Enseignante: A. GUERRAB. Introduction : la théorie des probabilités La théorie des probabilités est une science qui a pour but l’étude des expériences.

Présentation au sujet: "Enseignante: A. GUERRAB. Introduction : la théorie des probabilités La théorie des probabilités est une science qui a pour but l’étude des expériences."— Transcription de la présentation:

1 Enseignante: A. GUERRAB

2 Introduction : la théorie des probabilités La théorie des probabilités est une science qui a pour but l’étude des expériences aléatoires; elle vise à construire des modèles mathématiques pour analyser des situations impliquant l’incertitude, et à définir des mesures exactes de cette incertitude par l’intermédiaire de ces modèles.

3 Introduction : notions élémentaires Expérience : Une expérience est tout processus impliquant une certaine intervention humaine. Exemple: 1. Lancer une pièce de monnaie un certains nombre de fois ; 2. Observer le nombre de pièces défectueuses dans un lot de pièces ; 3. Observer le nombre de clients qui entrent dans un supermarché durant une journée ; 4....

4 Introduction : notions élémentaires Expérience aléatoire: Toute expérience qui satisfait aux deux conditions suivantes : 1. On ne peut pas prévoir avec certitude le résultat de l’expérience ; 2. On peut décrire tous les résultats possibles avant l’expérience. Ensemble fondamental S: On appelle ensemble fondamental S, l’ensemble de tous les résultats possibles qui peuvent se produire dans une expérience aléatoire.

5 Introduction : notions élémentaires Ensemble fondamental S: On appelle ensemble fondamental S, l’ensemble de tous les résultats possibles qui peuvent se produire dans une expérience aléatoire. Exemple: On lance deux dés et on note la somme des points obtenus sur chacun d’eux.

6 Introduction : notions élémentaires 1. Description explicite : énumérer tous les éléments de l’ensemble S ; 2. Description implicite : utiliser un formalisme mathématique pour décrire l’ensemble S. Exemple Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer une pièce de monnaie trois fois de suite et à observer la suite de piles (P) ou de faces (F) obtenues. Il existe deux façons permettant de décrire l’ensemble fondamental S :

7 Introduction : notions élémentaires Description explicite

8 Introduction : notions élémentaires Description implicite Résultats de chaque lancé S est un ensemble de triplets Chaque résultat peut être soit Pile ou Face

9 Introduction : notions élémentaires Événement Événement : On appelle événement tout sous-ensemble de l’ensemble fondamental (S) associé à une expérience aléatoire. Les événements sont notés par des lettres majuscules (A, B, C,…) et peuvent être décrit d’une manière implicite ou explicite. On dit qu’un événement A se réalise si et seulement si l’expérience aléatoire donne un des résultats constituant cet événement.

10 Introduction : notions élémentaires Exemple Exemple : Pour contrôler la qualité d’un lot de pièces produites par une machine, on prélève successivement 3 pièces de ce lot et, pour chacune d’elle, on note si elle est bonne (B) ou défectueuse (D). Soit les deux événements suivants :  A : obtenir au moins 2 pièces défectueuses.  B : obtenir une pièce défectueuse au 2 ième tirage et une bonne pièce au 3 ième tirage.

11 Introduction : notions élémentaires Resultat Resultat : L’événement A : obtenir au moins 2 pièces défectueuses L’événement B : obtenir une pièce défectueuse au 2ième tirage et une bonne pièce au 3ième tirage.

