La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

1 Didactique des mathématiques : la théorie anthropologique du didactique (Y. Chevallard) 1ère partie Maggy Schneider Université de Liège.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "1 Didactique des mathématiques : la théorie anthropologique du didactique (Y. Chevallard) 1ère partie Maggy Schneider Université de Liège."— Transcription de la présentation:

1 1 Didactique des mathématiques : la théorie anthropologique du didactique (Y. Chevallard) 1ère partie Maggy Schneider Université de Liège

2 2 Anthropologique ? Sinscrit dans un projet de modélisation des « pratiques humaines » : activité mathématique ou actions humaines de nature didactique Sinscrit dans un projet de modélisation des « pratiques humaines » : activité mathématique ou actions humaines de nature didactique Accentue la posture non prescriptive de la TSD en cherchant à « briser lillusion de naturalité des choix didactiques » mais parti-pris plus récent contre un enseignement « monumentaliste » des mathématiques Accentue la posture non prescriptive de la TSD en cherchant à « briser lillusion de naturalité des choix didactiques » mais parti-pris plus récent contre un enseignement « monumentaliste » des mathématiques Postule, comme la TSD, que « le mystère est dans les mathématiques », doù le questionnement de celles-ci qui doivent être considérées comme « non transparentes » Postule, comme la TSD, que « le mystère est dans les mathématiques », doù le questionnement de celles-ci qui doivent être considérées comme « non transparentes »

3 3 Anthropologique ? Approche systémique qui prend en compte le triangle didactique « complet » : savoir, élève, professeur : « La singularité originaire de la didactique consiste à prendre comme objet premier à étudier […] non pas le sujet apprenant ou le sujet enseignant, mais le savoir mathématique quils sont censés étudier ensemble » (M. Bosch et Y. Chevallard), Approche systémique qui prend en compte le triangle didactique « complet » : savoir, élève, professeur : « La singularité originaire de la didactique consiste à prendre comme objet premier à étudier […] non pas le sujet apprenant ou le sujet enseignant, mais le savoir mathématique quils sont censés étudier ensemble » (M. Bosch et Y. Chevallard), Doù limportance du concept de situation fondamentale qui modélise le savoir mathématique visé à travers ses « vraies raisons dêtre » Doù limportance du concept de situation fondamentale qui modélise le savoir mathématique visé à travers ses « vraies raisons dêtre »

4 4 La TAD : un cadre pour penser les aspects institutionnels de la TSD Situations didactiques : caractère fondamental éventuel caractère fondamental éventuel caractère adidactique éventuel caractère adidactique éventuel (milieu adidactique pour permettre la dévolution)

5 5 La relativité institutionnelle du caractère fondamental Caractère fondamental dune situation : le savoir visé est une réponse optimale à la question posée. Dans la TAD, on parle des « vraies raisons dêtre » des savoirs Caractère fondamental dune situation : le savoir visé est une réponse optimale à la question posée. Dans la TAD, on parle des « vraies raisons dêtre » des savoirs Postulat de la TSD : « Il existe pour tout savoir une famille se situations susceptibles de lui donner un sens correct»(G. Brousseau) Postulat de la TSD : « Il existe pour tout savoir une famille se situations susceptibles de lui donner un sens correct»(G. Brousseau)

6 6 La relativité institutionnelle du caractère fondamental « Ce sens [ du savoir ] est correct par rapport à lhistoire de ce concept, par rapport au contexte social, par rapport à la communauté scientifique » (G. Brousseau) La réponse donnée à une question est relative à une « institution » (Y. Chevallard). Le savoir nest pas absolu : il existe différents rapports institutionnels au même savoir qui transparais- sent à travers des pratiques diverses

7 7 Rapport institutionnel au savoir On ne sautorise pas dans toutes les institutions des résolutions graphiques déquations ou des calculs tels que :

8 8 Transposition et écologie Les pratiques mathématiques, les organisations praxéologiques sont propres aux institutions Les pratiques mathématiques, les organisations praxéologiques sont propres aux institutions En particulier les institutions « scolaires » se démarquent des institutions savantes, doù le concept de transposition didactique et les phénomènes associés gouvernés par lécologie des savoirs En particulier les institutions « scolaires » se démarquent des institutions savantes, doù le concept de transposition didactique et les phénomènes associés gouvernés par lécologie des savoirs

9 9 Rapport institutionnel au savoir Doù lintérêt de se polariser autant sur les techniques utilisées et les discours qui les justifient que sur les concepts Et donc, de modéliser lactivité mathématique en termes de praxéologies

