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Les fractionsLes fractionsLes fractionsLes fractions.

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1 Les fractionsLes fractionsLes fractionsLes fractions

2 Fractionner Si on partage cette surface en cinq parties identiques, on obtient cinq morceaux plus petits. Chaque morceau est une fraction de la surface initiale.

3 Le nombre de morceaux détermine la taille de la fraction. Ici, il y a 5 morceaux. Chaque morceau représente une partie sur les 5 parties constituant la surface entière.

4 1515 1515 1515 1515 1515 Chaque morceau représente une partie sur les 5 parties constituant la surface entière. C’est pourquoi on la désigne par l’écriture 1 5 Dans cette écriture, le nombre 5 est placé sous la barre de fraction et porte le nom de dénominateur car c ’est celui qui donne le nom de la fraction. 5 parties : ce sont des cinquièmes.

5 Chaque morceau représente une partie sur les 3 parties constituant la surface entière. On le désigne par 1 3 3 parties : ce sont des tiers. 1313 1313 1313

6 Fractions unitaires Tout partage d ’ une surface fait ainsi appara î tre de nouvelles unit é s de surface qui sont des fractions de la surface initiale. De telles fractions sont appel é es des fractions unitaires. 1212 1212 2 parties Ce sont des demis

7 1 4 1 4 1 4 1 4 4 parties Ce sont des quarts

8 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 6 parties Ce sont des sixièmes

9 1 6 1 6 1 6 1 6 Si on rassemble quatre morceaux qui sont tous des sixièmes,

10 1 6 1 6 1 6 1 6 4 6 On obtient une nouvelle fraction équivalente à quatre sixièmes. Le nombre placé au-dessus de la barre de fraction indique le nombre de morceaux. On appelle ce nombre le numérateur (du latin numerator : qui énumère)

11 De quoi s ’ agit-il? Ce sont des douzi è mes. 5 13 7 24 6 7 12 7 Combien y en a-t-il? sept Il y en a sept. De quelle fraction s’agit-il?

12 De quoi s ’ agit-il? Ce sont des seizi è mes. Combien y en a-t-il? Il y en a cinq. De quelle fraction s ’ agit-il? 5 16 123 45 5

13 De quoi s ’ agit-il? Ce sont des trenti è mes. Combien y en a-t-il? Il y en a onze. De quelle fraction s ’ agit-il? 11 30 123 45 78 9 11 10 6 11 30

14 1 8 1 2 1 6 1 5 1 4 1 3 Plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite.

15 Fraction de fraction 1313 1313 1313 1 12 On partage en trois, on obtient des tiers On les partage en quatre, on obtient des quarts de tiers. 1 3  1 4 1 12 =

16 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 10 1 5  1 2 1 = La moitié d’un cinquième

17 1 100 Chaque bande représente un dixième On les partage en dix; on obtient cent morceaux. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

18 1 100 1 10  1 1 100 =

19 Une règle de 1 m Fractions décimales

20 Une règle de 1 mQue l’on partage en 10 morceaux

21 12345678910 On obtient des dixièmes de mètre c’est à dire des décimètres. 1 10 1 dm = m

22 123456789 Si on agrandit un décimètre Et qu’on le partage encore en 10

23 123456789

24 3,13,23,33,43,53,63,73,83,9

25 1234567893,13,23,33,43,53,63,73,83,9 On obtient des dixièmes de décimètre c’est à dire des centimètres. 1 10 1 cm = dm = 1 100 m Car il y en a 100 dans un mètre.

26 3,13,23,33,43,53,63,73,83,9 Si on agrandit un centimètre Et qu’on le partage encore en 10

27 3,313,323,333,343,353,363,373,383,39 On obtient des dixièmes de centimètre c’est à dire des millimètres. Car il y en a 1 000 dans un mètre. 1 10 1 mm = cm = 1 100 dm= 1 100 m

28 Parties enti è re et d é cimale 5 13 7 24 6 7 12 5 13 7 24 6 7 13 14 5 13 9 24 6 8 12 7 11 10 Si on ajoute On obtient + 14 12 = et

29 13 14 5 13 9 24 6 8 12 7 11 10 1 2 12 Soit +

30 1 2 12 + 14 12 = 1 + 2 12 = 1 + 2 12 1 est la partie entière est la partie décimale ou fractionnaire 2 12

31 23 18

32 123456 121110987 131415161718 23 18 = 1 + 5 18 1920212223 1 5/18 23 18

33 29 9

34 9 = 3 + 2 9 29 9 192021 242322 252627 2829123 654 789 101112 151413 161718 123 2/9

35 2 + 3 4 12 12 3

36 12 3 3 4 12 12 43 56 87 910 11 4 2 + 3 4 =

37 1 + 4 5

38 4 5 9 5 4 5 = 11234216738495

39 Fractions é gales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 On partage un disque en douze parties comme une pendule. Chaque heure représente un douzième du disque.

