« Problèmes ouverts » et « Narration de recherche » en mathématiques

Présentation au sujet: "« Problèmes ouverts » et « Narration de recherche » en mathématiques"— Transcription de la présentation:

1 « Problèmes ouverts » et « Narration de recherche » en mathématiques
La recherche de la vérité est plus précieuse que l’assurance de sa possession (Gotthold LESSING)

2 Le constat A l’entrée en 6ème :
Une majorité d’élèves déclare prendre plaisir à l’activité mathématique En fin de collège : Seule une faible minorité aime encore les mathématiques

3 Une cause plausible : Le système des contrôles condamne les élèves à trouver, et notre enseignement tend à un dressage à résoudre des exercices type et son remède : Il suffit pourtant de considérer que chercher est en soi une activité formatrice

4 Nouveau programme : « Il est en effet possible de se livrer à partir d’un nombre limité de connaissances à une activité mathématique véritable, avec son lot de questions ouvertes, de recherches pleines de surprises, de conclusions dont on parvient à se convaincre. »

5 « La véritable activité mathématique consiste à:
Identifier et formuler un problème Conjecturer un résultat en l’expérimentant Bâtir une argumentation Contrôler les résultats obtenus Communiquer une recherche Mettre en forme une solution »

6 Objectifs du problème ouvert
Les problèmes ouverts sont destinés à développer un comportement de recherche et des capacités d’ordre méthodologiques: Faire et gérer des essais Faire des hypothèses, imaginer des solutions Éprouver leur validité Argumenter

7 Un exemple : «Où peut-on placer le point I pour que les triangles TOI et MOI aient le même périmètre?»

8 Problème ouvert : Une activité comparable à celle du chercheur mathématicien: chercher une solution personnelle avec les moyens du bord. Des solutions diverses et variées Une large place laissée à l’initiative La mise en oeuvre de la démarche scientifique

9 Mais comment évaluer cette mise en œuvre d’une démarche scientifique ?
La Narration de Recherche

10 Qu’est-ce qu’une Narration de Recherche ?
Une Narration de Recherche est l’exposé détaillé écrit par l’élève lui-même des activités qu’il met en œuvre lors de la recherche des solutions d’un problème mathématique.

11 La genèse Créé par les membres du groupe Géométrie de l’IREM de Montpellier, au début des années 1990, suite au constat que des élèves cherchaient beaucoup alors que bien peu de traces en restait sur la copie.

12 Intérêts de la NdR: 1°) pour la classe
Chercher est en soi une activité formatrice, visant à développer l’esprit critique Chercher donne le droit à l’erreur C’est détruire le mythe selon lequel il n’y a qu’une façon de résoudre un problème

13 Intérêts de la NdR: 2°) pour chaque élève
Favoriser les NdR, c’est aussi : manifester un intérêt pour la singularité de l’élève lui donner un espace de liberté dans lequel il peut s’engager personnellement

14 Intérêts de la NdR: 3°) pour la maîtrise de la langue
Bien que la NdR ne soit pas en soi un exercice de français, la nécessité qu’ont les élèves de devoir expliquer leur démarche donne du sens à la recherche de l’amélioration du langage

15 Intérêts de la NdR: 4°) pour le professeur
Découvrir pour chaque élève son cheminement intellectuel Mieux apprécier le degré d’assimilation des connaissances Favoriser un échange plus personnel en donnant à chacun des conseils plus ciblés Eviter totalement les devoirs copiés

16 Les difficultés Faire comprendre aux élèves ce qu’on attend d’eux
Bien libeller l’énoncé Prendre le temps d’annoter abondamment la copie Evaluer

17 Pourquoi évaluer les NdR ?
Pour équilibrer le système actuel d’évaluation essentiellement fondé sur les contrôles . Pour ne plus défavoriser les élèves lents mais méthodiques Pour relancer l’intérêt des élèves pour la recherche

18 L’évaluation d’une NdR les problèmes :
Les élèves ont un vaste choix de liberté, il n’y a : ni corrigé type auquel se référer ni questions intermédiaires pour bâtir un barème Il faudra évaluer subjectivement en prenant largement en compte l’investissement personnel de l’élève.

19 L’évaluation d’une NdR les solutions :
Il faut évaluer conjointement : La narration : la précision du texte la sincérité du récit la chronologie de la recherche La recherche : des interrogations sur l’énoncé des essais une argumentation des vérifications une conclusion critique

20 L’évaluation d’une NdR les solutions :
Se reporter aux 4 compétences de la démarche scientifique : I : rechercher l’info utile R : réaliser des essais, des calculs… A : argumenter P : Présenter un résultat

21 Le point de vue des élèves
Une narration de recherche : c’est plus intéressant, ça demande davantage de travail, ça fait davantage réfléchir qu’un devoir classique

22 Le point de vue des élèves (2)
« Moi, je préfère les narrations, même si je suis nul, c’est moins ennuyant que les devoirs classiques. » « D’un côté, c’est bien, ça nous fait chercher, d’un autre, ça fait beaucoup trop travailler la tête. J’ai eu ma dose des narrations de recherche. »

23 Le point de vue des élèves (3)
« C’est important de chercher car en même temps on apprend et on pourra mieux comprendre. » « Avant je croyais qu’il n’y avait pas besoin de bien savoir le français pour bien réussir les maths. Mais non, pour mieux réussir, il faut bien savoir le français. » « Avant, j’avais du mal à m’exprimer oralement »

24 Le choix du sujet Il faut un problème ouvert :
qui offre plusieurs angles d’attaque dont l’énoncé soit facile à comprendre dont la solution puisse être aisément validée par une vérification

25 Des exemples : 1) Le champ de Teiki
« Dans son champ, Teiki veut faire un enclos pour son cheval. Il dispose d’une clôture de 240m de long et pour que son cheval ait de la place pour brouter, il veut que son enclos soit le plus grand possible (c’est-à-dire ait la plus grande aire). Il ne sait pas quelle forme donner à son enclos. Quel conseil donnerais tu à Teiki ? »

26 Des exemples : 2) Les diagonales des polygones
« Les diagonales d’un polygone sont les segments qui relient 2 sommets non consécutifs (qui ne se suivent pas) Par exemple, sur cet heptagone, j’ai tracé 4 diagonales (il y en a d’autres). Recherche combien il y a de diagonales dans un triangle, un quadrilatère, un pentagone (5 côtés), un hexagone, un dodécagone (12 côtés), un polygone à n côtés. Calcule alors le nombre de diagonales d’un polygone à 2006 côtés. »

27 Encore des exemples : 3) Développement décimal d’une fraction
« Quelle est la 2015ème décimale du développement décimal de la fraction 22/7 ? » 4) Orthocentre « A quelle(s) condition(s) l’orthocentre d’un triangle est il à l’extérieur du triangle ? »

28 Bibliographie : EXPÉRIENCES DE NARRATION DE RECHERCHE EN MATHÉMATIQUES, collectif, Les éditions du Kangourou 2002 LES NARRATIONS DE RECHERCHE, de l’école primaire au lycée, collectif, co-édition de l’IREM de Montpellier et de l’APMEP, décembre 2002 DES PROBLEMES POUR CHERCHER, document d’accompagnement des programmes de cycle 3, sur PROBLEMES OUVERTS, conférence de Eve Fonteneau, sur le site académique de Nouvelle-Calédonie