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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Combinaisons.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Combinaisons linéaires de vecteurs géométriques

2 À partir de quelques vecteurs, il est possible, en utilisant les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire, d’engendrer une multitude de vecteurs. Introduction On dit que les vecteurs ainsi obtenus sont des combinaisons linéaires des vecteurs utilisés pour les engendrer. À partir de cette notion, nous présenterons celles de dépendance linéaire et d’indépendance linéaire ce qui nous amènera aux notions de base et de repère d’une droite, d’un plan ou de l’espace.

3 Combinaison linéaire DÉFINITION Combinaison linéaire de vecteurs On appelle combinaison linéaire des vecteurs toute expression de la forme : Soit v1v1,v2v2,v3v3, …,vnvn, des vecteurs. v1v1,v2v2,v3v3, …,vnvn w a1a1 v1v1 v2v2 v3v3 vnvn + a2a2 + a3a3 + … + anan On dit également que w est engendré par les vecteurs v1v1,v2v2,v3v3,...vnvn = a1a1 v1v1 v2v2 v3v3 vnvn + a2a2 + a3a3 + … + anan si et seulement s’il existe des scalaires a 1, a 2, a 3, … a n tels que : est une combinaison linéaire des vecteursOn dit qu’un vecteur w v1v1,v2v2,v3v3, …,vnvn

4 Vecteurs engendrés par un vecteur Les vecteurs engendrés sont les vecteurs de la forme : w = av1v1 v1v1. Ces vecteurs sont tous parallèles à la droite support de Considérons un vecteur géo- métrique v1v1. Le scalaire est obtenu en prenant le rapport des modules des vecteurs et en ajoutant un signe moins si les vecteurs sont de sens contraire. Par conséquent, tous les vecteurs ayant même direction sont engendrés. w = av1v1 ? S Peut-on dire que tous les vecteurs de même direction que v 1 sont des combinaisons linéaires de v 1 ? C’est-à-dire si on considère un vecteur w ayant même direction que v 1, existe-t-il un scalaire a pour lequel :

5 Vecteurs engendrés par deux vecteurs Les vecteurs engendrés sont les vecteurs de la forme : Considérons deux vecteurs géo- métriques v1v1 etv2v2. w = av1v1 + bv2v2 Tous ces vecteurs sont parallèles au plan déterminé par les directions de v1v1 et v2v2. Peut-on dire que tous les vecteurs situés dans un plan parallèle aux directions de ces v1v1 et v2v2 ? deux vecteurs est une combinaison linéaire de Les scalaires sont obtenus en prenant le rapport des modules des vecteurs et en ajoutant un signe moins si les vecteurs sont de sens contraire. Par conséquent, tous les vecteurs contenus dans un plan parallèle aux directions des deux vecteurs sont engendrés par v1v1 etv2v2. S

6 Dépendance linéaire DÉFINITION Vecteurs linéairement dépendants Lorsqu’il est possible d’exprimer au moins un des vecteurs de V comme com- binaison linéaire des autres vecteurs de V, on dit que les vecteurs de V sont linéairement dépendants. Soit V = { v1v1, v2v2, v3v3, …, vnvn }, un ensemble de vecteurs. a1a1 v1v1 v2v2 v3v3 + a2+ a2 = Considérons les vecteurs de l’illustration ci- contre. v1v1 et v2v2. v3v3 comme une combinaison linéaire de Ces trois vecteurs sont linéairement dépendants puisqu’il est possible d’exprimer Il existe donc des scalaires non nuls tels que : De façon équivalente, il existe des scalaires non nuls tels que : = 0 a1a1 v1v1 v2v2 v3v3 + a2+ a2 + a3+ a3 C’est cette forme équivalente que nous utiliserons pour donner une définition plus efficace de la dépendance linéaire.

