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Analyse Muriel Ney Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive

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Présentation au sujet: "Analyse Muriel Ney Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive"— Transcription de la présentation:

1 Analyse Muriel Ney Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive

2 Organisation du semestre Affichage des groupes TT/TD et des salles : vendredi ou lundi matin.

3 Objectif général du cours Apprendre à utiliser le langage mathématique pour résoudre des situations où interviennent des phénomènes biologiques Apprendre les concepts de base et se familiariser avec les usages et les significations de ces concepts en fonction de la situation biologique

4 Le plan des cours danalyse Etude des phénomènes variables CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles CM3 Prendre du recul calculer une Primitive et intégrer une fonction CM4-CM5 Les processus qui provoquent des variations poser et intégrer une équation différentielle

5 Les cours de probabilités-statistiquesPrise de décision sur un phénomène aléatoire Probabilités Statistiques descriptives Estimation Tests dhypothèses Dominique Mouchiroud

6 Déterminisme et Hasard Peut-on prédire lévolution au court du temps dune population dorganismes vivants ? La croissance Déterminisme = reproduction, mortalité, etc. Variabilité (« hasard ») = temps et succès de la reproduction, etc.

7 Déterminisme et Hasard Peut-on prédire lévolution au court du temps dune population ?

8 Déterminisme et Hasard 1. Modèles du hasard Se décider dans une situation où le hasard intervient outils = probabilités et statistiques

9 Déterminisme et Hasard 2. Modèles déterministes Faire le lien entre le phénomène et les processus qui le provoquent Outils : fonctions et équations différentielles

10 Etude de fonction Modéliser le phénomène par une fonction Déterminer des propriétés de la fonction Interpréter en termes biologiques

11 Un jeu de traduction Est-ce que le nombre dorganismes ne fait que croître avec le temps ? Quelle est vitesse daccroissement du nombre dorganismes ? Quel est le nombre moyen dorganismes produits entre le début de lexpérience et un temps t donné ? Est-ce que le nombre dorganismes se stabilise au bout dun certain temps ?

12 Un jeu de traduction Est-ce que le nombre dorganismes ne fait que croître avec le temps ? le signe de la dérivée de g Quelle est vitesse daccroissement du nombre dorganismes? la dérivée seconde Quel est le nombre moyen dorganismes produits entre le début de lexpérience et un temps t donné ? lintégrale sur [0, t] Est-ce que le nombre dorganismes se stabilise au bout dun certain temps ? la limite quand le temps tend vers linfini, lasymptote

13 CM1,CM2 : Décrire les variations Definition dune fonction Etude de fonction en étapes (a à h) Fonctions usuelles: fonction linéaire, exponentielle, logarithme, puissance

14 Définition dune fonction Application de IR dans IR qui à un point x de IR fait correspondre un point UNIQUE y = f(x) dans IR. x : le temps (t), la température (T), etc. f : un nombre dorganismes (N), leur taille, leur poids, une concentration, une intensité, etc.

15 Plan détude dune fonction MathSV : Analyse Etude de fonctions Applications à létude des fonctions A.D f B.Symétrie C.Points particuliers D.Sens de variation E. F.Tableau de variation Limites G.Asymptotes H.Graphe

16 Espérance de vie à la naissance Un indicateur fondé uniquement sur les données de la mortalité : le nombre moyen d'années que peut espérer vivre une personne (dans les conditions de mortalité de la période considérée). Nous allons modéliser laugmentation de lespérance de vie à la naissance entre 1981 et 2000 (des hommes et des femmes). Quel modèle (quelle fonction) ?

17 Espérance de vie = f (temps) t= année E=espérance a et b dépendent du sexe

18 A. Domaine de définition Définitions : D f = Domaine de définition Ensemble de départ (ensemble des antécédents) = lensemble des x f(D f ) = Ensemble darrivée (ou ensemble des images) = lensemble des y f

19 B. Symétrie : paire ou impaire ? Définitions : On dit que f est paire si f(-x)=f(x) symétrie / axe y exemple f(x)=x 2 On dit que f est impaire si f(-x)=-f(x) symétrie / (0,0) exemple f(x)=ax (0,0) x y x-x

20 C. Points particuliers x = 0 alors f(x) = ? f(x) = 0 alors x = ?

21 D. Sens de variation : dérivée MathSV : formulaire Définition : La dérivée de f en x 0 est la variation de f dans un voisinage infiniment petit de ce point Notation : Limite

22 D. Sens de variation : dérivée x y f(x)f(x) x0x0

23 Equation de la tangente au point x 0 x y f(x)f(x) T x0x0

24 f(x)=|x| Fonction continue mais non dérivable en 0 f(x)= x 2 Dérivable en tout point

