La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

IREM de POITIERS - LYON 05 091 Le programme de 6° organisé autour de la notion de grandeur « Les mathématiques ont pour objet de mesurer, ou plutôt de.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "IREM de POITIERS - LYON 05 091 Le programme de 6° organisé autour de la notion de grandeur « Les mathématiques ont pour objet de mesurer, ou plutôt de."— Transcription de la présentation:

1 IREM de POITIERS - LYON Le programme de 6° organisé autour de la notion de grandeur « Les mathématiques ont pour objet de mesurer, ou plutôt de comparer les grandeurs ; par exemple les distances, les surfaces, les vitesses, etc. » Bossut, 1784 Recherche du Groupe Collège IREM de POITIERS

2 IREM de POITIERS - LYON Organisation générale du travail Structurer le programme de 6° autour de PER PER construits sur 6 grandeurs permettant de recouvrir les contenus du programme de 6° Chaque PER est construit autour de grandes questions qui organisent létude de la grandeur.

3 IREM de POITIERS - LYON Mises en œuvre présentées Aires 2008 Angles 2009 « Lart de prendre la valeur des Angles est une opération dun grand usage & dune grande étendue dans lArpentage, la Navigation, la Géographie, lAstronomie, &c. » LEncyclopédie, art. Angle 1751 « Mais létude des aires et des volumes a une utilité plus haute quil faut envisager : elle fait comprendre comment, pour des fins pratiques, les hommes ont pu être conduits à construire la géométrie et elle justifie leur effort. » Lebesgue, La mesure des grandeurs, 1935

4 IREM de POITIERS - LYON ANALYSE Un constat & Un questionnement Pourquoi ces choix ?

5 IREM de POITIERS - LYON Une myriade de connaissances et de capacités Un constat : Un constat : présentation des programmes (1)

6 IREM de POITIERS - LYON Présentation des programmes (2) Quelques grands domaines Collège Organisation et gestion de données, fonctions Nombres et Calculs Géométrie Grandeurs et mesures

7 IREM de POITIERS - LYON Un questionnement sur les raisons dêtre des mathématiques Des techniques sans raison dêtre : ajouter des fractions développer, factoriser rendre rationnel un dénominateur étudier des figures calculer une longueur, un angle… Savoir doù viennent et à quoi servent ces techniques, et pourquoi les hommes les ont inventées permet de comprendre ce que sont les mathématiques, cest pouvoir donner du sens à leur enseignement.

8 IREM de POITIERS - LYON Conséquence Recontextualiser les techniques dans létude des problèmes dont soccupent les mathématiques. Doù, recherche sur les questions et les outils. – Quelles sont les questions dont soccupent les mathématiques ? – Quels sont les outils quelles ont élaborés pour y répondre ? « Il ny a pas des problèmes quon se pose, il y a des problèmes qui se posent. Il ny a pas de problèmes résolus, il y a seulement des problèmes plus ou moins résolus. » H. Poincaré

9 IREM de POITIERS - LYON Les deux axes de la recherche Revenir aux sources du savoir : histoire, épistémologie Chercher où vivent les mathématiques dans notre société : écologie des savoirs Cerner les enjeux des grands domaines des mathématiques

10 IREM de POITIERS - LYON Les grands domaines des mathématiques Arithmétique Arithmétique Géométrie Géométrie Algèbre Algèbre Analyse Analyse Statistiques Statistiques et probabilités et probabilités Collège Organisation et gestion de données, fonctions Nombres et Calculs Géométrie Grandeurs et mesures Seconde Statistiques, Calcul et fonctions, Géométrie

