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1 AMPERES Enseigner de façon dynamique létude de la géométrie dans lespace en classe de seconde.

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1 1 AMPERES Enseigner de façon dynamique létude de la géométrie dans lespace en classe de seconde

2 2 RECIT dEXPERIENCES Année Année IREM de Clermont-Ferrand - Lycée Montdory de Thiers

3 3 OBJECTIFS Enseigner de façon dynamique le chapitre relatif à la géométrie de lespace en classe de seconde Enseigner de façon dynamique le chapitre relatif à la géométrie de lespace en classe de seconde –Dans le respect du programme officiel et en sappuyant sur les commentaires du document daccompagnement –Motiver le cours en évitant dénumérer a priori une suite dénoncés admis ( propriétés dincidence) –Comment faire que ces énoncés apparaissent comme des éléments constitutifs de réponses à des questions

4 4 TYPES DE TÂCHES T 1 : Calculer des grandeurs géométriques: T 1 : Calculer des grandeurs géométriques: longueurs, aires, volumes longueurs, aires, volumes T 2 : Déterminer des sections planes de solides T 2 : Déterminer des sections planes de solides T 3 : Représentation plane dun solide de lespace T 3 : Représentation plane dun solide de lespace T 4 : Construire un patron de solide et construire un solide à partir dun patron T 4 : Construire un patron de solide et construire un solide à partir dun patron

5 5 AER proposées Initiées par trois problèmes 1.Réalisation de patrons de pyramides à partir dune représentation en perspective ( T 4 et T 3 ) 2.Détermination dune pyramide à base carrée de volume maximal (T 1 et T 4 ) 3.Coupe par un plan dune pyramide ( T 2 et T 4 )

6 6 DEROULEMENT 1. Expérience sur deux classes 2. Prise en compte de la gestion du temps 3. Séances en classe entière, en module ou en TP informatique 4. Pour la totalité des activités, travail en groupe (3 ou 4 élèves par groupe)

7 7 Première AER: Réalisation dun patron de pyramide à partir dune représentation en perspective cavalière Présentée en deux temps: premier temps: lire une représentation deuxième temps: construire le patron dune pyramide à base quadrilatère

8 8 Dans une des deux secondes On distribue la figure ci-contre sans commentaire Question: peut-on construire un patron de cette pyramide et en calculer le volume ?

9 9 Dans une des deux secondes au collège des représentations en perspective cavalière mais plus rarement une démarche réciproque Sinterroger sur les a priori La majorité des élèves ne voit quune pyramide régulière et réalise le patron dune telle pyramide Questionnement: « Etes-vous sûrs que la base est un carré? les triangles équilatéraux, isocèles? Si oui, qui vous permet den être sûrs? » Enoncé de quelques règles de la perspective cavalière

10 10 Les patrons - Les possibles Les possibles Les possibles - Les non valables Les non valables Les non valables

11 11 Dans une autre seconde Situation plus radicale Question: Peut-on construire cet objet?

12 12 Dans une autre seconde Comme dans lautre classe confection de pyramide à base carrée Relance de la réflexion par le questionnement du professeur Propositions dautres possibles correspondant à la vue opaque Propositions après que le professeur a précisé que cest une pyramide Vers la représentation en perspective cavalière

13 13 Les patrons Construire le patron dune pyramide à base quadrilatère: - un seul groupe traitant du cas où le quadrilatère est un rectangle réussit à construire un patron satisfaisant - des « patrons » qui ne se referment pas: - représentation des arêtes - il ne suffit pas quune même arête du solide se retrouve sur le patron représentée par des segments de même longueur

14 14 Les patrons Un « patron » (étoilé) de pyramide à base quadrilatère étant donné, comment sans le replier, peut-on savoir sil se ferme? En dautres termes, ce qui a lallure dun patron en est-il un? A lissue de la séance, recherche à la maison suivie dune séance informatique. Observation: les hauteurs des triangles du patron passent toutes par le projeté H du sommet de la pyramide

15 15 Les patrons

16 16 Les patrons

17 17 Deuxième AER: Construire une pyramide de base carrée et de volume maximal Objectif: que chaque élève dispose de la maquette dune pyramide régulière pour tenter de visualiser une coupe par un plan dans la troisième AER.