10 10 Modélisation de lactivité mathématique en termes de praxéologies Tâches ou types de tâches Tâches ou types de tâches Techniques qui rendent les tâches faciles à faire Techniques qui rendent les tâches faciles à faire Technologies : discours technologique qui légitime lusage de la technique eu égard au type de tâches concerné, rend la technique intelligible et explore son champ dopérationnalité Technologies : discours technologique qui légitime lusage de la technique eu égard au type de tâches concerné, rend la technique intelligible et explore son champ dopérationnalité Théories : fédèrent des technologies en un tout organisé Théories : fédèrent des technologies en un tout organisé

11 11 Exemple des équations du second degré Une technique « exotique » pour résoudre X x = 39 Diviser 10 par 4 : 2,5 Diviser 10 par 4 : 2,5 Elever 2,5 au carré et multiplier par 4 : 2,5 2 x 4 = 25 Elever 2,5 au carré et multiplier par 4 : 2,5 2 x 4 = 25 Ajouter 39 : = 64 Ajouter 39 : = 64 Prendre la racine de 64 : 64 = 8 Prendre la racine de 64 : 64 = 8 Retrancher 2 fois 2,5 : x 2,5 = 3 Retrancher 2 fois 2,5 : x 2,5 = 3

12 12 Exemple des équations du second degré : recherche dune intelligibilité de la méthode

13 13 Exemple des équations du second degré Intérêt de létude préalable de certaines équations du second degré qui ont une « bonne forme » Intérêt de létude préalable de certaines équations du second degré qui ont une « bonne forme » Nécessité dun discours qui montre que le but est de « ramener » dautres équations à cette « bonne forme » Nécessité dun discours qui montre que le but est de « ramener » dautres équations à cette « bonne forme » Doù lintelligibilité des manipulations algébriques faites pour démontrer les formules de résolution dune équation générale du second degré Doù lintelligibilité des manipulations algébriques faites pour démontrer les formules de résolution dune équation générale du second degré

14 14 Rôle du discours technologique Justifier lefficacité de la technique eu égard à la tâche visée Justifier lefficacité de la technique eu égard à la tâche visée Rendre la technique intelligible ce qui est indispensable si lon veut savoir dans quelles conditions lutiliser et savoir ladapter le cas échéant (connaissances conditionnelles de J. Tardif) Rendre la technique intelligible ce qui est indispensable si lon veut savoir dans quelles conditions lutiliser et savoir ladapter le cas échéant (connaissances conditionnelles de J. Tardif)

15 15 Praxéologies mathématiques Exemple des automorphismes de solides Exemple des automorphismes de solides Exemple des équations du second degré Exemple des équations du second degré Exemple des fonctions homographiques Exemple des fonctions homographiques Exemple des limites aux infinis des fractions rationnelles Exemple des limites aux infinis des fractions rationnelles Exemple du calcul de limites Exemple du calcul de limites

16 16 La dynamique des praxéologies Tâches complexes a priori, rendues routinières par la technique en payant le prix de la théorie (ou du discours technologique); doù une économie de pensée Tâches complexes a priori, rendues routinières par la technique en payant le prix de la théorie (ou du discours technologique); doù une économie de pensée Le discours technologique ou la théorie permettent de cerner le champ defficacité de la technique Le discours technologique ou la théorie permettent de cerner le champ defficacité de la technique

17 17 Lexemple des techniques de proportionnalité Si 6 bonbons coûtent 15 francs, combien coûtent 10 bonbons ? Une technique discursive : Si 6 bonbons coûtent 15 francs, 1 bonbon coûte 6 fois moins, soit 15 : 6 = 2,5 francs. Si un bonbon coûte 2,5 francs, 10 bonbons coûtent 10 fois plus, soit 10 x 2,5 = 25 francs Une technique discursive : Si 6 bonbons coûtent 15 francs, 1 bonbon coûte 6 fois moins, soit 15 : 6 = 2,5 francs. Si un bonbon coûte 2,5 francs, 10 bonbons coûtent 10 fois plus, soit 10 x 2,5 = 25 francs Une technique algébrique basée sur la propriété Le produit des moyens est égal au produit des extrêmes : Une technique algébrique basée sur la propriété Le produit des moyens est égal au produit des extrêmes : 6/10 = 15/x ou x = 10 x 15/6 = 25

18 18 Lexemple des techniques de proportionnalité Utilisation dun tableau : Utilisation dun tableau : Une technique de modélisation fonctionnelle : Une technique de modélisation fonctionnelle : Fonction du type y = ax Fonction du type y = ax En remplaçant x par 6 et y par 15, on trouve a = 2,5 En remplaçant x par 6 et y par 15, on trouve a = 2,5 On cherche limage de 10 On cherche limage de 10

19 19 Lexemple des techniques de proportionnalité Le peu de succès à lécole élémentaire dun traitement algébrique des problèmes de proportionnalité sexplique par certaines habitudes culturelles : « le traitement algébrique aurait précipité la disparition dun champ de problèmes très apprécié culturellement, devenu le symbole des mathématiques élémentaires enseignées » (Bosch)

20 20 Des praxéologies aux ostensifs La « courbe du maçon » est-elle une parabole ? La « courbe du maçon » est-elle une parabole ?

