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Nombres et Calcul au Cycle 3 Circonscription dEvreux V Jean–Yves Mary / C.P.C.

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1 Nombres et Calcul au Cycle 3 Circonscription dEvreux V Jean–Yves Mary / C.P.C

2 Ce quen disent les programmes 2008 Quatre champs dapplication : Les nombres entiers naturels Les nombres décimaux et les fractions Le calcul (mental, posé, à la calculatrice) La résolution de problèmes

3 Ce quen dit le deuxième palier du socle commun de connaissances et de compétences Compétence 3 / les principaux éléments de mathématiques Lélève est capable de : -Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusquau centième) et quelques fractions simples -Restituer les tables daddition et de multiplication de 2 à 9 -Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et les décimaux -Calculer mentalement en utilisant les quatre opérations -Estimer lordre de grandeur dun résultat -Utiliser une calculatrice -Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations

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5 Les programmes 2008 les tables daddition Les tables de multiplication Lentraînement quotidien au calcul mental portant sur les quatre opérations favorise une appropriation des nombres et de leurs propriétés.

6 Pourquoi pratiquer le calcul mental ? Il faut redonner au calcul mental une place importante parmi les activités numériques car il est un moyen tout à fait privilégié pour atteindre les objectifs suivants : Le développement de lattention, de la concentration et de la mémoire. Une connaissance raisonnée des nombres et des opérations. La mémorisation des répertoires de base, la recherche dordre de grandeur, tout ce qui concourt à une bonne maîtrise du calcul écrit et du calcul rapide. Lacquisition du sens des opérations.

7 8 x 50 ? = 400 Quelle stratégie avez-vous employée ?

8 Le Calcul automatisé Il y a calcul automatisé chaque fois que nous faisons simplement appel à un résultat déjà mémorisé. Ce calcul est exécuté rapidement par réflexe. Il a tout de même fallu, avant cela, passer par une phase d'apprentissage et qu'avant d'être automatisés, ces calculs nous ont demandé souvent une importante réflexion. Le calcul automatisé est impersonnel, il est conduit de la même façon par tous les individus. Il nécessite peu d'effort car il est exécuté par réflexe. On peut l'apparenter à un exercice routinier où il suffit d'exécuter une procédure connue.

9 13 x 17 ? = 221 Quelle stratégie avez-vous employée ?

10 Une stratégie : lassociativité et la commutativité de la multiplication et de laddition 13 x 17 = (10 + 3) x 17 = (10 x 17) + (3 x 17) = (10 x 17) + (3 x 10) + (3 x 7) = = 221 Cela nécessite néanmoins de connaître par cœur un certain nombre de résultats des tables de multiplication courantes. Une autre stratégie plus rapide : les identités remarquables (a - b) x (a + b) = a² - b² (15 – 2) x (15 +2) = 15² - 2² = 225 – 4 = 221 Cela nécessite néanmoins de connaître par cœur un certain nombre de carrés

11 Le calcul réfléchi Il y a calcul réfléchi chaque fois que nous avons à élaborer une procédure spécifique (appelée algorithme) pour un calcul donné. Nous devons prendre pour cela des décisions personnelles. Le calcul réfléchi est très personnel. Un même calcul peut être conduit de manière très différente selon les individus, notamment en fonction de leurs connaissances sur les nombres et les opérations. Il nécessite plus d'effort que le calcul automatisé, le temps et la charge mentale sont donc plus importants.

12 Quelques algorithmes Ajouter 9Ajouter 1 dizaine, retirer 1 unité Retirer 9Retirer 1 dizaine, ajouter 1 unité Multiplier par 10, 100,1000,… Ajouter 1, 2, 3,… zéros Multiplier par 5Multiplier par 10, faire la moitié Multiplier par 20Multiplier par 2 puis par 10

13 Conclusion sur ces deux types de calculs Tous deux nécessitent de disposer de résultats mémorisés et de connaissances sur les nombres: les tables, d'autres résultats comme par exemple : ; 25 x 4 ; 19 c'est 20 – 1, etc. Selon les individus, un même calcul peut relever du calcul automatisé ou du calcul réfléchi. Cela peut dépendre du moment d'apprentissage et de la fréquentation qu'ont les individus du calcul. De plus, le calcul automatisé a forcément été, à un moment, du calcul réfléchi. Au CE1, la plupart des élèves savent que = 8. Mais au CP, avant de l'avoir mémorisé, beaucoup d'enfants l'ont d'abord résolu par des procédés divers : figuration de 5 et de 3 par des objets réels ou dessinés, comptage sur les doigts, surcomptage de 3 à partir de 6 (6, 7, 8), etc.