12 Introduction : notions élémentaires Exemple  Événement A : n’obtenir aucune pièce défectueuse  Événement B : obtenir exactement une pièce défectueuse  Événement C : obtenir au plus une pièce défectueuse A et B sont incompatibles A implique C Remarques A est un événement simple B et C sont deux événements composés

13 Introduction au calculs de Probabilités Probabilité d’un résultat s  S Sous l’hypothèse d’équiprobabilité pour un ensemble fondamental S contenant N résultats, on assigne à chaque résultat s  S, une probabilité 1/N. P(s) = 1/N où N=|S|  s  S La cardinalité de l’ensemble S

14 Probabilité d’un événement E  S Probabilité d’un événement E  S La probabilité d’un événement E sera définie comme la somme des probabilités de chacun des événements élémentaires qui le constitue. Exemple Exemple Soit l’ensemble fondamental associé à l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé une fois est S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sous l’hypothèse de l’équiprobabilité, on assigne à chacun des 6 résultats une probabilité 1/6. Soit l’événement A = obtenir un nombre pair de points sur le dé. Par définition A = {2, 4, 6} ou comme la réunion de trois événements élémentaires A = {2} U {4} U {6}. Ainsi, P(A) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = 3/6 = 0.5. Introduction au calculs de Probabilités

15 Probabilité d’un événement E  S Probabilité d’un événement E  S Sous l’hypothèse d’équiprobabilité, on appelle probabilité d’un événement E, le nombre réel noté P(E) et défini par : Exemple Exemple Soit l’événement B = obtenir un nombre impair de points sur le dé. Le nombre de cas favorables est 3 puisque B = {1, 3, 5}. Or le nombre de résultats possibles de S est 6 puisque S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Donc, P(B) = 3/6 = 0.5 Introduction au calculs de Probabilités

16 Propriétés: Soient A et B deux événements relatifs à la même expérience aléatoire : 1. P(A)  0 2. P(S) = 1 3. Si A et B sont incompatibles ou mutuellement exclusifs alors P(A  B) = P(A) + P(B) Introduction au calculs de Probabilités

17 Règles Règles Soient E et F deux événements relatifs à la même expérience aléatoire: 1. P(E’) = 1 – P(E) 2. P(  ) = 0 3. Si E  F alors P(E)  P(F) 4. 0  P(E)  1 5. P(E  F) = P(E) - P(E  F’) = P(F) - P(F  E’) 6. P(E  F) = P(E) + P(F) - P(E  F) (règle d’addition ou calcul des probabilités totales) Introduction au calculs de Probabilités

18 Contexte : définition classique de la probabilité  L’ensemble fondamental S est fini  Les résultats de l’ensemble S sont équiprobables  La probabilité d’un événement E, notée P(E), est déterminée de la manière suivante : Il est souvent difficile d’énumérer tous les résultats possibles des ensembles E et S pour calculer P(E) Analyse combinatoire

19 Analyse combinatoire : Contexte et définition Définition Définition L’analyse combinatoire est un ensemble de formules qui ont pour but de dénombrer les différentes dispositions que l’on peut former à partir des éléments d’un ensemble fini. Définition Définition Une disposition est une collection d’éléments. Une disposition peut être :  Ordonnée ou non et  Formée d’éléments Distincts ou non.

20 Analyse combinatoire : contexte et définition Exemples Exemples  Dispositions Ordonnées ou non : Les deux ensembles suivants : A0 = {a, b, c} et A1 = {c, b, a} sont deux dispositions non ordonnées. Les deux ensembles suivants : A0 = {a, b, c} et A1 = {c, b, a} sont deux dispositions non ordonnées. Les deux mots suivants : M1 = abc et M2 = acb sont deux dispositions ordonnées. Les deux mots suivants : M1 = abc et M2 = acb sont deux dispositions ordonnées.  Dispositions formées d’éléments Distincts ou non : La disposition suivante est formée d’éléments distincts : A0 = {1, 2, 3}. La disposition suivante est formée d’éléments distincts : A0 = {1, 2, 3}. La disposition suivante est formée d’éléments non distincts : D0 = {1 ; 1 ; 2 ; 4 ; 4 ; 3}. La disposition suivante est formée d’éléments non distincts : D0 = {1 ; 1 ; 2 ; 4 ; 4 ; 3}.

