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ARITHMETIQUE I DIVISEURS ET MULTIPLES 1° Division euclidienne a) Effectuer la division euclidienne de 263 par 15 26315 8 113 71 263 = 15 × 17 + 8 Dividende.

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1 ARITHMETIQUE I DIVISEURS ET MULTIPLES 1° Division euclidienne a) Effectuer la division euclidienne de 263 par = 15 × Dividende Reste Quotient Diviseur DividendeDiviseurQuotient Reste = × +

2 b) Effectuer la division euclidienne de 1288 par = 23 × 56 Le reste est nul On dit alors que : 23 est un diviseur de est un multiple de 23

3 2°Définition a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b 0 On dit que b est un diviseur de a lorsquil existe un nombre entier n tel que a = n × b Exemple 60 = 5 × 12Donc 12 est diviseur de 60 Les diviseurs de 60 sont : = 7 × Donc 7 nest pas un diviseur de 65 Donc 9 nest pas un diviseur de 65 Le reste nest pas nul

4 Nombre premier Un nombre entier positif qui n admet que deux diviseurs 1 et lui-même est un nombre premier 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 sont des nombres premiers Exemples

5 II Plus Grand Commun Diviseur 1° Activit é. Ecrire la liste des diviseurs de 42: Ecrire la liste des diviseurs de Les diviseurs communs à 42 et 30 sont : le Plus Grand Commun Diviseur à 42 et 30 est 6 On note PGCD( 42 ; 30) =

6 2°D é finition. a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs. Le plus grand commun diviseur aux nombres a et b s appelle le PGCD et se note PGCD( a ; b ) Remarques : PGCD ( a ; a ) = a PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; a ) Si b est un diviseur de a alors PGCD ( a ; b ) = b

7 3° D é termination du PGCD avec la liste des diviseurs D é terminer le PGCD de 42 et PGCD(70 ; 42 ) = 14 Diviseurs de 42 Diviseurs de 70 Diviseurs communs a 70 et 42 :

8 4° Calcul du PGCD par l algorithme des soustractions successives a) Les diviseurs communs a 70 et 42 sont : b) Cherchons les diviseurs communs a 42 et 70 – 42 Diviseurs de 42 : Diviseurs de 28 : Diviseurs communs : Ce sont les mêmes Donc PGCD (70 ; 42) = PGCD( 42 ; 70 – 42 ) c) Nous admettrons Quelques soient les nombres entiers a et b avec a > b PGCD( a ; b) = PGCD( b ; a - b)

9 d) Application Déterminer le PGCD des nombres 255 et 102 PGCD ( 255 ; 102 )= PGCD ( 102 ; ) = PGCD ( 102 ; 153 ) = PGCD ( 153 ; 102 ) = PGCD ( 102 ; ) = PGCD ( 102 ; 51 ) = PGCD ( 51 ; ) = PGCD ( 51 ; 51) = 51 PGCD ( 255 ; 102 ) = 51

10 5° Calcul du PGCD par l algorithme d EUCLIDE a) Nous admettons: Soit a et b deux nombres entiers strictement positifs avec a > b. Soit r le reste de la division euclidienne de a par b PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) b) Application : D é terminer le PGCD des nombres 770 et 198

11 Le reste est nul. D o ù PGCD ( 770 ; 198 ) = 22 PGCD ( 770 ; 198 ) = PGCD ( 198 ; 176 ) PGCD ( 198 ; 176 ) = PGCD ( 176; 22) Donc 22 est un diviseur de 176 Donc PGCD ( 176, 22 )= 22

12 6° D é finition. Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD = 1 Si le dénominateur et le num é rateur sont premiers entre eux alors cette fraction est IRREDUCTIBLE 7° Rendre une fraction irr é ductible a) Définition

13 b) Réduire la fraction On calcule le PGCD des nombres 323 et PGCD ( 323 ; 221 ) = = 17 x x = D o ù Fraction irr é ductible


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