40 3 3 douzièmes 2 1

41 3 2 1 forment un seul morceau trois fois plus grand

42 1 23 4 1 4 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 3 =

43 1 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 23 4 1 4 3 = Il y a trois fois moins de morceaux Ils sont trois fois plus grands

44 1 4 3 12 = Il y a trois fois moins de morceaux Ils sont trois fois plus grands  3 3  3 3

45 1 4 3 12 = Il y a trois fois plus de morceaux Ils sont trois fois plus petits  3 3  3

46 Transformation des fractions On obtient des fractions égales en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

47 10 15 2 3 =  5 5  5 5 1 15 1 15 1 15 1 15 1 15 1 15 1 15 1 15 1 15 1 15 1 15 1 15 1 15 1 15 1 15 10 15 1313 1313 On regroupe les quinzièmes par 5 pour former des tiers. Il y a cinq fois moins de morceaux. Ils sont cinq fois plus grands.

48 1313 1313 1313 Inversement

49 2323

50 On partage les tiers en cinq pour obtenir des quinzièmes. 2323

51 12 34 56 78 910 On partage les tiers en cinq pour obtenir des quinzièmes.

52 2 3 10 15 =  5 5  5 5 12 34 56 78 910

53 12 34 56 78 9 2323 15 = 2 3 10 15 =  5 5  5 5 Il y a cinq fois plus de morceaux. Ils sont cinq fois plus petits.

54 1 4 3 12 =  3 3  3 3 2 7 8 28 =  4 4  4 4 3 11 15 55 =  5 5  5 5 5 8 30 48 =  6 6  6 6 De la même façon :

55 18 24 3 4 =  6 6  6 6 4 16 1 4 =  4 4  4 4 33 88 3 8 =  11 2323 1717 23 17 =  101 Mais aussi : Dans ces exemples, on dit que l’on simplifie les fractions; parce que l’on tend à « simplifier » les nombres qui la composent, c’est à dire à les rendre plus petits.

56 Fractions irr é ductibles Une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut pas la simplifier 3 4 5 16 2 11 20 31 sont irréductibles 12 16 est simplifiable 12 16 3 4 =  4 4  4 4 qui est irréductible

57 Comparer des fractions Comparer des fractions, c’est pouvoir les classer par ordre de valeurs. Un moyen est d’en calculer des valeurs décimales exactes ou approchées. Un autre moyen est de les comparer par leurs numérateurs ou par leurs dénominateurs.

58 R é duire au même num é rateur

59

60 123451234567

61 4545 6767

62 6767 123456789101112 13 14 4545 12345678910111213 14 15 Il y a le même nombre de morceaux (12) 12 15 4 5 = 12 14 6 7 =

63 6767 123456 789101112 13 14 4545 1234 5678 9101112 13 14 15 Mais les quinzièmes sont des morceaux plus petits que les quatorzièmes 4 5 12 15 = 6 7 12 14 =

64 6767 123456 789101112 13 14 4545 1234 5678 9101112 13 14 15 12 15 12 14 <

65 6767 13 14 4545 13 14 15 4 5 6 7 < Donc

66 R é duire au même d é nominateur

67

68 123456 5656 123 456 789 7 9

69 7 9 5656 5 6 7 9

70 5 6 7 9

71 14 18 5 6 = 15 18 12345 678910 1112131415 16 17 18 7 9 = 123456 789101112 131415161718 Les morceaux sont de même taille. On peut comparer les nombres de morceaux

72 14 18 5 6 = 15 18 12345 678910 1112131415 16 17 18 7 9 = 123456 789101112 131415161718 15 > 14, donc 5 6 > 7 9

73 Op é rations avec les fractions Fraction d ’ une grandeur Fraction d ’ une grandeur Addition, soustraction Addition, soustraction Multiplication Multiplication

74 Fraction d ’ une grandeur 3 4  20 5 cm 4 cm 20 cm²

75 Fraction d ’ une grandeur 3 4  20 20 cm² 5555 20 4 = 5

76 Fraction d ’ une grandeur 3 4  20 4 = 5 20 cm² 5  3 = 15 3 4  20 4  3 = 5  3 = 15 = 5555 15

77 3 4  20 60 4 = 15 20 cm² 20  3 = 60 20 cm² 60 cm² 3 4  20 20  3 4  = 15= = 60 4 15

78 3 4  20 Pour calculer : 3 4  20 4  3 = 5  3 = 15 = 3 4  20 20  3 4  = 15= = 60 4 3 4  20  15= 0,75  20 = Ou encore :