21 Analyse combinatoire : notions générales En analyse combinatoire, il est important de distinguer deux principes fondamentaux : En analyse combinatoire, il est important de distinguer deux principes fondamentaux : 1. Le principe de multiplication : Si une opération A peut être effectuée de m façons, et si après que A a été effectuée, une deuxième opération B peut être effectuée de n façons, alors les deux opérations successives peuvent être effectuées de m  n façons. 2. Le principe d’addition : Si deux opérations A et B sont mutuellement exclusives et s’il y a m façons de réaliser A et n façons de réaliser B, alors il y a m + n façons de réaliser l’une ou l’autre de ces deux opérations.

22 Analyse combinatoire : Exemples Exemples Exemples Dans une organisation, deux postes différents doivent être comblés. Cinq personnes ont posé leur candidature. De combien de façons différentes peut-on attribuer ces deux postes P1 et P2 ? Réponse Réponse Pour occuper le poste A, il y a cinq candidats possibles. Une fois que le poste A est comblé, il reste 4 candidats possibles pour combler le poste B. Donc, il existe 5 X 4 = 20 façons différentes Opération B : combler le poste 2 une fois le poste 1 est comblé = 4 façons différentes Opération A : combler le poste 1 = 5 façons différentes

23 Analyse combinatoire : Exemples Exemple 2 Exemple 2 De combien de façons peut-on distribuer deux prix différents parmi dix enfants si les deux prix peuvent être accordés à un même enfant ? Réponse Réponse Pour attribuer le prix 1, il y a 10 enfants candidats. Une fois que le prix 1 est attribué, tous les enfants, c’est- à-dire les 10, sont encore candidats pour le deuxième prix puisque le même enfant peut gagner deux prix. Donc, il existe 10 X 10 = 100 façons différentes. Opération B : attribuer le prix 2 une fois le prix 1 est attribué = 10 façons différentes Opération A : attribuer le prix 1 = 10 façons différentes

24 Analyse combinatoire : notions générales La notion factorielle : Définition La notion factorielle : Définition On désigne par factorielle n et l’on note n!, le produit des n premiers entiers positifs. n! = n  (n-1)  (n-2)  …  3  2  1 Par convention, on a 0! = 1 Exemples : Exemples : 4! = 4  3  2  1 = 24 5! = 5  4  3  2  1 = 120 Règle de simplification Calculer 10!/6! ? Réponse : 10!/6! = (10  9  8  7  6!) / 6! = 5040

25 Analyse combinatoire : Arrangement sans répétition Définition Définition Soit un ensemble S de n éléments distincts ; on appelle arrangement sans répétitions de ces n éléments pris à la fois (r  n) toute disposition ordonnée de r éléments distincts choisis dans S. Le nombre de ces dispositions est le suivant :

26 Exemple explicatif Exemple explicatif Soit un ensemble S = {a, b, c, d}, on cherche l’ensemble de toutes les dispositions ordonnées de 2 éléments. Réponse Réponse Analyse combinatoire: Arrangement sans répétition D1 = (a ; b) D2 = (a ; c) D3 = (a ; d) D4 = (b ; c) D5 = (b ; d) D6 = (c ; d) D7 = (b ; a) D8 = (c ; a) D9 = (d ; a) D10 = (c ; b) D11 = (d ; b) D12 = (d ; c) Étape 1 : Étape 1 : On cherche tout d’abord tous les sous-ensembles de 2 éléments qu’on peut construire à partir de A Étape 2 : Étape 2 : On cherche ensuite pour chaque sous-ensemble les différentes dispositions ordonnées qu’on peut avoir

27 Exemple 1 Exemple 1 Dans une compétition de patinage artistique, trois médailles (or, argent, bronze) sont convoitées par douze candidates. De combien de façons l’attribution de ces médailles peut-elle se faire s’il ne peut y avoir d’ex æquo ? Réponse Réponse Rq1 : chaque candidat ne peut avoir qu’une seule médaille. Rq2 : une médaille ne peut être attribuer qu’un seul candidat puisque il ne peut y avoir d’ex æquo. Analyse combinatoire: Arrangement sans répétition Méthode 1 : principe de multiplication Méthode 2 : Arrangement

28 Analyse combinatoire: Arrangement sans répétition Exemple 2 Exemple 2 Dans un groupe on compte 18 filles et 13 garçons. On veut former un comité exécutif de quatre membres pour remplir les postes de président, de vice-président, de secrétaire et de trésorier. De combien de façons peut-on former ce comité : a) s’il n’y a pas de contrainte ? b) si les postes de président et de secrétaire doivent être occupés par une fille et les autres postes par un garçon ?