18 18 Première variante dans une classe Question: La pyramide est à base carrée et les faces triangulaires sont des triangles équilatéraux. La longueur du côté du carré étant un entier de cm, construire un patron sur une feuille A4 afin dobtenir la figure la plus grande possible. Calculer le volume du solide obtenu. Sujet de réflexion à travailler à la maison puis comparaison en classe de deux patrons possibles

19 19 LES DEUX PATRONS Patron étoilé Patron allongé

20 20 Deuxième variante dans lautre classe QuestionQuestion: On suppose que lobjet précédent a une base carrée. On dispose dune feuille carrée de côté 18 cm. Peut-on construire un tel objet de volume maximal? Réinvestir le chapitre sur les fonctions

21 21 Troisième AER: La coupe dune pyramide par un plan

22 22 Problème posé dans la première classe SABCD est une pyramide ayant pour base le carré ABCD et les faces triangulaires sont équilatérales. On construit les points P,Q et R tels que P est le milieu de [AS] avec BQ= 1/5 BA et R Є [BC] avec BR= ¼ BC. On sectionne la pyramide par le plan passant par P,Q et R et on conserve la partie ne comprenant pas le sommet. Comment faire le patron du nouveau solide obtenu ? BQ= 1/5 BA et R Є [BC] avec BR= ¼ BC. On sectionne la pyramide par le plan passant par P,Q et R et on conserve la partie ne comprenant pas le sommet. Comment faire le patron du nouveau solide obtenu ?

23 23 Problème posé dans la première classe Technique dite du tracé « hors solide » non connu par les élèves et il convient de la leur faire découvrir Technique dite du tracé « hors solide » non connu par les élèves et il convient de la leur faire découvrir Difficultés pour comprendre le problème Difficultés pour comprendre le problème

24 24 Problème posé dans la première classe Travail au préalable sur la maquette réalisée précédemment: essayer dimaginer la forme de la section en la traçant à main levée Travail au préalable sur la maquette réalisée précédemment: essayer dimaginer la forme de la section en la traçant à main levée Intervention du professeur dans les groupes Intervention du professeur dans les groupes -Quelles faces sont sectionnées? -Quel tracé exact peut-on déjà faire? - Comment trouver un autre point dans la face SBC? Comment trouver un autre point dans la face SBC?Comment trouver un autre point dans la face SBC? - nécessité de travailler sur le dessin en perspective cavalière - exploitation de la technique dite du tracé hors solide

25 25 Problème posé dans la première classe Réalisation du patron du nouveau solide - Examiner ce qui se passe pour chaque face Examiner ce qui se passe pour chaque faceExaminer ce qui se passe pour chaque face - construction du « couvercle » construction du « couvercle »construction du « couvercle »

26 26 Problème posé dans la première classe Bilan: Bilan: -Le tracé hors solide invite, en sortant du solide, à travailler avec des plans, des droites. -On peut se demander alors quelles sont les positions respectives et en faire un bilan sous forme de tableau. -Le tracé hors solide justifie quon sy intéresse et en même temps les règles dincidence le justifient.

27 27 Problème posé dans la deuxième classe Ce nest quune variante avec des positions symétriques: SABCD est une pyramide ayant pour base le carré ABCD et les faces triangulaires sont équilatérales. On construit les points P,Q et R tels que P est le milieu de [AS] avec BQ= ¼ BA et R Є [BC] avec BR= ¼ BC. On sectionne la pyramide par le plan passant par P,Q et R et on conserve la partie ne comprenant pas le sommet. Comment faire le patron du nouveau solide obtenu ? BQ= ¼ BA et R Є [BC] avec BR= ¼ BC. On sectionne la pyramide par le plan passant par P,Q et R et on conserve la partie ne comprenant pas le sommet. Comment faire le patron du nouveau solide obtenu ?

28 28 CONCLUSION Engagement des élèves dans létude des problèmes proposés. Engagement des élèves dans létude des problèmes proposés. Lessentiel du programme a été traité. Lessentiel du programme a été traité. Lusage des patrons et leurs manipulations nous ont semblés décisifs. Lusage des patrons et leurs manipulations nous ont semblés décisifs. Cours non donné a priori qui se construit en synthèse des activités, des interrogations et des réponses apportées par les élèves. Cours non donné a priori qui se construit en synthèse des activités, des interrogations et des réponses apportées par les élèves.


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