11 IREM de POITIERS - LYON « « Les mathématiques ont pour objet de mesurer, ou plutôt de comparer les grandeurs ; par exemple les distances, les surfaces, les vitesses, etc. Elles se divisent en mathématiques pures et en mathématiques mixtes. Les mathématiques pures considèrent la grandeur dune manière simple, générale et abstraite … Elles comprennent : 1°) Larithmétique ou lart de compter 2°) La géométrie qui apprend à mesurer létendue 3°) Lanalyse, science des grandeurs en général 4°) La géométrie mixte, combinaison de la géométrie ordinaire et de lanalyse Les grands domaines des mathématiques La classification de Bossut, 1784 (1)

12 IREM de POITIERS - LYON Les mathématiques mixtes empruntent de la physique … 1°) La méchanique, science de léquilibre et du mouvement des corps solides 2°) Lhydrodynamique qui considère léquilibre et le mouvement des corps liquides 3°) Lacoustique ou la théorie des sons 4°) Loptique ou la théorie des mouvements de la lumière 5°) Lastronomie, science du mouvement des corps célestes. » Les grands domaines des mathématiques La classification de Bossut, 1784 (2)

13 IREM de POITIERS - LYON I. Arithmétique. Définitions (1) Encyclopédie Méthodique, Bossut, 1734 « Cest lart de dénombrer, ou cette partie des Mathématiques qui considère les propriétés des nombres. On y apprend à calculer exactement, facilement, promptement. Larithmétique est la base de toutes les Sciences mathématiques, car les rapports de toutes les espèces de quantités se réduisent finalement en nombres. Quelques auteurs définissent lArithmétique la Science de la quantité discrète. »

14 IREM de POITIERS - LYON I. Arithmétique. Définitions (2) Bézout, 1739 « « On appelle en général, quantité, tout ce qui est susceptible daugmentation ou de diminution. Létendue, la durée, le poids, etc. sont des quantités. Tout ce qui est quantité est de lobjet des Mathématiques ; mais lArithmétique qui fait partie de ces Sciences, ne considère les quantités, quen tant quelles sont exprimées en nombres. LArithmétique est donc la science des nombres : elle en considère la nature et les propriétés ; et son but est de donner des moyens faciles, tant pour représenter les nombres, que pour les composer et décomposer, ce quon appelle calculer. »

15 IREM de POITIERS - LYON I. Arithmétique: ses origines Besoins sociaux : échanges, partages, commerce, évaluation des biens, impôts, héritages, salaires, calendrier… Besoins toujours actuels

16 IREM de POITIERS - LYON I. Arithmétique: les grandes questions Comment dénombrer ? (un troupeau, une récolte…) Comment calculer ? (un prix, une durée, un nombre douvriers…) Comment comparer ? (des masses, des prix, … : problèmes de conversions, de comparaison absolue et relative …) Comment partager ? (des richesses, des biens, des ressources, des productions…)

17 IREM de POITIERS - LYON I. Arithmétique : les réponses… Les réponses à ces questions ont amené à élaborer des notions et des techniques et à les améliorer : bases de numération, techniques de calcul, format des nombres, système métrique … Les questions sont toujours actuelles : larithmétique est toujours très présente dans notre vie sociale.

18 IREM de POITIERS - LYON II. Géométrie : définitions ˗ - Mesurer « Lobjet principal de la géométrie est de mesurer les différentes espèces détendues que lesprit considère. » Montucla. Histoire des Mathématiques, Construire « Dès quon a fait de la géométrie, comme on tendait vers des buts concrets, on a effectué des constructions … » Lebesgue. La mesure des grandeurs, 1935

19 IREM de POITIERS - LYON II. Géométrie : origine II. Géométrie : origine « Mais létude des aires et des volumes a une utilité plus haute quil faut envisager : elle fait comprendre comment, pour des fins pratiques, les hommes ont pu être conduits à construire la géométrie et elle justifie leur effort. » Lebesgue, La mesure des grandeurs, 1935) Arpentage : bornage, partage des terrains, travaux publics (routes, canaux, déblais, remblais…) Construction dédifices, de décors… … Besoins de lastronomie, cartographie, géographie, navigation, fortification…