25 Continuité Définition : Une fonction est continue en un point x 0 si la limite en ce point existe. Continue en (0,0)Pas continue en (0,0)

26 D. Sens de variation Propriétés : f est constante sur [a,b] si la dérivée est nulle sur [a,b] f est croissante sur [a,b] si la dérivée est positive sur [a,b] f est décroissante sur [a,b] si la dérivée est négative sur [a,b] f admet un extremum en x si la dérivée sannule en x

27 E. La dérivée seconde f (x) Définitions : 1. f est convexe sur un intervalle si sa dérivée seconde est positive (le graphe de f est courbé vers le haut)

28 E. La dérivée seconde f (x) Définitions : 2. f est concave sur un intervalle si sa dérivée seconde est négative

29 E. La dérivée seconde f (x) Définitions : 3. f a un point dinflexion si la dérivée seconde sannule ET change de signe en ce point.

30 F. Le tableau de variation 1.Construire le tableau à partir du signe de la dérivée. 1.Compléter ce tableau en cherchant les limites de f aux bornes des intervalles, et lorsque x tend vers plus ou moins linfini x f(x) + _

31 Calcul des limites Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. Cauchy, 1821

32 Calcul des limites MathSV : formulaire Formes indéterminées

33 G. Asymptotes Si la courbe de f sapproche infiniment près dune droite, celle-ci sappelle une asymptote Asymptote oblique Asymptote verticale

34 Asymptotes Si il y a une asymptote verticale passant par x = x 0 Si il y a une asymptote horizontale passant par y = l Si il y a une asymptote oblique déquation y = ax+b si

35 H. Graphe

36 Mesurer les magnitude dun tremblement de terre A amplitude des oscillations, T période M = ln(A/T) Japon 1906 A/T=3641 M = ? Chili 1960 A/T=13360 M = ? Echelle de Richter

37 A/T M = ln(A/T) Léchelle logarithmique rapproche des valeurs qui sont de plus en plus éloignées 500

38 Propriétés ln (1) = 0 ln (ab) = ln(a) +ln(b) donc ln (a p ) = p ln(a) ln (a/b) = ln(a) – ln(b) donc ln(1/b) = – ln(b) Logarithme en base 10 : Log 10 (a) = ln(a)/ln(10) donc Log 10 (10 n ) = n

39 Etude de la fonction ln(x) logarithme népérien A.D f B.Symétrie C.Points particuliers D.Sens de variation E. F.Tableau de variation Limites G.Asymptotes H.Graphe

40 Graphe logarithme népérien

41 Croissance dune population de tourterelles Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi lEurope dEst en Ouest et arrivent en Grande Bretagne :1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964 On cherche un modèle de laccroissement de la population de ces tourterelles compatible avec les données en GB. Hypothèse : le nombre de tourterelles est proportionnel au nombre dendroits où lespèce est recensée.

42 Données : modèle (fonction) ? TempsLieux

43 Propriétés Notation : exp(x) = e x exp(0) = 1 exp(1) = e exp(a+b) = exp(a) exp(b) donc exp(ap) = exp(a) p exp(a-b) = exp(a) / exp(b) donc exp(-b) = 1 / exp(b)

44 La fonction exp est la fonction réciproque de la fonction ln Définitions f admet une fonction réciproque sil existe une fonction g telle que f o g = g o f = Identité avec Identité(x)=x où f o g est la fonction composée définie par f o g (x) = f ( g (x) )

45 logarithme(exponentielle) = droite

46 Etude de la fonction exp A.D f B.Symétrie C.Points particuliers D.Sens de variation E. F.Tableau de variation Limites G.Asymptotes H.Graphe

47 Graphe

48 Autres fonctions usuelles

49 Fonctions trigonométriques

50 Variations de la dureté de leau en fonction du temps

51 Fonctions polynômes Polynôme de degré 4 Polynôme de degré 3 Polynôme de degré 2 Fonction linéaire

52 Variation du taux de croissance dune population en fonction de la température

53 Existe-t-il une relation entre le poids du corps et le poids du cerveau chez les mammifères ? Si oui, laquelle ?

54 Log10(cerveau) = a Log10(corps) + b donc cerveau = 10 b ( corps ) a y = c x a a = 0,7517 b = -1,3279

55 Etude de la fonction x m A.D f B.Symétrie C.Points particuliers D.Sens de variation E. F.Tableau de variation Limites G.Asymptotes H.Graphe

56 Graphe m = 0

57 La semaine prochaine Deux cours : intégration et équations différentielles Une séance de Travaux Tutorés Une séance de Travaux dirigés MathSV : QCM des chapitres 1 à 4.


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