes et aux conversions entre unités de longueur, de masse, de contenance, de durée ou daire. A partir de cette première approche dont limportance ne doit pas être sous-estimée, létude organisée de la proportionnalité sera mise en place au collège. La notion dagrandissement ou de réduction de figures fait lobjet dune première étude, en liaison avec la proportionnalité, et conduit à une approche de la notion déchelle.

57 A lécole primaire, il sagit détendre la reconnaissance de problèmes qui relèvent du domaine multiplicatif. Ces problèmes sont traités en sappuyant sur des raisonnements qui peuvent être élaborés et énoncés par les élèves dans le contexte de la situation. La mise en oeuvre de ces raisonnements suppose que lélève ait identifié quils étaient pertinents pour la situation proposée. Il est important que soient proposées aussi bien des situations qui relèvent de la proportionnalité que des situations qui nen relèvent pas. Lutilisation de tableaux de nombres ou de graphiques permet dorganiser des informations dans de nombreuses situations. Ces outils ne doivent pas être associés systématiquement à la proportionnalité. Les situations faisant intervenir des pourcentages, des échelles, des vitesses moyennes, des conversions dunités sont traitées avec les mêmes procédés. Aucun procédé expert na à être enseigné à ce niveau : ceux-ci seront étudiés au collège. La touche « % » de la calculatrice nest donc pas utilisée au cycle 3.

58 Plus précisemment : Au CE2 :lapproche de la proportionnalité se fait à travers létude de problèmes multiplicatifs. On utilise la linéarité. Exemple de situation : « je gagne 8 billes par jour, combien en aurais-je au bout de 22 jours ? On peut doubler le nombre de billes au bout de 10 jours, puis rajouter 2 jours. » Au CM1 : ce sont des problèmes du type n fois plus, n fois moins, moitié de, quart de… Exemple : « 3 stylos coûtent 600 francs. Combien coûtent 15 stylos ? » Au CM2 : on envisage une procédure plus générale, quand le « bricolage » ne suffit plus : le passage à lunité. Il ne faut pas lintroduire trop tôt. Il faut attendre que cette méthode ait du sens pour eux. Au collège, cette procédure sera généralisée.

59 2/ Les principales variables didactiques dans les problèmes de proportionnalité a/ Les relations entre les nombres donnés · Le coefficient de proportionnalité entre les grandeurs en jeu peut ou non être choisi pour favoriser le recours aux procédures qui s'appuient sur son identification : entier (simple ou non), décimal (simple ou non), fractionnaire. · Les rapports de linéarité (rapports entre nombres relevant d'une même grandeur) peuvent également être ou non choisis pour favoriser le recours aux procédures de type « linéarité » : entier (simple ou non), décimal (simple ou non), fractionnaire ; de même, les relations entre les nombres relevant d'une même grandeur peuvent ou non faciliter l'obtention de certains nombres par combinaison linéaire.

60 b/ Le nombre de couples donnés Il peut favoriser la multiplicité des combinaisons linéaires pour obtenir un nombre déterminé ou faciliter la mise en évidence du coefficient de proportionnalité. c/ Les types de nombre Le choix des nombres peut ou non favoriser le recours au calcul mental (à mettre en relation avec les variables précédentes). d/ Le type de situation Il permet ou non une validation par le milieu. e/ La familiarité des élèves avec la situation évoquée Une situation familière aux élèves favorisent la mise en œuvre de raisonnements adaptés.

61 3/ Les principales difficultés rencontrées par les élèves - Lélève doit identifier les grandeurs en relation dans la situation proposée. Il est nécessaire que cette tâche soit le plus souvent assumée par les élèves, et donc que la situation ne soit pas déjà schématisée sous forme de tableau. La réalisation du tableau est, en effet, une manière pour l'élève de prendre conscience des grandeurs en relation.

62 - Lélève doit identifier que la situation relève bien du modèle proportionnel : cela est rarement dit explicitement dans l'énoncé et l'élève doit donc faire appel à des connaissances extérieures (expérience sociale, par exemple)... ou deviner l'intention du maître qui lui a proposé le problème (contrat didactique). Il est important que les situations étudiées ne relèvent pas toutes du modèle proportionnel, afin d'exercer la vigilance des élèves sur le choix du modèle et des procédures.

63 - Les situations de proportionnalité font apparaître une « augmentation » ou une « diminution » dans le passage de la première grandeur à la deuxième (exemple des situations d'agrandissement ou de réduction de figures). Or, pour de nombreux élèves, les idées d'augmentation et de diminution sont liées aux notions d'addition et de soustraction, ce qui constitue un obstacle à la reconnaissance du modèle proportionnel. Cet obstacle devra être traité par des situations didactiques appropriées.

64 ·- Lélève doit ensuite choisir une procédure de résolution parmi toutes celles qui sont possibles. Les domaines numériques dans lesquels sont choisis les nombres de l'énoncé et les relations entre ces nombres (notamment, rapport entre les 2 grandeurs, rapport entre les nombres relatifs à une même grandeur) jouent un rôle déterminant dans le choix d'une procédure : ce sont des variables didactiques décisives. Il appartient à l'enseignant d'en déterminer les valeurs avec soin pour favoriser, chez les élèves, le recours à tel ou tel type de procédure.

65 La mise en oeuvre de la procédure choisie est également source de nombreuses difficultés. Par exemple, comment combiner les nombres dans le cas de l'utilisation des propriétés de linéarité, comment déterminer le coefficient de proportionnalité si celui-ci n'est pas calculable mentalement,... ? L'exécution de calculs peut aussi être source de difficultés (décimaux et fractions, par exemple).

66 Bibliographie : - Les mathématiques au concours de professeur des écoles, Alain Descaves, Hachette Mathématiques Tome 2, Roland Charnay & Michel Mante, HATIER CONCOURS 2008

67 FIN David Rolland, IUFM de la Polynésie française Cours sur la proportionnalité


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