20 IREM de POITIERS - LYON II. Géométrie : Les grandes questions II. Géométrie : Les grandes questions Comment mesurer une grandeur ? (longueur, aire, volume, angle) Comment mesurer des grandeurs inaccessibles ? (distances…) Comment construire ? (une figure, un solide… ayant des caractéristiques données, avec des instruments donnés) Comment se repérer ? (à la surface de la Terre, sur mer, dans les airs, par rapport au Ciel) Comment représenter lespace sur un plan ? (perspective, peinture, écran)

21 IREM de POITIERS - LYON II. Géométrie : les réponses… (1) Les réponses à ces questions ont amené à élaborer tout un corpus de notions, techniques et instruments : angle, parallèles, tangente, symétries, cercles, triangles, polygones, polyèdres, corps ronds, constructions, lieux, triangles isométriques, figures semblables…, compas, astrolabe … Questions toujours actuelles, et qui se renouvellent : GPS, images numériques…

22 IREM de POITIERS - LYON II. Géométrie : les réponses… (2) Clairaut : Elemens de Géométrie, 1741 PREMIERE PARTIE (pages 1 à 72) Des moyens quil était le plus naturel demployer pour parvenir à la mesure des Terrains. DEUXIEME PARTIE (pages 73 à 102) De la méthode géométrique de comparer des figures rectilignes. TROISIEME PARTIE (pages 103 à 144) De la mesure des figures circulaires et de leurs propriétés. QUATRIEME PARTIE (pages 145 à 215) De la manière de mesurer les solides et leurs surfaces.

23 IREM de POITIERS - LYON III. Algèbre : définition « Science du calcul des grandeurs considérées généralement. On a choisi pour représenter les grandeurs ou les quantités les lettres de lalphabet comme étant dun usage plus facile et plus commode quaucun autre signe. Lalgèbre a deux parties : La méthode de calculer les grandeurs, en les représentant par les lettres de lalphabet, La manière de se servir de ce calcul pour la solution des problèmes (partie la plus étendue et la principale). » Encyclopédie Méthodique, DAlembert, 1734

24 IREM de POITIERS - LYON III. Algèbre : origines Algèbre numérique : résolution de problèmes par mise en équation, puis résolution des équations. Algèbre littérale : outil pour résoudre tous les problèmes. Nullum non problema solvere « LArt analytique sattribue justement le magnifique problème des problèmes qui est : résoudre tout problème. » Viète. Introduction à lArt analytique, 1591

25 IREM de POITIERS - LYON III. Algèbre : les grandes questions Comment résoudre un problème à laide déquations ? Comment exprimer des relations entre grandeurs ? (formules générales, équations de courbes, équations différentielles…) Comment calculer sur les grandeurs ?

26 IREM de POITIERS - LYON III. Algèbre : les réponses (1) Les réponses à ces questions ont fait de lalgèbre le langage universel de la science. Elle a remplacé en ce sens la Géométrie.

27 IREM de POITIERS - LYON III. Algèbre : les réponses (2) Clairaut. Elemens dAlgèbre, 1768, 4° éd. « Je me suis proposé de suivre dans cet ouvrage la même méthode que dans mes Elemens de Géométrie. Jai tâché dy donner les règles de lAlgèbre dans un ordre que les Inventeurs eussent pu suivre. Nulle vérité ny est présentée sous forme de théorème. Toutes, au contraire, semblent être découvertes en sexerçant sur les problèmes que le besoin ou la curiosité ont fait entreprendre de résoudre. » « Parmi les différents Problèmes dont les premiers Mathématiciens qui ont noms dAlgébristes se sont occupés, je choisis celui-ci, comme un des plus propres à faire voir comment ils sont parvenus à former la Science quon nomme Algèbre ou Analyse ; »

