La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Fonctions numériques usuelles CHAPITRE 7. Le plan du chapitre La fonction exponentielle La fonction exponentielle La fonction logarithme La fonction logarithme.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Fonctions numériques usuelles CHAPITRE 7. Le plan du chapitre La fonction exponentielle La fonction exponentielle La fonction logarithme La fonction logarithme."— Transcription de la présentation:

1 Fonctions numériques usuelles CHAPITRE 7

2 Le plan du chapitre La fonction exponentielle La fonction exponentielle La fonction logarithme La fonction logarithme Les fonctions puissances Les fonctions puissances Les fonctions sin et cos ; relations entre les lignes trigonométriques Les fonctions sin et cos ; relations entre les lignes trigonométriques Les fonctions Arcos et Arsin Les fonctions Arcos et Arsin La fonction tangente et la fonction Arctan La fonction tangente et la fonction Arctan Quelques relations importantes Quelques relations importantes Les fonctions trigonométriques sinh et cosh Les fonctions trigonométriques sinh et cosh Les fonctions trigométriques inverses Argsinh et Argcosh Les fonctions trigométriques inverses Argsinh et Argcosh La fonction tanh et son inverse La fonction tanh et son inverse

3 La fonction exponentielle x k k ! k=0 k=n exp (x) exp (x 1 +x 2 ) = exp (x 1 ) x exp (x 2 ) lim (e x /x n ) = + linfini en +linfini lim (e x x n ) = 0 en - linfini

4 La méthode dEuler exp = exp u 0 = 1 u n+1 -u n u n+1 -u n = u n = u n 1/N 1/N Étape 0 : Choix dun « pas » : 1/N (entre 0 et x) Dérivée « discrète » (1+ x/N) N ---> exp (x) lorsque N tend vers + linfini

5 La fonction logarithme (1) x R et y = exp (x) x R et y = exp (x) y et x = log (y) y et x = log (y) log (y 1 y 2 ) = log (y 1 ) + log (y 2 ) lim 0 (|y| log |y|) =0 lim +infini (log y /y) =0

6 La fonction logarithme (2) log = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 } log = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 } (log |y-a|) = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a} (log |y-a|) = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a} Remarque : pour tout entier n de Z différent de -1, on a sur R \{a} : (y-a) n+1 (y-a) n+1 [ ] =[ y ---> (y-a) n ] [ ] =[ y ---> (y-a) n ] n+1 n+1

7 Les fonctions puissance (a x 1 ) x 2 = a x 1 x 2 (a x 1 ) x 2 = a x 1 x 2 a x 1 +x 2 =a x 1 x a x 2 a x 1 +x 2 =a x 1 x a x 2 (ab) x = a x x b x (ab) x = a x x b x a -x = (1/a) x a -x = (1/a) x x R a x := exp (x log a) x R a x := exp (x log a) a > 0 [ x a x ] = [x log(a) x a x ]

8 La fonction cosinus x 2k x 2k (2k) ! k=0 k=n cos (x) (-1) k (suites adjacentes) x R cos 0 = 1 cos 2 <-1/3 := 2 inf{x>0, cos x=0} := 2 inf{x>0, cos x=0} cos sannule en au cos sannule en au moins un point de [0,2]

9 La fonction sinus x 2k+1 x 2k+1 (2k+1) ! k=0 k=n sin (x) (-1) k (suites adjacentes) x R

10 Relations entre fonctions trigonométriques cos (x 1 + x 2 ) = cos (x 1 ) cos (x 2 ) – sin (x 1 ) sin (x 2 ) cos (x 1 + x 2 ) = cos (x 1 ) cos (x 2 ) – sin (x 1 ) sin (x 2 ) sin (x 1 + x 2 ) = cos (x 1 ) sin (x 2 ) + sin (x 1 ) cos (x 2 ) sin (x 1 + x 2 ) = cos (x 1 ) sin (x 2 ) + sin (x 1 ) cos (x 2 ) cos = - sin cos = - sin sin = cos sin = cos cos 2 x + sin 2 x =1 cos 2 x + sin 2 x =1 cos (x+ 2 )=cos x cos (x+ 2 )=cos x sin (x+2 ) = sin x sin (x+2 ) = sin x (cos (x), sin (x)) ( pour x [0, 2 [) ( pour x [0, 2 [) paramétrage bijectif du cercle de centre (0,0) et de rayon 1

