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Histoire des mathématiques et pédagogie Quelles limites ?

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1 Histoire des mathématiques et pédagogie Quelles limites ?

2 Histoire des mathématiques et pédagogie Quel intérêt ?

3 Ahmès:la préhistoire des mathématiques - Égypte (géométrie), Chaldée (astronomie), Phéniciens ( arithmétique), Babylone (algèbre) - collection de problèmes concrets résolus : le papyrus Rhind - arithmétique : partage de pains, règles de trois, équations du premier degré, opérations sur les fractions… - géométrie : volumes de récipients cylindriques et parallélépipédiques, aires de triangles et de rectangles; aire dun disque : 8/9 D 2 - inspiré dun document datant de 2000 avant JC. Vers – 1 640

4 Thalès: - Thalès de Millet - Géomètre et astronome - Premiers théorèmes et premières démonstrations -624 ; -548

5 Pythagore: les mathématiques comme une science… - Pythagore de Samos - Moraliste, législateur, thaumaturge, philosophe et mathématicien - Contemporain de Zarathoustra(-628;-551), du Buddha (-563;-483) et de Confucius(-551;-479) - « tout est nombre » -569 ; -475

6 - Double coupure pythagoricienne : - Coupure religieuse: le nombre est divin, il renferme la beauté et lordre du Monde - Coupure rationnelle : il ne suffit pas dobserver les propriétés des nombres et des figures, il faut les démontrer - Crée une « secte » : les pythagoriciens qui découvrent à leur tour - Les nombres premiers, les irrationnels, la formule du volume dune pyramide, tétraèdre, cube, dodécaèdre - Vision mystique de la discipline - Des problèmes en suspens : duplication du cube, trisection de langle et quadrature du cercle. - Une grande crise : la découverte des irrationnels

7 Euclide : les mathématiques et la philosophie - Les éléments : premier livre de mathématiques de lhistoire - Présentation des théorèmes obtenus depuis 3 siècles en géométrie et en arithmétique - Nette prédominance de la géométrie - Grande influence jusquau XX ème siècle. (-320 ? ; -260 ?

8 Archimède : les mathématiques et la réalité - Archimède de Syracuse - Prémices du calcul intégral et de la physique - Premières applications militaires des mathématiques -287 ; -212

9

10 Lage dor des mathématiques grecques : - Appollonios de Perge (-262;-190) écrit un traité sur les coniques - Aristarque de Samos (-310;-230) conçoit le système héliocentrique - Eratosthène (-276;- 197)astronome, géographe, directeur de la bibliothèque dAlexandrie effectue la première mesure rigoureuse de la terre III ème siècle avant notre ère

11 Diophante : les mathématiques comme écriture - Diophante dAlexandrie - Rompt avec la prépondérance de la géométrie : avant Diophante, la somme de deux longueurs est une longueur, leur produit est une aire, ce qui interdit la notion de polynôme - Les Arithmétiques : 13 livres renouent avec la tradition des calculateurs professionnels - Introduction des exposants - Les mathématiciens suivants ne feront plus que commenter ce qui existe déjà… - Début dune longue éclipse en occident… III ème siècle de notre ère

12 Brahmagupta: le zéro et les nombres négatifs - Né à Multan (actuel Pakistan) - Première définition du zéro : différence dun nombre par lui-même - Calculs de pertes et de profits : bien et dettes représentent nombres positifs et négatifs - - technique actuelle de la multiplication - - longitude des planètes, rotation, prévision des éclipses solaires et lunaires, estime la durée de lannée à 365 jours, 6 heures, 5 minutes et 19 secondes. 598 ; 660

13 Al Khwarizmi : les mathématiques comme machine à penser - Traducteur des manuscrits grecs et indiens - Méthode de résolution des équations : - Al jabr : le reboutement 4x – 3 = 5 devient 4 x = donne le mot algèbre - Al muqabala : la réduction 4x = x devient x = 9 - Al hatt : la division : 2x = 4 devient x=2 - Équations du second degré - Promotion du système décimal - Techniques opératoires des multiplications, divisions, règles de trois (quatrième proportionnelle), extraction de racines carrées - Tables de sinus et de tangentes - Écrit un traité de géographie qui donne les longitudes et latitudes pour 2402 localités, produit des cartes les plus précises de son époque. 780;850 - Cest dune déformation de son nom que vient le mot algorithme (succession de manipulation sur les nombres qui sexécutent toujours de la même façon)