7 S Dépendance et indépendance linéaire DÉFINITION Dépendance linéaire On dit que les vecteurs de V sont linéairement dépendants si et seulement si il existe des scalaires a 1, a 2, a 3, … a n non tous nuls tels que : Soit V = { v1v1, v2v2, v3v3, …, vnvn }, un ensemble de vecteurs. a1a1 v1v1 v2v2 v3v3 vnvn + a2+ a2 + a3+ a3 + … + a n = 0 DÉFINITION Indépendance linéaire On dit que les vecteurs de V sont linéairement indépendants si et seulement si l’égalité : Soit V = { v1v1, v2v2, v3v3, …, vnvn }, un ensemble de vecteurs. a1a1 v1v1 v2v2 v3v3 vnvn + a2+ a2 + a3+ a3 + … + a n = 0 est vérifiée uniquement lorsque : a1 a1 = a2 a2 = a 3 = … = a n = 0.

8 Colinéarité et dépendance linéaire DÉFINITION Vecteurs colinéaires On dit que des vecteurs sont colinéaires si et seulement s’ils sont parallèles à une même droite. Alors, il existe un scalaire k tel que : u = k v D’où :u– kv 0 = Il existe donc des scalaires non nuls tels que : Par conséquent, deux vecteurs colinéaires sont linéairement dépendants. u+ bv0=a Réciproquement, s’il existe des scalaires non nuls satisfaisant à cette condition, on peut isoler l’un des vecteurs dans l’équation pour montrer qu’ils sont parallèles. Soit deux vecteurs colinéairesuetv.

9 Colinéarité et dépendance linéaire THÉORÈME Dépendance linéaire et parallélisme de deux vecteurs Deux vecteurs non nuls sont linéairement dépendants si et seu- lement s’ils sont parallèles (ou colinéaires). THÉORÈME Indépendance linéaire et non-parallélisme de deux vecteurs Deux vecteurs non nuls sont linéairement indépendants si et seu- lement s’ils ne sont pas parallèles (ou non colinéaires). ne sont pas coli- néaires, alors : Si des vecteurs uetv u ≠ k v  k  R\{0}, On a donc : u+ bv 0 =a uniquement si a = b = 0. Les vecteurs sont donc linéairement indépendants.

10 Base d’une droite DÉFINITION Base d’une droite Un ensemble B = {} est une base de la droite ∆ si et seulement si : e le vecteurest non nul; e tout vecteur de ∆ est une combinaison linéaire de e. constitue une base pour plusieurs droites. Un vecteur e Le vecteur de la base d’une droite définit l’orientation de celle-ci. Pour caractériser une droite particulière, il faut, en plus de son orientation, donner un point de cette droite. Remarque

11 Repère d’une droite DÉFINITION Repère d’une droite Un ensemble {O,} est un repère de la droite ∆ si et seulement si : e B = {} est une base de ∆. e Le scalaire a pour lequel : O est un point de la droite ∆; On dit que {O,e} est un repère d’origine O et de basee. }, un repère de la droite ∆ et P un point de ∆. Le vecteur Soit {O, est appelé vecteur position du point P (ou rayon vecteur) du point P. e OP est appelé coordonnée du point P dans le repère {O,e}. OP= a e

12 Composante d’un vecteur Remarque Le repère d’une droite permet également de décrire la position de tout point de la droite par rapport à un point hors de cette droite. Alors, le scalaire a pour lequel : }, un repère de la droite ∆ et un vecteur dont la droite support est parallèle à ∆. e Soit {O, v, = aev dans le repère est appelé composante du vecteur {O,e}. v AP=+ aeAO+OP=AO On applique simplement la relation de Chasles.