28 IREM de POITIERS - LYON IV. Analyse : définition « ANALYSE est proprement la méthode de résoudre les problèmes mathématiques, en les réduisant à des équations. Lanalyse, pour résoudre tous les problèmes, emploie le secours de lAlgèbre, ou le calcul des grandeurs en général : aussi ces deux mots, analyse, algèbre, sont souvent regardés comme synonymes. /…/ Lanalyse est divisée, par rapport à son objet, en analyse des quantités finies, et analyse des quantités infinies. Analyse des quantités finies, est ce que nous appelons autrement Arithmétique Spécieuse ou Algèbre. Analyse des quantités infinies ou des infinis, appelée aussi la nouvelle Analyse … Encyclopédie Méthodique, DAlembert, 1734

29 IREM de POITIERS - LYON IV. Analyse : origine Méthodes infinitésimales pour le calcul des longueurs de courbes, aires, volumes, centres de gravité. Étude des mouvements et trajectoires (astronomie, mécanique, optique, physique…) Recherche de lois inconnues (problèmes de mécanique et de physique)

30 IREM de POITIERS - LYON IV. Analyse : les grandes questions Comment étudier les variations dune grandeur ? Comment comparer des grandeurs variables ? Comment construire une courbe (trajectoire…) ? Comment résoudre un problème doptimisation ? Comment trouver une courbe astreinte à des conditions (trajectoire, … : calcul différentiel) ? Comment mesurer des grandeurs liées à des courbes ? (longueur, aire, volume, … : calcul intégral).

31 IREM de POITIERS - LYON IV. Analyse : les réponses Les réponses à ces questions ont amené à élaborer tout un corpus de notions, méthodes, techniques : équations, graphiques, fonctions, dérivées, intégrales…

32 IREM de POITIERS - LYON V. Statistiques et probabilités : définitions « La Géométrie du hasard » Pascal, 1654 « Quy a-t-il de commun entre la statistique, ensemble de routines administratives nécessaires pour décrire un état et sa population, et le calcul des probabilités, subtile façon dorienter les choix en cas dincertitude, imaginée vers 1660 par Huygens et Pascal, et les estimations de constantes physiques et astronomiques à partir dobservations empiriques disparates, effectuées vers 1750 ? » A. Desrosières. La politique des grands nombres. Histoire de la raison statistique, 1993, rééd. 2000

33 IREM de POITIERS - LYON V. Statistiques et probabilités : origine Statistiques : - Statistique allemande : recueil et organisation de données pour gouverner, gérer lÉtat - Arithmétique sociale anglaise : extrapoler à partir de données (population) pour rentes, assurances, … Probabilités : - Jeux de hasard : jeu équitable, partage équitable - Contrôle des estimations - Aide à la décision juste (Condorcet, Laplace, Poisson) - Théorie des erreurs

34 IREM de POITIERS - LYON V. Statistiques et probabilités : les grandes questions Comment mesurer lincertain ? Comment recueillir et transmettre de linformation ? Comment situer un individu dans une population? (« Lhomme moyen ») Comment estimer une population à partir dun échantillon ? Comment prévoir ?

35 IREM de POITIERS - LYON V. Statistiques et probabilités : les réponses Les réponses à ces questions ont amené à lutilisation de tableaux et de graphiques, aux notions de moyenne, médiane, fréquence, espérance, probabilité, et à leurs calculs. « Le chômage, linflation, la croissance, la pauvreté, la fécondité ; ces objets et leurs mesures statistiques constituent des points dappui pour décrire des situations économiques, dénoncer des injustices sociales, justifier des actions politiques. Ils fournissent une langue stable et largement acceptée pour exprimer le débat. » A. Desrosières. 1993, « Ce calcul délicat sétend aux questions les plus importantes de la vie qui ne sont, en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilités. » Laplace. 1812

36 IREM de POITIERS - LYON Bilan 1. Quelques grandes questions Comment comparer ? Comment partager ? Comment dénombrer ? Comment mesurer ? Comment calculer ? Comment construire ? Comment prévoir ?