14 Les mathématiques dans le monde arabe du IXème au XVème siècle - Abu Kamil : systèmes de plusieurs équations à plusieurs incnnues - Al Karaji : considère les quantités irrationnelles comme des nombres - Al Farisi : base de la théorie des nombres - Thabit ibn Qurra, Al Nayziri, Abu Wafa : calculs daires, paraboles, ellipses, théorie des fractions, trigonométrie - Al Karaji, Al Samawal : opérations sur des inconnues, exposants algébriques, calculs sur les exposants… - Al Kashi fait la synthèse des mathématiques arabes élaborées durant près de 7 siècles…

15 Fibonacci : la renaissance éphémère des mathématiques - Léonardo de Pise - Relaie le savoir accumulé par les arabes - Se positionne pour la numération arabo- indienne en Europe, y compris le zéro - Travaille sur les propriétés des nombres et conduit ses propres recherches

16 François Viète : les mathématiques comme symbolique - Avocat au Parlement de Paris, puis Conseiller au Parlement de Rennes, il ne fait des mathématiques que pour ses loisirs - Simplification des calculs de sinus et cosinus - Passe maître dans le décryptage des messages secrets que senvoient les Espagnols - il officialise les symboles des opérations +,-, /, in pour X, bis pour X bases du calcul littéral pour résoudre tout problème. Les inconnues sont désignées par les voyelles, les grandeurs connues par les consonnes - Calcule Pi à 10 décimales exactes 1540 ; 1603

17 Simon Stevin : les mathématiques à virgule - Ingénieur, physicien, mathématicien et comptable - Invente le char à voile - - met au point le calcul des forces dans léquilibre - Le nombre 89,532 se note : 1548 ; 1620

18 Rodolphe Snellius ou Rodolphe Snell : les mathématiques à virgule - géomètre, - reconstitue la mesure de la Terre dEratosthène - découvre les lois de la réfraction de la lumière ( faussement attribué à Descartes) - transforme la méthode de Stevin en introduisant la virgule pour séparer partie entière et partie décimale 1591 ; 1626

19 René Descartes : la méthode - « Le doute comme principe - Le découpage en sous tâches - Du simple au complexe - Sassurer de ne rien omettre » - Mise en place des notations modernes : les premières lettres de lalphabet pour les constantes, les dernières pour les inconnues, les exposants - Le repérage du plan : les coordonnées (la mouche) - Traitement des problèmes géométrique par la voie numérique : pour étudier les propriétés dune courbe, il passe par léquation déterminée par une relation liant ses coordonnées : la géométrie analytique 1596 ; 1650

20 Isaac Newton - Bases du calcul intégral et différentiel - Étude des fonctions cubiques, des fonctions dérivables, de leurs dérivées et de leurs représentations. - Publication en 1670 de « Philosophiae naturalis principia mathematica ». Principe dinertie, la proportionnalité des forces et des accélérations, légalité de laction et de la réaction, les lois du choc, étudie le mouvement des fluides, donne la théorie des marées, etc. - Théorie de lattraction universelle : les corps sattirent avec une force inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. - Travaux sur la nature de la lumière et sur le télescope 1642 ; 1727

21 Gottfried Wilheim von Leibniz : les mathématiques comme cosmos Philosophe, théologien, mathématicien, physicien, historien… Travaille de longues années sur la conception dune machine à calculer les multiplications et les divisions Notations nouvelles :généralisation du signe =, : pour la division, trouve le mot « fonction », la notation dx/dy, le signe Calculs intégral et différentiel, calculs infintésimaux 1646 ; 1716

22 Charles Frédéric Gauss les mathématiques comme voyage autour du monde - Étude de langues anciennes - construction à la règle et au compas dun polygone régulier à 17 côtés - Sattache à la géométrie non euclidienne (surfaces courbes) - Connu pour létude des probabilités (courbe de Gauss) - En astronomie, calcule la trajectoire de Ceres, juste après que l'astronome italien Giuseppe Piazzi la découverte - -sest illustré également en tant que physicien (travaux sur le magnétisme) 1777 ; 1855

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24 Lunivers est écrit dans la langue mathématique… Algèbre, géométries, topologies algébriques et différentielles trouvent leurs applications en physique, biologie, économies : fractales, chaos, groupes quantiques, nœuds et tresses, ondelettes… 7 problèmes ouverts restent encore à résoudre…

25 Laurent Schwartz Jean-Pierre Serre René Thom Pierre Louis Lions Alain Connes Laurent Lafforgues Jean-Christophe Yoccoz

26 Des stars inconnues médaille Fields 1950 : Laurent Schwartz 1954 : Jean-Pierre Serre 1958 : René Thom 1982 : Alain Connes 1994 : Pierre-Louis Lions 1994 : Jean-Christophe Yoccoz 2002 : Laurent Lafforgues Alain Connes, prix Crafoord en 2001 Jean-Pierre Serre, premier lauréat du prix Abel (2003)


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