13 Exercice Dans la base de ce repère, on a : = 2 e u AP=+ 1,5 e AO+OP=AO En appliquant la relation de Chasles, on a : Décrire la position des points P et Q par rapport au point A dans le repère {O, }. e Donner la composante de chacun des vecteurs dans la base du repère {O, }. e AQ=– 1eAO+OQ=AO Dans ce repère, la composante du vecteur u est 2. On trouve également : = –2,5 e v Dans ce repère, la composante du vecteur v est –2,5. SSSS

14 Vecteurs coplanaires Les vecteurs de l’illustration ci-contre sont coplanaires. DÉFINITION Vecteurùs coplanaires On dit que des vecteurs sont coplanaires si et seulement s’ils sont parallèles à un même plan. Nous verrons maintenant à quelles conditions des vecteurs coplanaires sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants et nous verrons les notions de base d’un plan et de repère d’un plan.

15 S Coplanarité et dépendance linéaire THÉORÈME Dépendance linéaire et coplanarité de trois vecteurs Trois vecteurs non nuls sont linéairement dépendants si et seu- lement s’ils sont coplanaires. Géométriquement, cela signifie qu’il est toujours possible de construire un parallélogramme dont le vecteur choisi est la diagonale et dont les côtés sont parallèles aux droites supports des deux autres vecteurs. Il existe donc des scalaires non nuls a et b tels que : Par conséquent, il existe des scalaires non tous nuls a, b et c tels que : Les vecteurs sont donc linéairement dépendants. wa u+ bv= u v0=aw+ c  w. Considérons u,vetw, trois vecteurs co- planaires. Alors, il est toujours possible d’exprimer au moins l’un de ces vecteurs comme combinaison linéaire des deux autres. Supposons que cela est le cas pour le vecteur, d’où :=wa u+ bv– 0 S Supposons que c est un des scalaires non nuls. Alors : wa u+ bv= – c u+ bv0=aw+ c  trois vecteurs linéairement dépendants. u,vetw, Alors, il existe des scalaires non tous nuls a, b et c tels que : Soit Le vecteurest donc la diagonale d’un parallélogramme construit sur les droites support des deux autres vecteurs et les trois vecteurs sont coplanaires. w D’où : w –a c uv= –b c +

16 Non-coplanarité et indépendance linéaire THÉORÈME Indépendance linéaire et non- coplanarité de trois vecteurs Trois vecteurs non nuls sont linéairement indépendants si et seu- lement s’ils ne sont pas coplanaires. Si trois vecteurs ne sont pas copla- naires, il est impossible d’exprimer l’un quelconque de ces vecteurs comme combinaison linéaire des deux autres. Du théorème précédent, on tire le suivant par contraposition : Tous les vecteurs d’un plan peuvent s’exprimer comme combinaison liné- aire de deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Une base d’un plan contient donc deux vecteurs.

17 Base d’un plan DÉFINITION Base d’un plan Les vecteurs de la base d’un plan définissent les orientations de celui-ci. Pour caractériser un plan particulier, il faut, en plus, donner un point de ce plan. Remarque Un ensemble B = {} est une base d’un plan ∏ si et seulement si : e1e1 e2e2, les vecteurssont linéairement indépendants; e1e1 e2e2, tout vecteur de ∏ est une combinaison linéaire de.e1e1 e2e2 et constitue une base pour plusieurs plans. Un ensemble de vecteurs linéairement indépendants B = {e1e1 e2e2,}

18 Repère d’un plan DÉFINITION Repère d’un plan Les scalaires a 1 et a 2 de cette com- binaison linéaire sont appelés les coordonnées du point P dans ce repère. On le note P(a 1 ; a 2 ). O est un point du plan ∏; Un ensemble {O,} est un repère d’un plan ∏ si et seulement si : e1e1 e2e2, B = { } est une base ordonnée de ∏. e1e1 e2e2, }, un repère du plan ∏.Soit {O, e1e1 e2e2, OP = a 1 + a 2 e1e1 e2e2 Le vecteur position d’un point P a une expression unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base. S OP = 2– 3 e1e1 e2e2 Dans ce repère, le point P sera donc noté P(2; –3). S Dans ce repère, les composantes d’un vecteur sont les scalaires a 1 et a 2 de la combinaison linéaire exprimant ce vecteur dans la base du repère. = –2+ 4e1e1 e2e2 v On note le vecteur = (–2; 4). v S On note le vecteur= (2; –2). u On remarque que les coordonnées du point dépendent du repère considéré alors que les composantes des vecteurs dépendent seulement de la base du repère.