37 IREM de POITIERS - LYON Bilan général Questions : enracinées dans la vie sociale et dans létude des grandeurs (commerce, propriété, navigation, calendrier, astronomie, géographie, mécanique, religion …) transversales à plusieurs domaines. Doù : des méthodes et des outils transférables aux différents domaines, la fabrication doutils et de méthodes généraux. Cest ainsi que ce sont constitués des domaines aux objets et méthodes très généraux : Arithmétique, Algèbre et Analyse (Nombre, équations, fonctions).

38 IREM de POITIERS - LYON MISE EN ŒUVRE EN 6° 1. Organisation générale 2. Un exemple : LES ANGLES

39 « Loubli de la notion de grandeur ferme les mathématiques sur elles-mêmes. En sens inverse, lexploration de lunivers des grandeurs constitue le point de départ de lexploration mathématique de la diversité du monde. Lintroduction mathématique au monde qui nous entoure suppose donc prise de contact et familiarisation avec lunivers des grandeurs. » Y. CHEVALLARD, M BOSCH, 2002 IREM de POITIERS - LYON MISE EN ŒUVRE (1a)

40 Organisation de lannée autour de létude de 6 grandeurs (angles, durées, aires, prix, volumes, longueurs), thèmes transversaux aux 4 grandes parties du programme, et donc aux différents domaines des mathématiques Organisation de létude de chaque grandeur autour de quelques grandes questions : Comment comparer ? Comment mesurer ? Comment calculer ? (qui en entraînent dautres : comment multiplier, diviser ou partager … ?) IREM de POITIERS - LYON MISE EN ŒUVRE (1b) F4T

41 IREM de POITIERS - LYON MISE EN ŒUVRE (2) Un exemple : LES ANGLES en 6°

42 IREM de POITIERS - LYON Un parcours en 3 moments 1) Comparer des angles 2) Partager des angles 3) Mesurer des angles

43 IREM de POITIERS - LYON LES ANGLES en 6° Éléments danalyse

44 IREM de POITIERS - LYON I. Sources de réflexion I.1. Quest-ce quun angle ? I.2. Pourquoi des angles ? I.3. Comment construire le chapitre ?

45 IREM de POITIERS - LYON I.1. Quest-ce quun angle ? « ANGLE, s. m. (Géom.) cest louverture que forment deux lignes ou deux plans, ou trois plans qui se rencontrent : tel est l'angle BAC, tab. de Géom. fig. 91, formé par les lignes AB, AC, qui se rencontrent au point A. Les lignes AB, AC, sont appellées les jambes ou les côtés de langle ; & le point dintersection A en est le sommet. Les angles se marquent quelquefois par une seule lettre, comme A, que lon met au sommet ou point angulaire, & quelquefois par trois lettres, dont celle du milieu marque la pointe ou sommet de langle, comme BAC. La mesure dun angle, par laquelle on exprime sa quantité, est un arc tel que DE, décrit du sommet A entre les côtés AC, AB, avec un rayon pris à volonté. Voyez ARC & MESURE. Doù il sensuit que les angles se distinguent par le rapport de leurs arcs à la circonférence du cercle entier. Voyez CERCLE & CIRCONFERENCE. Ainsi lon dit quun angle est dautant de degrés quen contient larc DE, qui le mesure. Voyez DEGRE. / … /» Encyclopédie, 1751, p TTTT TOTOTOTO