21 21 Des praxéologies aux ostensifs Deux systèmes de points modélisés par un même ostensif algébrique : Courbe du maçon modélisé par deux ensembles paramétrés déquations : x = m et y = mx et donc par léquation y = x 2 Courbe du maçon modélisé par deux ensembles paramétrés déquations : x = m et y = mx et donc par léquation y = x 2 Modèle algébrique des paraboles daxe Oy et de sommet (0,0) : y = ax 2 ; directrice y = - a/4 et foyer (a/4,0) Modèle algébrique des paraboles daxe Oy et de sommet (0,0) : y = ax 2 ; directrice y = - a/4 et foyer (a/4,0)

22 22 La dynamique des praxéologies liée à linstrumentalité des ostensifs Ostensifs : tout ce qui sappréhende par les sens (notations, mots, gestes, …) Ostensifs : tout ce qui sappréhende par les sens (notations, mots, gestes, …) Non - ostensifs : idées, concepts, … associés aux ostensifs Non - ostensifs : idées, concepts, … associés aux ostensifs

23 23 Rôle des ostensifs dans lactivité mathématique Exemple des multiples notations associées au concept de fonction :

24 24 Rôle des ostensifs dans lactivité mathématique Difficultés associées à la notation « f(x) » Valence sémiotique des ostensifs : pouvoir dévoquer, en certaines institutions, les non- ostensifs associés

25 25 Rôle des ostensifs dans lactivité mathématique Valence instrumentale de la notation « équation » : Valence instrumentale des ostensifs : ce sont des instruments qui facilitent la mise en œuvre de techniques pour réaliser des tâches

26 26 Rôle des ostensifs dans lactivité mathématique Retour aux transformations graphiques Exercice sur les notations diverses de la dérivée Débat sur « rigueur et notations »

27 27 Un regard praxéologique sur les fonctions Chez Archimède : La quadrature du segment de parabole et la cubature de la pyramide sont des problèmes différents bien que relevant tous deux de la méthode dexhaustion

28 28 Un regard praxéologique sur les fonctions

29 29 Un regard praxéologique sur les fonctions Cest le même problème : primitive dune fonction du second degré ou limite de sommes de Riemann de même structure Cest le même problème : primitive dune fonction du second degré ou limite de sommes de Riemann de même structure La détermination dune aire sous une courbe est un modèle « standard » des problèmes relevant dune intégrale dune fonction dune variable La détermination dune aire sous une courbe est un modèle « standard » des problèmes relevant dune intégrale dune fonction dune variable Une classification algébrique … Une classification algébrique …

30 30 Un regard praxéologique sur les fonctions « Mais pour quon ait le droit de voir là un calcul intégral, il faudrait y mettre en évidence, à travers la multiplicité des apparences géomé-triques, quelque ébauche de classification des problèmes suivant la nature de lintégrand sous-jacent. Au XVII e siècle, nous allons le voir, la recherche dune telle classification devient peu à peu lun des principaux soucis des géomètres » (Bourbaki)

31 31 Un regard praxéologique sur les fonctions Catégoriser des phénomènes daprès le type de fonction mobilisée en standardisant les notations : variables et paramètres Catégoriser des phénomènes daprès le type de fonction mobilisée en standardisant les notations : variables et paramètres

32 32 Un regard praxéologique sur les fonctions Regard conceptuel sur les fonctions : les ensembles et relations (fonctionnelles) sont les concepts premiers de la théorie des ensembles dans un projet daxiomatisation, de fondement et de synthèse de toutes les mathématiques Regard conceptuel sur les fonctions : les ensembles et relations (fonctionnelles) sont les concepts premiers de la théorie des ensembles dans un projet daxiomatisation, de fondement et de synthèse de toutes les mathématiques Mais les fonctions sont aussi des outils de catégorisation des phénomènes qui vont permettre denclencher les techniques de dérivation et de primitivation pour résoudre des problèmes variés (mais les coniques permettent la même économie de pensée) Mais les fonctions sont aussi des outils de catégorisation des phénomènes qui vont permettre denclencher les techniques de dérivation et de primitivation pour résoudre des problèmes variés (mais les coniques permettent la même économie de pensée) Quel point de vue à quel niveau ? A rapprocher des outils dévaluation sur la modélisation fonctionnelle (travail sur les paramètres, …)


Télécharger ppt "1 Didactique des mathématiques : la théorie anthropologique du didactique (Y. Chevallard) 1ère partie Maggy Schneider Université de Liège."

Présentations similaires


Annonces Google