14 Quelles conséquences sur les apprentissages ? Le calcul mental doit faire lobjet dune programmation et dune pratique régulière dès le cycle 2. Le calcul mental est dabord un moyen efficace de calculer. Il doit donc être intégré aux autres activités. Des moments spécifiques doivent néanmoins être réservés à la pratique du calcul mental. Il convient dalterner les moments dentraînement et ceux qui permettent de concevoir des méthodes et de comparer leur efficacité.

15 Quelles conséquences sur les apprentissages ? Parler de calcul mental ne signifie pas que tout se passe sans écrire. Ce quon désigne sous le terme de calcul écrit (lopération posée) requiert la connaissance des tables et la gestion des retenues, donc du calcul mental. Il ne dispense donc pas de calculer mentalement, bien au contraire ; la technique écrite française traditionnelle de la division, avec ou sans les soustractions intermédiaires requiert de nombreux traitements mentaux. Le déficit de maîtrise du calcul mental fragilise gravement lapprentissage des techniques écrites.

16 Une proposition de séance Les travaux de F.Boulei et D.Butlenii proposent dorganiser les séances de calcul mental (automatisé, réfléchi) autour de trois temps forts : La phase déchauffement, très brève, pour mettre les élèves en condition découte et de concentration,ne présentant aucune difficulté technique pour permettre un démarrage de tous les élèves. La phase dentraînement, avec des calculs simples, en jouant sur les différentes variables en jeu, elle fait appel à des connaissances ou des procédures qui doivent être directement disponibles et rappelées éventuellement pendant la correction. La phase de calcul raisonné, plus complexe, où plusieurs procédures sont possibles, la correction permettra de les confronter et de faire apparaître éventuellement la plus adaptée.

17 La séance de calcul réfléchi Elle peut être décomposée en 3 phases : 1. Une phase de découverte Durant celle-ci, on incite les enfants à expliciter les démarches quils utilisent. On fait participer le maximum denfants. On propose des contre-exemples pour démonter les procédures qui ne sont pas efficaces.

18 La séance de calcul réfléchi 2. Une phase dappropriation : durant laquelle les procédures utilisées sont données par les enfants. On doit à ce moment de la séquence obtenir essentiellement des procédures efficaces. 3. Une phase dentraînement : Les calculs se succèdent en augmentant le rythme. A chaque calcul une procédure est proposée par le maître ou un élève. Les erreurs sont systématiquement analysées.

19 Quelques jeux pour construire des compétences en calcul mental… pour construire des compétences en calcul mental…

20 « Le quinze vainc » Une bande est constituée de 9 cases contenant les nombres de 1 à 9. 2 joueurs jouent à tour de rôle. Chacun pose un pion de sa couleur sur une case. Une case ne peut contenir qu'un seul pion. Le premier qui couvre 3 nombres différents dont la somme est 15 a gagné. Par exemple : David joue 7 alors Julie joue 8, puis David joue 2. Alors Julie joue 6 puis David joue 1. Julie joue 4. David essaie de bloquer en jouant 5 (car 6+4+5=15) mais alors Julie joue 3 et gagne car 8+4+3=

21 « le trio » 2 joueurs. 1 crayon de couleur différente pour chaque joueur. Le maître (ou un des deux joueurs) choisit un nombre entre 0 et 60. Chaque joueur joue à tour de rôle. Il sagit de retrouver ce nombre par combinaison de 3 nombres voisins du tableau qui soient alignés horizontalement, verticalement, ou en diagonale ; deux des nombres doivent être multipliés, le troisième ajouté ou retranché. Un même nombre peut être utilisé pour plusieurs combinaisons différentes. La partie sarrête lorsquun des joueurs ne parvient plus à trouver de combinaison de trois nombres. (6 X 4) + 1 (3 X 6) + 7 (3 X 9)

22 Jeu du carré Deux joueurs. Chaque joueur joue à tour de rôle avec un crayon de couleur différente pour chacun. Il sagit dentourer les carrés de quatre cases dont la somme est 20. Attention des carrés peuvent se chevaucher. Un joueur gagne lorsque lautre ne peut plus jouer ou ne trouve plus de carré. Carrés De 20

23 Jeu de loie Nombre de joueurs et durée : 2 à 5 joueurs / 5 à 10 minutes Matériel : - 1 dé ordinaire - Feuille de marque, crayon. But du jeu : Atteindre 63 en ayant marqué le plus de points possibles. Règles 1) Sur une feuille, on place autant de colonnes quil y a de joueurs ; dans chaque colonne, on écrit 0. 2) Chaque joueur, à tour de rôle : lance le dé. ajoute le nombre naturel obtenu au dernier nombre figurant dans sa colonne, ou len retranche, à son choix ; inscrit le résultat au-dessous.