46 IREM de POITIERS - LYON I.2. Pourquoi des angles ? A. A. Arpentage Les Elemens de Geometrie de CLAIRAUT (1753) XXVII Si on ne pouvoit mesurer que deux des trois côtés du triangle ABC (FIG. 3.), les deux côtés AB, BC, par exemple ; il est clair quavec cela seul, on ne pourroit pas déterminer un second triangle égal & semblable à ABC. Car quoiquon eût pris DE, égal à BC, & DF égal à BA on ne sçauroit quelle position donner à celle-ci, relativement à lautre. Pour lever cette difficulté, la ressource qui se présente est simple : on fait pancher DF, de la même maniere sur DE, que AB panche sur BC ; ou, pour sexprimer comme les Géomètres, on donne à langle FDE la même ouverture quà langle ABC. (FIG. 3. & 4) (Lorthographe de lépoque a été conservée) TTTT Pl.III Pl.V

47 IREM de POITIERS - LYON I.2. Pourquoi des angles ? B. B. Navigation Rose des vents et navigation Carte marine de 1559

48 IREM de POITIERS - LYON Comment construire le chapitre Regard sur des manuels anciens Nathan, (Plessier & Morlet, 1965) Chapitre 3. Angles, cercles et arcs de cercles. I. Plan. Demi-plan. Angles. II. Égalité et addition des angles. Multiples et sous multiples. III. Cercles et arcs de cercles. Chapitre 4. Mesure des angles et des arcs. Longueur du cercle. I. Mesure des angles et des arcs. Longueur du cercle. II. Calculs sur le nombre mesurant angles et arcs de cercle. III. Longueur dun arc de cercle. Longueur du cercle. Hachette, (Cahen, 1958) Chapitre 2. Angles. I. Notion dangle. II. Opérations sur les angles. III. Mesure des angles. IV. Opérations sur les mesures dangles en degrés.

49 IREM de POITIERS - LYON LES ANGLES en 6° Mise en œuvre

50 IREM de POITIERS - LYON Introduction : les 3 questions 11) Quand parle-t-on d'angle ? 2) Quand utilise-t-on des angles ? 3) Qu'a-t-on besoin de savoir faire avec les angles ?

51 IREM de POITIERS - LYON Étude 1 : comparer des angles 1) Rugby : angle de tir (définition, comparaison) Cours : 1. Définitions, méthodes de comparaisonDéfinitions 2) Cerf volant et charpente (angles égaux, figures symétriques, codage) Construction de figures symétriques (programmes de construction). Cours : 1. Angles égaux et symétrie 3) Éventail et spiralespirale Cours : 1. Addition des angles, multiple dun angle

52 IREM de POITIERS - LYON Étude 2 : partager des angles 1) Rose des vents (boussole, compas de navigation)Rose des vents Partager en 2,4,8,12... Rapporteur "binaire". Équerres et menuiserie : demi-triangle équilatéral, demi-carré Cours : 2. Bissectrice, axes de symétrie, angles des triangles rectangle isocèle et équilatéral. 2) Le rapporteurLe rapporteur Trisection de langle. Partager un cercle en 360. Cours : 2. Rapporteur 3) Polygones réguliers A partir du partage du cercle et de 360° (division, diviseur, quotient exact, approché) Cours : 2. partager un angle en n parties

53 IREM de POITIERS - LYON Étude 3 : mesurer des angles 1) L'aviateur : prendre le cap pour faire le tour de France (s'orienter)L'aviateur Cours : 3. mesurer un angle 2) Largeur d'une baie (mesurer l'inaccessible)Largeur d'une baie Cours : 3. reproduire un angle de mesure donnée 3) Reproduire une figure (à l'échelle) Constructions de figures, dictées géométriques 4) Les robots : construire un trajetLes robots 5) Rose des vents et navigationRose des vents et navigation