79 a b  c Pour calculer : a  b  ca b a b  c 1 ère manière

80 a b  c Pour calculer : c  b  ac b c b  a 2 ème manière

81 a b  c Pour calculer : a  c  b a  c a  c b 3 ème manière

82 5 8  32 Pour calculer : 5 8  32 8  5 = 4  5 = 20 = 5 8  32 5  32 8  = 20= = 160 8 5 8  32  20= 0,625  32 = Ou encore :

83 Addition des fractions

84 1414 1313

85 1414 1313

86 1414 1313

87 1414 1313

88 1414 1313

89 1414 1313

90 1414 1313

91 1414 1313

92 1414 1313

93 1414 1313

94 1414 1313

95 1414 1313

96 1414 1313

97 1414 1313

98 1414 1313

99 1414 1313

100 1414 1313

101 1414 1313

102 1414 1313

103 1414 1313

104 1313 1414

105 1313 1414

106 1313 1414

107 1313 1414

108 1313 1414

109 1313 1414

110 1313 1414

111 1313 1414 ?

112 1313 1414 ? On obtient deux morceaux, mais de tailles différentes.

113

114

115 6 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 7 = 7 = 1 4 + 1 3 3 + 4 On peut maintenant compter les morceaux ensemble car ils sont de même taille.

116 8 9 10 11 12 On peut maintenant compter les morceaux ensemble car ils sont de même taille. 1313 1414 7 12 = 7 = 1 4 + 1 3 3 + 4

117 Pour ajouter des fractions, et exprimer la somme comme une seule fraction, il faut qu ’ elles aient le même d é nominateur. Réduire au même dénominateur

118 123456712 34567891011121314 = 4 7 = 3 7 + 2 3 + 1 77 123121234567 1 1234

119 123 = 7 10 = 3 + 2 5 3 + 4 456789 1234512312124356789 12431234576

120 = 19 9 = 4 3 + 7 9 12 + 7 99 = 47 12 = 7 6 + 11 4 14 + 33 12 = 47 24 = 5 8 + 4 3 15 + 32 24 = 103 126 = 13 42 + 32 63 39 + 64 126

121 = 5 9 = 4 3 - 7 9 12 - 7 99 = 7 = 11 6 - 5 4 22 - 15 12 = 11 24 = 9 8 - 2 3 27 + 16 24 = 5 126 = 23 42 - 32 63 69 - 64 126

122 Fraction de fraction L’écriture 4 5  1 2 désigne la moitié de 4 5 1234 5 4545

123 Fraction de fraction L’écriture 4 5  1 2 désigne la moitié de 4 5 Pour partager en deux, on divise par deux le nombre de cinquièmes. On obtient : 4 5 1234 4545 2525 2525 4 5  1 2 2 5 =

124 Pour partager en trois, on divise par trois le nombre de cinquièmes. On obtient : 3 5 3 5  1 3 1 5 =

125 Mais pour partager en quatre, c’est moins immédiat, car le numérateur n’est pas un multiple de 4 3 5 Au lieu de partager le nombre de morceaux, on partage les morceaux eux-mêmes. 123 3535 1234567891011121314151617181920

126 Mais pour partager en quatre, c’est moins immédiat, car le numérateur n’est pas un multiple de 4 3 5 Au lieu de partager le nombre de morceaux, on partage les morceaux eux-mêmes. 123 3535 12345 678910 1112131415 1617181920

127 123 3535 12345 678910 1112131415 1617181920 123123123123123123123123123123123123123123123123123123 3 5  1 4 3 =

128 Pour diviser une fraction par un entier, on peut diviser son numérateur, ou bien multiplier son dénominateur. b c  1 a b/a c = b c  1 a b a  c =

129 Produit de fractions 3 5  7 4 1 4 = 7  1 5  3  1 5 = 7  1 4 3   = 21 1 20  3 5  7 4 = 21 20 (C ’est à dire ) 7  3 4  5

130 2 7  3 5 = 6 35 3  2 5  7 = 4 11  7 3 = 28 33 7  4 3  11 = 5 4  3 4 = 15 16 3  5 4  4 = 7 6  7 4 = 49 24 7  7 4  6 = 5 4  5 4 = 25 16 5  5 4  4 = c d  a b a  c b  d =

131 Fractions inverses 5 3  3 5 = 15 3  5 5  3 == 1 7 4  4 7 = 28 4  7 7  4 == 1 Deux fractions dont le produit est égal à 1 sont appelées des fractions inverses. Par exemple : 5 3 et 3 5 7 4 4 7

132 fin

133 R é duire au même d é nominateur

134 123456 5656 123 456 789 7 9

135 7 9 5656 5 6 7 9

136 5 6 7 9

137 14 18 5 6 = 15 18 12345 678910 1112131415 16 17 18 7 9 = 123456 789101112 131415161718 Les morceaux sont de même taille. On peut comparer les nombres de morceaux

138 14 18 5 6 = 15 18 12345 678910 1112131415 16 17 18 7 9 = 123456 789101112 131415161718 Exemples d’utilisation


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