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1 Surfaces bicubiques de Hermite Tiré de Michael E. Mortenson, Geometric Modeling. Wiley, 1997, 523p.

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1 1 Surfaces bicubiques de Hermite Tiré de Michael E. Mortenson, Geometric Modeling. Wiley, 1997, 523p.

2 2 Forme algébrique des surfaces bicubiques de Hermite u, v [0, 1] Sous forme matricielle, on obtient : P = U t A V où U t = [ u 3 u 2 u 1], V t = [ v 3 v 2 v 1], a 33 a 32 a 31 a 30 A = a 23 a 22 a 21 a 20 a 13 a 12 a 11 a 10 a 03 a 02 a 01 a 00 Chacun des a ij possède 3 coordonnées a ijx, a ijy et a ijz ce qui donne au total 16 x 3=48 coefficients scalaires algébriques et A est en fait une matrice 4 x 4 x 3. Cette représentation est inappropriée pour lanimateur : on ne peut lui demander de définir une telle surface en fixant ces 48 coefficients algébriques. P

3 3 Forme géométrique des surfaces bicubiques de Hermite Notation : P uv P(u, v) P u uv P(u, v) u u = u v = v P v uv P(u, v) v u = u v = v La surface est définie à partir de : ses 4 courbes frontières :les sommets P(0,0), P(0,1), P(1,0) et P(1,1), les vecteurs tangents aux 4 sommets P u 00, P u 01, P u 10 et P u 11, P v 00, P v 01, P v 10 et P v 11, des vecteurs de torsion aux 4 sommets : P uv 00, P uv 01, P uv 10 et P uv 11. P uv uv 2 P(u, v) u v u = u v = v

4 4 Forme géométrique des surfaces bicubiques de Hermite Cest une surface délimitée par 4 courbes de Hermite de degré 3 : La fixation de l'un des 2 paramètres donne une courbe de Hermite de degré 3 en fonction de l'autre paramètre. La surface est donc constituée d'un réseau de 2 familles de courbes de Hermite de telle sorte qu'une seule courbe de chacune des 2 familles passe par chaque point P(u, v). P(u, 0) P u0 = [P 00 P 10 P u 00 P u 10 ] M UP(u, 1) P u1 = [P 01 P 11 P u 01 P u 11 ] M U P(0, v) P 0v = [P 00 P 01 P v 00 P v 01 ] M VP(1, v) P 1v = [P 10 P 11 P v 10 P v 11 ] M V. Les vecteurs tangents à la surface en un point P(u i, v j ) sont donnés par: Ceci constitue un plan tangent à la surface. P u u i v j P(u, v) u u = u i v = v j P v u i v j P(u, v) v u = u i v = v j

5 5 Surfaces paramétriques de degré 3 La formulation géométrique matricielle est donnée par Michael E. Mortenson : P(u, v) = U t M t B M Vavec M = où A = M t B Mou encoreB = (M t ) -1 A M -1 P(u,0) P(u,1) P(0,v) P(1,v) = B 2 – Il sensuit que : U t = [ u 3 u 2 u 1], V t = [ v 3 v 2 v 1],

6 6 Calcul de P u (u, v) et P v (u, v) P u (u, v) = U t N t B M Vavec N = U t = [ u 3 u 2 u 1], V t = [ v 3 v 2 v 1], P v (u, v) = U t M t B N V P uv (u, v) = U t N t B N V Il sensuit que : P u (0, v) P u 0v = [P u 00 P u 01 P uv 00 P uv 01 ] M V P u (1, v) P u 1v = [P u 10 P u 11 P uv 10 P uv 11 ] M V P v (u, 0) P v u0 = [P v 00 P v 10 P uv 00 P uv 10 ] M U P v (u, 1) P v u1 = [P v 01 P v 11 P uv 01 P uv 11 ] M U. P(u,0) P(u,1)P v (u,0)P v (u,1) P(0,v) P(1,v) P u (0,v) P u (1,v) = B

7 7 Calcul dune courbe intermédiaire P(u, v) 1. Calcul de P(u, 0) P u0 = [P 00 P 10 P u 00 P u 10 ] M U et P(u, 1) P u1 = [P 01 P 11 P u 01 P u 11 ] M U. 2. Calcul de P v (u, 0) P v u0 = [P v 00 P v 10 P uv 00 P uv 10 ] M U P v (u, 1) P v u1 = [P v 01 P v 11 P uv 01 P uv 11 ] M U. P(u, v) P uv = [P(u, 0) P(u, 1) P v (u, 0) P v (u, 1)] M V.

8 8 Subdivision exacte dune surface bicubique en 9 sous-surfaces bicubiques Nouvelle surface Q de Hermite w = 1 w = 0 vlvl vkvk

9 9 Subdivision exacte dune surface bicubique en 9 sous-surfaces bicubiques Q 00 = P ik Q 10 = P jk Q 01 = P il Q 11 = P jl Q t 00 = (u j - u i ) P u ik Q t 10 = (u j - u i ) P u jk Q t 01 = (u j - u i ) P u il Q t 11 = (u j - u i ) P u jl Q w 00 = (v l - v k ) P v ik Q w 10 = (v l - v k ) P v jk Q w 01 = (v l - v k ) P v il Q w 11 = (v l - v k ) P v jl Q tw 00 = (u j - u i ) (v l - v k ) P uv ik Q tw 10 = (u j - u i ) (v l - v k ) P uv jk Q tw 01 = (u j - u i ) (v l - v k ) P uv il Q tw 11 = (u j - u i ) (v l - v k ) P uv jl Passage de [u i, u j ] x [v k, v l ] à [0, 1] x [0, 1]Reparamétrisation

10 10 Propriétés des surfaces bicubiques Vecteur normal à la surface Soit P(u, v) une telle surface, le vecteur normal unitaire à la surface P(u, v) au point (u, v) est de la forme suivante: N(u, v) = (P u x P v ) / || P u x P v || oùP u x P v = (p u y p v z - p v y p u z ) (p u z p v x - p u x p v z ) (p u x p v y - p u y p v x ) avec P u (p u x, p v y, p u z )etP v (p v x, p v y, p v z ).

11 11 Surfaces bicubiques particulières Surface plane définie à laide dun point Q et de 2 vecteurs r et s | | au plan Cette surface plane a la forme suivante: P(u,v) = Q + u r + v s,u,v [0,1] où QQ + sss B =Q+rQ+r+sss rr00

12 12 Surfaces bicubiques particulières Surface cylindrique Un segment de droite Q 0 Q 1 se déplace sur la courbe de Hermite P(u), u [0,1] tout en conservant une direction constante: P(u) + v (Q 1 - Q 0 )u,v [0,1]avec P(0) = Q 0. Q 0 Q 1 Q 1 - Q 0 Q 1 - Q 0 B =P(1)P(1) + Q 1 - Q 0 Q 1 - Q 0 Q 1 - Q 0 p u 0 p u p u 1 p u segment

13 13 Surfaces bicubiques particulières P(0)Q(0)Q(0) – P(0)Q(0) – P(0) B =P(1)Q(1)Q(1) – P(1)Q(1) – P(1) P u 0 Q u P u 1 Q u Cas spécial : Lorsque les 2 courbes de Hermite sont des segments de droite, nous avons un paraboloïde hyperbolique. Surface guidée Il sagit de joindre 2 courbes de Hermite P(u) et Q(u) par le segment de droite P(u) – Q(u) pour tout u dans [0,1].


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