54 IREM de POITIERS - LYON Bibliographie sur les angles ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ DES SCIENCES, DES ARTS ET DES METIERS par une société de gens de lettres ; mis en ordre et publié par M. Diderot,... et quant à la partie mathématique, par M. dAlembert,… Paris : Briasson, David, Le Breton. Tome 1, gallica. 4 CD-Rom : LEncyclopédie de Diderot et dAlembert. Redon éditeur, MARSANNE. ENCYCLOPÉDIE MÉTHODIQUE – MATHÉMATIQUES. Par MM. dAlembert, lAbbé Bossut, de la Lande, Le Marquis de Condorcet, &c. Tome premier, Paris : Panckoucke et Leyde : Plomteux Réédition du Bicentenaire, Paris : ACL-éditions gallica CLAIRAUT Alexis. Les Éléments de Géométrie de Clairaut Paris : Lambert et Durand, Rééd. Paris : J. Gabay, Fac simile de lédition de 1753, Laval : éd. Siloë, GAMBIN Marie-Thérèse. « Des cartes portulans à la formule dEdward Wright : lhistoire des cartes à « rhumbs ». M : A.T.H., MNEMOSYNE n° 11. IREM de Paris VII 1996, pp. p Repris en partie dans Lhistoire des cartes à « rhumbs ». In ASSP Rouen 2005, Sciences et Techniques aux 15 e et 16 e siècles, disponible en document pdf, 10 p., sur le site : « La cartographie dieppoise ». In É. Hébert (dir.), Instruments scientifiques à travers lHistoire, Paris Ellipses 2004, p et 1996, p STOLL André. « Les spirales ». In LOuvert n° 96 et 97, resp. p 1-13 p 1-15, IREM de Strasbourg 1999 et Repères IREM, n° 39, Metz 2000, Topiques éditions p En document pdf, 27 p., sur le site Le Portail des Irem :

55 IREM de POITIERS - LYON Bibliographie générale CHARNAY R. (2006) Quelle culture mathématique partagée à la fin de la scolarité obligatoire ? Repères IREM n° 64 ( article en ligne) CHEVALLARD Y. (2006) Les mathématiques à lécole. Bulletin APMEP n° 471, 2007 CHEVALLARD Y., BOSCH M. (2000), Les grandeurs en mathématiques au collège. Partie I. Une Atlantide oubliée. Petit x, 55, p CHEVALLARD Y., BOSCH M. (2000), Les grandeurs en mathématiques au collège. Partie II. Mathématisations. Petit x, 59, p DAHAN-DALMEDIC0 A. et PEIFFER J. (1982) Une histoire des mathématiques. Routes et dédales. Le Seuil, Points Sciences N° 49, Grandeurs. N° spécial. Repères-IREM n° 68, juillet LEBESGUE H. (1935). « La mesure des grandeurs ». Monographies de LEnseignement Mathématique n° 1 Genève. Rééd. A. Blanchard, Paris PRESSIAT A. Grandeurs et mesures.IUFM.Equipe DIDIREM – INRP. ROUCHE N. Le sens de la mesure " Des grandeurs aux nombres rationnels ". Collection Formation, Edition DidIer Hatier, 1992.

56 IREM de POITIERS - LYON FIN Le programme de 6° organisé autour de la notion de grandeur

57 IREM de POITIERS - LYON Clairaut Pl.III Pl.V

58 IREM de POITIERS - LYON Clairaut Pl.V Pl.III

59 IREM de POITIERS - LYON Cours. Chapitre 1 ANGLES 1. Comparer des angles 1) Définition : on appelle angle louverture formée par deux demi droites de même origine. Cette origine sappelle le sommet de langle et les demi droites les côtés de langle. Illustrer To

60 IREM de POITIERS - LYON Spirales - construction 1.Spirale de Théodore donnée à construire aux élèves 2.Spirale dArchimède 1) A quoi te fait penser cette figure ? 2) Comment construire cette figure ? Voici la méthode donnée par Archimède : On fait tourner une demi-droite autour dun point O en décrivant des angles égaux Sur le deuxième côté du premier angle on place un point A1 (près de O). Quand la demi-droite tourne, le point séloigne de O avec pour règle : sa distance à O est égale à celle de OA1 multipliée par le nombre dangles dont on a tourné. Choisis un angle et construis une spirale dArchimède avec au moins 10 angles égaux.