24 Jeu de loie 3) Lorsquun joueur fait une erreur de calcul constatée par les autres joueurs, il passe son tour. 4) Chaque fois quun joueur réussit à écrire 11, 22, 33, 44, ou 55, il marque respectivement 1,2, 3, 4 ou 5 points. 5) Lorsquun joueur écrit 63, il marque 10 points et la partie sarrête. Le vainqueur est celui qui a le plus de points. Variantes On peut utiliser plusieurs dés. On peut modifier lensemble numérique de référence.

25 Le Marathon Nombre de joueurs et durée : 2 joueurs ou plus / 5 à 15 minutes Matériel : 5 dés, papier, crayon But du jeu : Etre le premier à parcourir exactement les mètres correspondant à la distance olympique du marathon. Règles 1) Chaque joueur inscrit sur sa feuille. 2) Lors de chaque lancer de dés, on peut, en utilisant une fois et une seule chacun des chiffres apparaissant sur les dés, écrire plusieurs nombres naturels ; le joueur choisit celui quil veut et qui correspondra à une distance parcourue. Exemple : Si le lancer des 5 dés donne 6, 1, 4, 1, 2 on peut écrire ou ou ou , etc. 3) Chaque joueur, à tour de rôle, commence par lancer les dés ; après quoi il indique sil décide davancer ou de rester sur place. Sil décide de rester sur place, cest au tour du joueur suivant. Sil décide davancer, il indique quel nombre naturel il choisit, le retranche de et annonce la différence obtenue qui correspond à la distance quil lui reste à parcourir.

26 Le Marathon 4) Le nombre naturel choisit doit toujours être inférieur ou égal à la distance à parcourir. Si cest impossible, le joueur doit rester sur place. 5) Après le premier tour on continue, chaque joueur prenant un nombre de dés qui dépend de la distance quil lui reste à parcourir : - si elle est comprise entre m et 1 111, il prend 4 dés. - si elle est comprise entre m et 111 m, il prend 3 dés. - si elle est comprise entre 110 m et 11 m, il prend 2 dés. - si elle est inférieure à 10 m, il prend 1 dé. 6) Le vainqueur est le premier joueur qui atteint 0. Les autres peuvent alors demander à vérifier les calculs ; sils décèlent une erreur le joueur est disqualifié…

27 Le chat et la souris Nombre de joueurs et durée : - 2 joueurs - 3 à 5 minutes Matériel : Une feuille de marque. Chacun des joueurs dispose de la liste des nombres naturels de 1 à 9 ; ceux-ci sont rayés au fur et à mesure de leur utilisation. But du jeu Pour le chat, attraper la souris ; pour la souris, se réfugier dans son trou. Règles 1) Un joueur est le chat ; au départ il est en 1. Lautre joueur est la souris ; au départ elle est en 30 et doit essayer de rejoindre son trou situé en 0. 2) La souris joue la première ; elle choisit pour cela lun des nombres naturels dont elle dispose, le raye, le soustrait de 30 et inscrit le résultat au- dessous.

28 Le chat et la souris Cest ensuite le tour du chat qui choisit lui aussi un de ses naturels de 1 à 9, le raye, lajoute à 1 et écrit le résultat au-dessous. 3) Ensuite, chaque joueur, à tour de rôle, choisit lun des nombres naturels encore disponibles, lajoute ou le retranche au dernier nombre quil a inscrit dans sa colonne, et place le résultat au dessous. 4) Le chat na pas le droit daller en 0 ; ni le chat ni la souris nont le droit de dépasser 30. 5) La partie sarrête dans lun des cas suivants : - Après avoir joué, le chat atteint le nombre où est arrivé la souris au coup précédent ; il a gagné. (Attention, on narrête pas la partie quand la souris arrive sur la position du chat). - La souris réussit à se placer en 0 ; elle a gagné. - Les deux joueurs ont épuisé leurs nombres sans que lune des éventualités précédentes se soit produite ; la partie est nulle.

29 Le Multidiv Nombre de joueurs et durée : - 2 joueurs - 3 à 15 minutes Matériel : - Une grille de 1 à Deux crayons de couleurs. But du jeu - Bloquer son adversaire. Règles Le joueur A colorie une case. Le joueur B doit colorier une case : - dont le nombre est un multiple de la dernière case coloriée. - ou dont le nombre est un diviseur de la dernière case coloriée. Le joueur A continue de la même façon en coloriant une case : - dont le nombre est un multiple de la dernière case coloriée. - ou dont le nombre est un diviseur de la dernière case coloriée. Le joueur qui ne peut plus jouer a perdu.


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