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Vers des Familles de Situations dInteraction Indexées par les compétences algébriques Brigitte Grugeon Lalina Coulange DIDIREM Paris 7 DIDIREM Paris 7.

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1 Vers des Familles de Situations dInteraction Indexées par les compétences algébriques Brigitte Grugeon Lalina Coulange DIDIREM Paris 7 DIDIREM Paris 7 IUFM dAmiens IUFM de Créteil Jean-Michel Gélis Françoise Chenevotot DIDIREM Paris 7 DIDIREM Paris 7 IUFM de Versailles IUFM dArras

2 Axe apprentissage Objectif : nÉlaborer des situations dapprentissage EIAH en algèbre èPour répondre aux difficultés / profils délèves dans PEPITE èEnvisager des parcours différenciés dapprentissage

3 Problématique nComment déterminer les situations dapprentissage et les paramétrer pour les générer automatiquement, en vue de définir des parcours dapprentissage différenciés, adaptés aux profils délèves en algèbre ? nComment larticulation entre des résultats de recherche en didactique des mathématiques et en informatique permet-elle davancer dans cette recherche ?

4 Environnement interactif en algèbre PEPITE PEPISTEREO Elève Enseignant Profils délève Situations p/c ou logicielles AILE AMICO CIME APLUSIX …. Parcours dapprentissage

5 Le domaine de lalgèbre élémentaire ndimension objet èObjets de lalgèbre : expressions, formules, équations èSystèmes de représentation de ces objets, en particulier, le système de représentation symbolique algébrique en articulation avec dautres systèmes de représentation ndimension outil, selon les champs de problèmes èOutil de résolution via leur modélisation pour des problèmes arithmétiques formulés en langue naturelle sous forme déquations et au-delà, pour des problèmes intra ou extra mathématiques sous forme de relations fonctionnelles entre données et variables èOutil de généralisation et de preuve dans le cadre numérique èOutil de calcul dans les cadres algébrique et fonctionnel ðModèle de la compétence algébrique à ce niveau scolaire

6 Dimensions du savoir algébrique Généralisation/ preuve Calcul algébrique Modélisation fonctionnelle Expressions Equations... Modélisation équationnelle Arithmétique Géométrique … Dimension outil Dimension objet

7 Famille de situations dapprentissage en algèbre élémentaire Point de vue didactique - Découpage multidimensionnel du savoir algébrique (Grugeon et al. 2003) - Problème (ou tâche) fondamental(e) Variables didactiques : expressions algébriques, problèmes arithmétiques (Bardini 2003, Brousseau 1982, Coulange 2001) - Réponses a didactiques du système aux actions délèves (Brousseau 1986) Point de vue EIAH (Delozanne et Dubourg 1995, Grugeon et al. 2003)

8 Un exemple : nBouchons les trous

9 « Bouchons les trous » (René de Cotret)

10 Famille de situations : « Bouchons les trous » nObjectif dapprentissage : èMettre en équation des problèmes nTâche : èCompléter le libellé dun problème à partir dune ou plusieurs équations données ou linverse nParamètres è T âches èInteractions (système-élève) associées

11 Paramètres nParamètres : nliés aux variables didactiques relatives à lénoncé via le canevas è Nature du problème donné : relations numériques en jeu dans le problème, forme écrite plus ou moins congruente avec les équations. è Les équations données : nombre déquations et dinconnues, équations de forme plus ou moins congruente avec lénoncé è Le (ou les) trou(s) : nombre de trous, au sein du problème ou de léquation, contenu du trou (opérateurs, données numériques, etc.)… nliés aux variables relatives actions et stratégies du système è type de suivi, rétroactions logicielles ( analyse a priori) è outils mis à disposition (palette de mots ou de chiffres, feuille de calcul,..)