19 Exercice }, un repère du plan ∏.Soit {O, e1e1 e2e2, Donner les coordonnées des points P et Q dans ce repère. S OP = –1 – 1,5 e1e1 e2e2 Dans ce repère, le point P sera donc noté P(–1; –1,5). SS OQ = –3+ 0,5 e1e1 e2e2 Dans ce repère, le point Q sera donc noté Q(–3; 0,5). S Déterminer, dans ce repère, les composantes du vecteur PQ. Par la relation de Chasles, on a : OP+PQ=OQ, d’où : PQ=OQ–OP PQ=( –3+ 0,5e1e1 e2e2 ) – (–1– 1,5e1e1 e2e2 = –2e1e1 + 2e2e2 )

20 SSSS Exercice }, un repère du plan ∏.Soit {O, e1e1 e2e2, Par l’addition des vecteurs, on a : et Donner, dans ce repère, les composantes des vecteurs uv. = –2+ 1,5e1e1 e2e2 u Dans ce repère, le vecteur sera donc noté u = (–2; 1,5). = 1– 2 e1e1 e2e2 v Dans ce repère, le vecteur sera donc noté v = (1; –2). Déterminer, dans ce repère, les composantes du vecteur u + v. = (–2 + 1,5 e1e1 e2e2 ) + (1– 2 e1e1 e2e2 = –1 e1e1 – 0,5 e2e2 ) u + v On notera= (–1; –0,5).u+v Montrer en utilisant un argument algé- brique que les vecteurs : sont linéairement indépendants. Soit a et b des scalaires tels que : au+ bv=0, d’où : = –2+ 1,5e1e1 e2e2 u = 1– 2 e1e1 e2e2 v et S a (–2+ 1,5e1e1 e2e2 ) + b (– 2e1e1 e2e2 ) = 0+ 0e1e1 e2e2 (–2a + b)+ (1,5a – 2b)e1e1 e2e2 = 0+ 0e1e1 e2e2 L’égalité des vecteurs donne le système d’équations –2a + b = 0 1,5a – 2b = 0 Par la méthode de Gauss, on a : ≈ –210 0–110 L 1 4L 2 – 3L 1 Il reste autant d’équations que d’inconnues, le système a une solution unique, a = 0 et b = 0. Les vecteurs sont donc linéairement indépendants. 10 1,5–20

21 }, un repère du plan ∏. Exercice Soit {O, e1e1 e2e2, Décrire, dans ce repère, la position d’un point X quelconque de la droite passant par le point P et parallèle au vecteur S Par la relation de Chasles, on a : et En substituant, on obtient : = (–1 – 2t)2t) e1e1 e2e2 u. u = –1– 1 e1e1 e2e2 En exprimant les vecteurs dans la base, on a : OX = OP + PX = OP + t u,u, OP + 1 e1e1 e2e2 = –2 OX = ( –1– 1 e1e1 ) + t(–2 e2e2 + 1 e1e1 e2e2 ) + (–1 + t)t) où t est un nombre réel., où t est un nombre réel.

22 Base de l’espace Tous les vecteurs d’un espace tridimen- sionnel peuvent s’exprimer comme combinaison linéaire de trois vecteurs non coplanaires. Pour constituer une base de l’espace, les trois vecteurs n’ont pas nécessairement une origine commune. Ils doivent définir trois directions qui ne sont pas coplanaires.