29 Analyse combinatoire: Arrangement sans répétition Réponse Réponse a) S’il n’y a pas de contrainte ? Méthode 1 : principe de multiplication Méthode 1 : principe de multiplication Méthode 2 : Arrangement a) Si les postes du président et du secrétaire doivent être occupés une fille et les autres postes par un garçon ? Méthode 1 : principe de multiplication Méthode 2 : Arrangement

30 Définition Définition Soit un ensemble S de n éléments distincts ; on appelle arrangement avec répétitions de ces n éléments (r  n) toute disposition ordonnée de r éléments distincts choisis dans S avec répétition. Le nombre de ces dispositions est le suivant : Analyse combinatoire: Arrangement avac répétition

31 Exemple 1: Exemple 1: combien de mots de 3 lettres peut-on former avec l’alphabet ( on ne tient pas compte du sens du mot). Réponse: Réponse: ce nombre de mots est égal au nombre d’arrangement avec répétition de 3lettres parmi les 26 lettres de l’alphabet soit: Analyse combinatoire: Arrangement avec répétition

32 Exemple 2: Exemple 2: Quelle est la capacité théorique d’un standard téléphonique de numéros à 10 chiffres? Réponse: Réponse: Chaque chiffre peut être choisi de 10 façons. On dispose de lignes possibles théoriquement Analyse combinatoire: Arrangement avec répétition

33 Analyse combinatoire: Permutation sans répétition Définition Définition Soit un ensemble A de n éléments distincts ; une permutation sans répétitions de ces n éléments est un arrangement sans répétitions de ces n éléments pris n à la fois. Une permutation sans répétition de n éléments n’est qu’une façon particulière d’ordonner ces éléments. Ainsi le nombre de permutations est déterminé de la manière suivante :

34 Analyse combinatoire: Permutation sans répétition Exemple 1: Exemple 1: Soit un ensemble A = {a, b, c}, on cherche toutes les dispositions ordonnées de ces 3 lettres. Réponse: Réponse: D1 = (a ; b ; c) D2 = (a ; c ; b) D3 = (b ; a ; c) D4 = (b ; c ; a) D5 = (c ; a ; b) D6 = (c ; b ; a) Case 1Case 2Case 3 Objet 1Objet 2Objet 3 3 possibilités Case 1 Case 2 Case 3 2 possibilités Case 1 Case 3 1 possibilité Case 1

35 Analyse combinatoire: Permutation sans répétition Exemple 2 : Exemple 2 : Calculer le nombre de possibilités qu’il y a de ranger sur une étagère de bibliothèque 5 gros livres, 4 livres de grosseur moyen et 3 livres beaucoup plus minces. Sachant que les livres de même dimension sont placés les uns à coté des autres. Réponse : Réponse : G M P 5!4!3!

36 Analyse combinatoire: Permutation sans répétition Exemple 3 : Exemple 3 : Dans le cadre d’un jeu, il faut placer sur une rangée de cinq sièges cinq enfants dont Anne et Pierre. Trouvons le nombre de façons de procéder : a) s’il n’y a pas de contrainte ? b) si Anne et Pierre doivent être assis côte à côte ? c) si Anne et Pierre ne doivent pas être assis côte à côte ? Réponse : Réponse : a)5! = 120 façons différentes. b)Il y a quatre façons pour que Anne et pierre s’assoient l’un à coté de l’autre : APEEE, EAPEE, EEAPE et EEEAP.