12 Prototype CIME : Problèmes de type rapport et différence générés automatiquement

13 Énoncé Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de Pierre. Or Marie en a que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? Équations x = 4 y x - y = 36 Complète lénoncé, en étudiant les équations foismoins plusde Continuer

14 Énoncé Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de Pierre. Or Marie en a que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? 4 fois plus Équations x = 4 y x - y = 36 x désigne le nombre de billes de y désigne le nombre de billes de Marie Pierre Marie Pierre 36 de moins Revenir à lénoncé Continuer

15 Avec : x désigne le nombre de billes de Marie et y désigne le nombre de billes de Pierre Énoncé Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de Pierre. Or Marie en a que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? Équations x = 4 y x - y = 36 4 fois plus 36 de moins Revenir à lénoncé lénoncé : Il y a quatre fois plus de billes dans le sac de Marie que dans celui de Pierre. Or Marie en a 36 de moins que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? se ramène à : x = 4 y y -x = 36

16 Énoncé Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de Pierre. Or Marie en a que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? Équations x = 4 y x - y = 36 Complète lénoncé, en étudiant les équations foismoins plusde x désigne le nombre de billes de Marie et y désigne le nombre de billes de Pierre Continuer

17 Génération dune famille de situations « Bouchons les trous » N fois plus N fois moins P de plus P de moins x = Ny ou x = 1/N y x = y + P ou x = y - P Formulation en langage naturel dun problème rapport et différence variables didactiques : relations (implicites-explicites : congruence sémantique), équations initiales, équations données, trou(s) Génération de situations et dinteractions, liées aux valeurs des variables didactiques

18 Énoncé type : Il y a _____ de billes dans le sac de Marie que dans le sac de Pierre. Or Marie en a ______ que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? x = 2y x = y + 36 ExacteFausse pour 1 er trouFausse pour 2 e trouFausse pour 1 er et 2 e trou Réponse 1 er trou et 2 e trou Fois, plus, moins, de, Chiffres x désigne… y désigne… Nombre de billes de Marie Nombre de billes de Pierre Contradiction désignation des inconnues réponse fausse 1 er /2 e trou et système déquations énoncé correspondant

19 Profil et situations dinteraction adaptées nUne étude de cas

20 Une nouvelle modélisation cognitive Ancien P é pite : èProfil individuel complexe Description quantitative : traitements ma î tris é s Description qualitative sur 6 composantes Diagramme de flexibilit é entre registre nRestructuration des profils : èUn Profil = Un stéréotype + Des caractéristiques personnelles –leviers –fragilités –liste des erreurs

21 Une élève : Blandine nStéréotype èOutil algébrique peu mobilisé et faiblement maîtrisé (9%) èTraduction partiellement maîtrisée (55%) èCalculs insuffisamment réalisés et parfois non opératoires (37%) nLeviers èInterprétation disponible dans le cadre algébrique (55%) è Capacités à passer du langage naturel à lécriture algébrique nFragilités èErreurs de parenthésage, èUsage incorrect des opérateurs (linéarisation et assemblage des termes) nStratégie pour déterminer les situations dapprentissage 1.A partir du stéréotype Travailler en priorité la dimension outil (modélisation équationnelle ou fonctionnelle) 2.Caractéristiques propres de lélève choix de situations dinteraction

22 Situations adaptées à Blandine (1) Généralisation/ preuve Calcul algébrique Modélisation fonctionnelle Expressions Equations... Modélisation équationnelle Arithmétique Géométrique… … Appartenance à un stéréotype : faible maîtrise de loutil algébrique Caractéristiques personnelles de lélève Mise en équation de problèmes type partage en parties inégales

23 Situations adaptées à Blandine (2) Caractéristiques personnelles de lélève Situations de type « Bouchons les trous » Mise en équation et résolution de problèmes somme et rapport… Réussites Langage Algébrique - Trou dans léquation Erreurs liées aux opérateurs Réussites Langage Algébrique - Deux problèmes : somme et rapport

24 Énoncé Marie a huit fois plus de billes que Pierre. Marie et Pierre ont 72 billes ensemble. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? Équations x = x + y = 72 Complète léquation, en étudiant lénoncé xy )( Continuer + -/

25 Énoncé Équations Complète léquation, en étudiant lénoncé xy )( Continuer + -/ Le premier tas contient quatre fois plus de cailloux que le deuxième tas. Le troisième tas a six cailloux de plus que le deuxième tas. Les trois tas contiennent ensemble 60 cailloux. Combien y a-t-il de cailloux dans chaque tas? x = 42

26 Énoncé Il y a deux tas de cailloux. Le premier tas contient six fois plus de cailloux que le deuxième tas. Les deux tas réunis contiennent 42 cailloux. Combien y a-t-il de cailloux dans chaque tas? Équations x = Continuer xy )( + -/ Complète léquation, en étudiant lénoncé


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