11 Fonctions trigonométriques inverses Arcos : [-1,1] --- > [0, ] Arcos : [-1,1] --- > [0, ] Arcsin : [-1,1] --- > [- /2, /2] Arcsin : [-1,1] --- > [- /2, /2] sur ]-1,1[ Arcsin = 1/(cos(Arcsin)) = [y (1-y 2 ) -1/2 ] sur ]-1,1[ Arcsin = 1/(cos(Arcsin)) = [y (1-y 2 ) -1/2 ] sur ]-1,1[ Arcos = -1/(sin(Arcos)) = [y - (1-y 2 ) -1/2 ] sur ]-1,1[ Arcos = -1/(sin(Arcos)) = [y - (1-y 2 ) -1/2 ] Arcsin (y) + Arcos (y) = /2 pour y [-1,1]

12 La fonction tangente tan x := sin (x) / cos (x) tan = 1 + tan 2

13 La fonction Arctan (Arc-tangente) x ]- /2, /2[ et y =tan (x) y R et x= Arctan (y) Arctan(y) = = tan 2 (Arctan y) 1 + y tan 2 (Arctan y) 1 + y 2

14 Quelques relations importantes cos (t) = 2 cos 2 (t/2) -1 = (1-u 2 )/(1+u 2 ) cos (t) = 2 cos 2 (t/2) -1 = (1-u 2 )/(1+u 2 ) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u 2 ) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u 2 ) t ]-, [ t ]-, [ u= tan (t/2), t = 2 Arctan u

15 1-u 2 2u , u 2 1+u 2 (-1,0) 1 (0,0) Un paramétrage rationnel du cercle unité privé dun point

16 Les fonctions hyperboliques cosh x : = (e x +e -x )/2, x R cosh x : = (e x +e -x )/2, x R sinh x : = (e x – e -x )/2, x R sinh x : = (e x – e -x )/2, x R cosh 2 x – sinh 2 x = 1 cosh = sinh sinh = cosh

17 Intersection dun plan et dun cône : hyperbole, ellipse ou parabole ellipse hyperbole (2 branches) les Coniques

18 x 2 – y 2 =1, x>0 x = cosh t, t R y = sinh t, t R Le paramétrage de la demi-hyperbole

19 La fonction argsinh : R R x R et y = sinh x y R et x=argsinh y argsinh (y) = 1/cosh(argsinh(y)) = (1+y 2 ) -1/2 sinh x = y { X = e x X = e x X 2 – 2y X - 1 =0 x = argsinh y = log [y + (1+y 2 ) 1/2 ] variable auxiliaire

20 La fonction argcosh : {y ; y 1} {x ; x 0} x 0 et y = cosh x y 1 et x=argcosh y argcosh (y) = 1/sinh(argcosh(y)) = (y 2 -1) -1/2, y > 1 cosh x = y { X = e x X = e x x 0 (donc X 1) x 0 (donc X 1) X 2 – 2y X +1 =0 X 2 – 2y X +1 =0 x = argcosh y = log [y + (y 2 -1) 1/2 ] variable auxiliaire

21 La fonction tangente hyperbolique tanh : x R tanh x := sinh x / cosh x tanh : x R tanh x := sinh x / cosh x tanh : x R 1 – tanh 2 x = (cosh x) -2 tanh : x R 1 – tanh 2 x = (cosh x) -2 x R et y = tanh x y ]-1,1[ et x= argtanh y argtanh y = 1/(1-y 2 ) = (1/2) x 1/(y+1) - (1/2) x 1/(y-1), y ]-1,1[ = (1/2) x 1/(y+1) - (1/2) x 1/(y-1), y ]-1,1[ argtanh y = log (|y+1|/|y-1|) 1/2, y ]- 1,1[

22 Fin du chapitre 7


Télécharger ppt "Fonctions numériques usuelles CHAPITRE 7. Le plan du chapitre La fonction exponentielle La fonction exponentielle La fonction logarithme La fonction logarithme."

Présentations similaires


Annonces Google