37 Analyse combinatoire: Permutation sans répétition Réponse exemple... Réponse exemple... EEEPA 2! 3! = 12 façons différentes Cas 1 EEEAP Cas 2 EEEPA Cas 3 EEEPA Cas 4 2! 3! = 12 façons différentes

38 Analyse combinatoire: Permutation sans répétition Réponse exemple... c) Le nombre de façons pour que Anne et pierre ne soient pas assis l’un à coté de l’autre est le suivant : 5! – 48 = 120 – 48 = 72 façons différentes Le nombre total de permutations Le nombre de permutations pour que Anne soit à coté de Pierre

39 Analyse combinatoire: Permutation avec répétition Définition Définition Soit un ensemble A de n éléments non tous discernables; on repartit ces n éléments en k groupes discernable. Les éléments d’un même groupe sont indiscernables. Le nombre de permutations avec répétitions de ces n éléments est donné par;

40 Analyse combinatoire: Permutation avec répétition Exemple: Exemple: De combien de façon peut-on ranger 5 boules blanche, 3boules noires et 2 boules rouges si l’on suppose indiscernables les boules de même couleur.

41 Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition Définition Soit un ensemble A de n éléments distincts ; toute disposition non-ordonnée de r éléments distincts (r  n) choisis dans A est une combinaison sans répétitions de r éléments pris à la fois. Une combinaison sans répétition est le nombre de sous-ensembles de cardinalité r qu’on peut construire à partir d’un ensemble A de cardinalité n. Ce nombre est déterminé de la manière suivante :

42 Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition Exemple explicatif Exemple explicatif Soit un ensemble A = {a, b, c, d}, on cherche tous les sous-ensembles de cardinalité 2 qu’on peut construire à partir de l’ensemble A. Réponse Réponse SE1 = {a, b} SE2 = {a, c} SE3 = {a, d} SE4 = {b, c} SE5 = {b, d} SE6 = {c, d}

43 Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition Exemple 1: Exemple 1: Dans une université, il y a 5 économistes et 6 sociologues. On doit former un comité composé de 3 économistes et de 3 sociologues. Combien de comités différentes pourrait-on former si : a)Tous peuvent y participer b)Un économiste ne peut y participer c)Deux sociologues doivent absolument faire partie de ce comité.

44 Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition Réponse: Réponse: b) c) a)

45 Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition Exemple 2 De combien de façons on peut sélectionner 4 personnes d’un groupe de 5 couples mariés : a)S’il doit y avoir deux hommes et deux femmes ? b)Si le mari et son épouse ne peuvent être choisis ? Réponse a) b) Il y a cinq cas : Cas1 : choisir 4 homme et aucune femme OU Cas2 : choisir 3 hommes et une femme qui n’est pas l’épouse d’aucun de ces derniers OU Cas3 : choisir 2 hommes et 2 femmes qui ne sont pas épouses d’aucun de ces derniers OU Cas4 : choisir un homme et 3 femmes qui ne sont pas l’épouse de ce dernier OU Cas5 : choisir 4 femmes et aucun homme

46 Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition Réponse exemple 2 … Cas1 : choisir 4 hommes et aucune femme OU Cas2 : choisir 3 hommes et une femme qui n’est pas l’épouse d’aucun de ces derniers OU Cas3 : choisir 2 hommes et 2 femmes qui ne sont pas épouses d’aucun de ces derniers OU Cas4 : choisir un homme et 3 femmes qui ne sont pas l’épouse de ce dernier OU Cas5 : choisir 4 femmes et aucun homme 5 + 20 + 30 + 20 + 5 = 80 façons différentes

47 Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition Exemple 3 Exemple 3 Un club de bridge est composé de cinq couples de gens mariés. Afin d’organiser un tournoi, il faut choisir un comité de quatre membres. De combien de façons ce comité peut-il être constitué : a) s’il n’y a pas de contrainte ? b) si les femmes doivent être représentées ? Réponse Réponse a) b) Une femme 2 femmes3 femmes4 femmes