23 Base et repère de l’espace DÉFINITION Base de l’espace e1e1 e2e2,e3e3 et } est une base de l’espace si et seulement si les vecteurs Un ensemble B = { e1e1 sont linéairement indépendants. e2e2,e3e3, DÉFINITION Repère de l’espace O est un point de l’espace; Un ensemble {O,} est un repère de l’espace si et seulement si : e1e1 e2e2, e3e3, B = { } est une base ordonnée de l’espace. e1e1 e2e2, e3e3,

24 Exercice S Exprimer les vecteursdans la base du repère }.e1e1 e2e2,e3e3,{O, u,u,vetw ve1e1 e2e = 2e3e3 e1e1 e2e2 + 2e3e3 + 0= 3u, w e1e1 e2e = 0e3e3 On veut savoir s’il existe des scalaires a, b et c non nuls tels que : au+ bv+ cw=0, d’où : Montrer en utilisant un argument algébri- que que les vecteurs sont linéairement indépendants. e1e1 e2e2 + 2a( 3e1e1 e2e ) + b(2e2e2 ) + c( 3+ 2 e3e3 e3e3 ) = 0, et : ( 3a + 2b )e1e1 + ( 2a + 3b + 3c)e2e2 + ( b + 2c)e3e3 = 0e1e1 + 0e2e2 e3e3 Par l’égalité des vecteurs, on obtient le système d’équations linéaires : 3a + 2b = 0 2a + 3b + 3c = 0 b + 2c = 0 SS Par la méthode de Gauss, on obtient : ≈ L 1 3L 2 – 2L 1 L ≈ 5L 1 – 2L 2 L 2 5L 3 – L Il reste autant d’équations que d’inconnues, le système a donc une solution unique, a = 0, b = 0 et c = 0. Les vecteurs sont donc linéairement indépendants.

25 Exercice Dans le repère }e1e1 e2e2,e3e3,{O, de l’espace ci-contre, le point P et le vecteur forment le repère d’une droite. r OX = OP + PX = OP + t r En exprimant les vecteurs dans la base, on a : OP =e1e1 e2e2 +e3e3 +ete1e1 e2e2 +e3e3 += 2r On a donc : OX = ( e1e1 e2e2 +e3e3 +) + t(2e1e1 e2e2 +e3e3 +) Par les propriétés des opérations sur les vecteurs : OX = (1 + 2t)e1e1 e2e2 e3e3 + (1 + t) À l’aide d’un vecteur position, décrire la position d’un point X quelconque de cette droite par rapport au point O. S

26 Exercice En exprimant les vecteurs dans la base, on a : OP=e1e1 e2e2 +e3e3 +,e1e1 e2e2 +e3e3 += 2r On a donc : Par les propriétés des opérations sur les vecteurs : OX= (1 + 2a)e1e1 e2e2 e3e3 + (1 + a + b) Dans le repère }e1e1 e2e2,e3e3,{O, de l’espace ci-contre, le point P et les vecteurs forment le repère d’un plan. rets OX = OP + PX = OP + a r + b s e2e2 e3e3 +=set OX = ( e1e1 e2e2 +e3e3 +) + a(2e1e1 e2e2 +e3e3 +) + b(e2e2 e3e3 +) À l’aide d’un vecteur position, décrire la position d’un point X quelconque de ce plan par rapport au point O. S Puisque que tout vecteur du plan est une combinaison linéaire des vecteurs de la base de celui-ci.

27 Conclusion À l’aide des opérations d’addition et de multiplication par un scalaire, on peut, non seulement engendrer une multitude de vecteurs, mais également décrire par un vecteur position les points d’une droite ou d’un plan. Cette description est l’équation vectorielle du lieu de ces points. Grâce à la notion d’indépendance linéaire, on peut s’assurer que les vecteurs retenus pour décrire un lieu sont porteurs de toute l’information pertinente.

28 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 5.4, p. 138 et 142. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 5.4, p. 138 et 141. Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 5.3, p. 124 à 133. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 5.3, p. 128 à 137


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