61 IREM de POITIERS - LYON La Rose des Vents Plusieurs instruments de mesure sont basés sur les mesures des angles, la rose des vents est lun dentre eux. La rose des vents nest pas une fleur, cest une étoile à plusieurs branches indiquant les points cardinaux. Les marins lutilisaient pour sorienter en mer. La marche dun bateau dépendant de sa position face au vent, ils identifiaient le vent dominant qui soufflait puis fixaient leur route en conséquence. Pour indiquer la direction des vents, on a dessiné sur un cadran une sorte de rosace dont les flèches rayonnent autour du centre comme les pétales dune rose. Mais ce dessin ne ressemble guère à une rose ) Observe bien. Combien de directions sont indiquées sur la rose des vents n°1 ? sur la n°2 ? sur la n°3 ? sur la boussole n°4 ? 2) Comment construire les flèches de la rosace ? 3) Sur papier uni, construis une rose des vents à partir dun cercle de 3,5 cm de rayon.

62 IREM de POITIERS - LYON Mesurer la largeur d'une baie 1. On veut connaître la distance entre la porte A et la porte C, distance inaccessible directement Les mesures du géomètre sur le terrain 1. Où se place le géomètre ? Pourquoi ? Que mesure-t-il ? (observe la gravure) 2. Comment fonctionne l'instrument qu'il est en train d'utiliser ? (Observe les gravures du graphomètre) 3. En H est représenté son mémento (ou bloc note) : c'est une feuille de papier qu'on roule (appelée à l'époque mémorial). Que note-t-il sur sa feuille ? La construction du triangle en réduction À l'aide de son schéma et de ses mesures, le géomètre va construire avec soin sur un bout de terrain plat ou sur une feuille de papier un modèle réduit du triangle ABC : c'est le triangle EFG que l'on voit à droite sur la gravure. Tu vas faire son travail sur ton cahier. 4. Il dessine une échelle bien divisée en graduations égales (elle est représentée en D, en bas et au centre de la gravure). Combien de graduations faut-il prévoir ? 5. Il construit le triangle EFG. Écris les étapes de sa construction. Justifie. 6. Pour tracer l'angle FEG, comment fait-il ? (observe l'instrument placé en E sur la gravure) La réponse au problème TOTOTOTO

63 IREM de POITIERS - LYON Mesurer la largeur d'une baie 2. La réponse au problème 7. Comment, avec son triangle EFG, le géomètre va-t-il trouver la distance entre la porte A et la porte C ? Combien trouve-t-il ? TOTOTOTO L'instrument du géomètre : le graphomètre En situation Son limbe est gradué de la même façon que celui du rapporteur, en 180 parties appelées degrés. La ligne 0°-180° est appelée la ligne de foi. L'instrument pour reporter l'angle sur le papier : le rapporteur

64 IREM de POITIERS - LYON Les robots Devoir sur feuille pour le jeudi 24 mai 2007 Le robot Sexto est programmé pour avancer de 30 cm puis tourner à gauche de 60°, et continuer ainsi sans jamais s'arrêter. Il part d'un point A. Dessine avec précision son trajet (à l'échelle 1/10). Que peux-tu dire de son trajet ? Explique. Le robot Quinto, lui, avance de 40 cm et tourne à droite de 72°. Dessine et explique de la même façon son trajet. Le robot Spirou avance de 50 cm et tourne à gauche de 100°. Dessine et explique de la même façon son trajet. Peux-tu prévoir les trajets de tous les robots que l'on pourrait inventer sur le même modèle ? Pour quels angles peut-on programmer le robot pour qu'il s'arrête en A? T.él

65 IREM de POITIERS - LYON Les robots (2)


Télécharger ppt "IREM de POITIERS - LYON 05 091 Le programme de 6° organisé autour de la notion de grandeur « Les mathématiques ont pour objet de mesurer, ou plutôt de."

Présentations similaires


Annonces Google