48 Analyse combinatoire: Combinaison avec répétition Définition: Le nombre de combinaisons de r éléments pris parmi n éléments avec remise est Exemple: Les combinaisons avec répétition à deux éléments de l’ensemble {1,2,3} sont: {1,1},{1,2},{1,3},{2,2},{2,3} et {3,3}

49 Probabilité conditionnelle: Introduction Définition: La notion des probabilités conditionnelles s’introduit chaque fois que l’on dispose d’une information partielle sur le résultat d’une expérience aléatoire. D’une manière générale, il est possible de définir la probabilité d’un événement A sachant qu’on possède une certaine information représentée par un autre événement B. Cette probabilité conditionnelle sera représentée formellement de la manière suivante : L’information qu’on possède ou qu’on connaît

50 Probabilité conditionnelle: Introduction Exemple: on lance un dé à 6 faces. Soient les événements; A « avoir le chiffre 2 » C « avoir un chiffre impair » B « avoir un chiffre pair » D « avoir un chiffre ˃ 0 » P(A sachant que B s’est réalisé) = P(A sachant que B s’est réalisé) = ( ˃ ) P(A) P(A sachant que D s’est réalisé) = 0 ( ˂ ) P(A) P(A sachant que C s’est réalisé) = (=) P(A)

51 Probabilité conditionnelle: Introduction Si A est un événement associé à une expérience aléatoire et B un événement de probabilité non nulle associé à la même expérience aléatoire, alors la probabilité de réalisation de A lorsque B est réalisé s’appelle la probabilité conditionnelle de A sachant B et l’on note :

52 Probabilité conditionnelle: Introduction Exemple: Dans l’expérience aléatoire consistant à lancer deux dés, quelle est la probabilité d’avoir une somme égale à 8 sachant que les deux dés indiquent des résultats différents ? Réponse 36 résultats A : Obtenir une somme égale à 8 B : les deux dés indiquent des résultats différents 5 résultats 30 résultats

53 Probabilité conditionnelle: Indépendance en probabilité Lorsque la réalisation d’un événement B ne modifie pas la probabilité de la réalisation d’un événement A, on dit alors que B est indépendant de A. Définition Les événements A et B sont dit indépendants en probabilité si et seulement si : Note : indépendance versus incompatibilité (ou m.e) Incompatibilité signifie que les deux événements A et B ne peuvent se réaliser simultanément et par conséquent Indépendance signifie que la probabilité de réalisation de l’événement A n’est pas modifiée par la réalisation de l’événement B et par conséquent

54 Exemple: Soit l’expérience consistant à établir la composition d’une famille de trois enfants ; considérons les événements suivants : A: l’aînée est une fille B: le deuxième enfant est une fille C: la famille comprend une suite de deux filles Parmi eux déterminons quelles sont les paires d’événements indépendants. Réponse S = {(f, f, f), (f, f, g), (f, g, f), (g, f, f) (g, g, g), (f, g, g), (g, f, g), (g, g, f)} A = {(f, f, f), (f, f, g), (f, g, f), (f, g, g)} P(A) = 4/8 = 0.5 B = {(f, f, f), (f, f, g), (g, f, f), (g, f, g)} P(B) = 4/8 = 0.5 C = {(f, f, f), (f, f, g), (g, f, f)} P(C) = 3/8 = 0.375 Probabilité conditionnelle: Indépendance en probabilité

55 = {(f, f, f), (f, f, g)} = {(f, f, f), (f, f, g), (g, f, f)} On cherche à savoir si 0.25 = 0.5 * 0.5 oui 0.25 ≠ 0.5 * 0.375 non 0.375 ≠ 0.5 * 0.375 non

56 Probabilité conditionnelle: Indépendance en probabilité Formule des probabilités composées Formule des probabilités composées Découle directement de la définition de la probabilité conditionnelle

57 Probabilité conditionnelle: Indépendance en probabilité Exemple: Exemple: Soit l’expérience qui consiste à tirer au hasard, l’une après l’autre, sans remise, deux ampoules électriques dans une boîte contenant 10 ampoules dont 3 sont défectueuses et 7 sont bonnes. Soient : D i l’événement «l’ampoule choisie au i ème tirage est Défectueuse», i = 1,2. B i l’événement «l’ampoule choisie au i ème tirage est Bonne», i = 1,2. On pourrait s’intéresser à l’événement choisir deux ampoules défectueuses dans les deux tirages : La probabilité associée à cet événement est :

58 Probabilité conditionnelle: probabilité totale Lorsque, dans le cadre de certaines expériences aléatoires, on cherche à évaluer la probabilité d’un événement E, il peut arriver qu’il soit très difficile d’évaluer directement P(E) alors qu’il est assez facile d’évaluer la probabilité de E conditionnée par d’autres événements E i, i= 1,..,n. Dans ce cas, il plus adéquat d’utiliser la formule des probabilités totales. Soit E 1, E 2, E 3,… E n, un groupe d’événements incompatibles deux à deux et dont la réunion est l’ensemble fondamental (partition de S) et soit E un événement quelconque de S alors : Contexte Définition

59 Probabilité conditionnelle: probabilité totale Exemple: Dans un cégep, il y a 3 filles pour 4 garçons. Il est connu que 35% des garçons sont des fumeurs contre seulement 20% des filles. Trouver la probabilité qu’en interrogeant un étudiant au hasard dans ce cégep, on choisisse un fumeur. F : la personne interrogée est une fille G : la personne interrogée est un garçon Réponse E : la personne interrogée est un fumeur P(E) = P(F).P(E/F) + P(G).P(E/G) = (3/7)*(0.2) + (4/7)*(0.35) = 0.286

60 Probabilité conditionnelle: probabilité bayes Dans un premier temps on obtient une partition de S représentée par les événements E 1, E 2, E 3,… E n avec leur probabilité P(E i ), i=1,…,n associée. Dans un deuxième temps, on dispose d’un événement A pour lequel on connaît les probabilités conditionnelles P(A/E i ), i=1,…,n. On demande de calculer P(E i /A), E i est l’un des événements E 1, E 2, E 3,… E n, c’est-à-dire d’évaluer les probabilités de diverses causes de A. Contexte

61 Probabilité conditionnelle: probabilité bayes Soit E 1, E 2, E 3,… E n, une partition de S telle que P(E i )>0, i=1,…,n et soit E i un des événements de cette partition et A un événement quelconque de S alors : Définition

62 Probabilité conditionnelle: probabilité bayes Exemple: Un professeur sait par expérience que la probabilité de réussir son cours est de 0,95 pour l’étudiant(e) qui travaille régulièrement, de 0,5 pour celui ou celle qui travaille plus ou moins et de 0,2 pour qui ne travaille pas du tout. Il estime, de plus, que parmi les élèves qui suivent son cours, 50 % travaillent régulièrement et 35 % travaillent plus ou moins. Si l’on considère un(e) étudiant(e) au hasard dans un groupe auquel ce professeur enseigne, trouver la probabilité : a) qu’il (ou elle) réussisse le cours b) Qu’ayant réussi, il (ou elle) n’ait pas travaillé du tout. Réponse A : l’étudiant(e) qui travaille régulièrement B : l’étudiant(e) qui travaille + ou - C : l’étudiant qui ne travaille pas de tout R : réussir le cours

63 Probabilité conditionnelle: probabilité bayes P(R) = P(A).P(R/A) + P(B).P(R/B) + P(C).P(R/C) = (0.5)*(0.95) + (0.35)*(0.5) + (0.15)*(0.2) = 0.68 b) a) Formule de Probabilité totale Formule de Bayes

64 Enseignante: A. GUERRAB