La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Géométrie analytique - coordonnées du point de partage dun segment - coordonnées du point milieu dun segment.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Géométrie analytique - coordonnées du point de partage dun segment - coordonnées du point milieu dun segment."— Transcription de la présentation:

1 Géométrie analytique - coordonnées du point de partage dun segment - coordonnées du point milieu dun segment

2 Un segment de droite peut lui-même être divisé en dautres segments selon un rapport donné: P ( x, y ) Ici, le point P partage le segment dans un rapport de une partie pour trois parties. Ce rapport de partage sécrit 1 : 3 ou 1 3 Un cas particulièrement intéressant est celui dun point qui divise un segment dans un rapport de partage de 1 : 1 ; cest-à-dire le milieu dun segment. P ( x, y ) 1 1 Il est donc essentiel de pouvoir déterminer les coordonnées de ces points particuliers.

3 Il existe des formules pour déterminer ces coordonnées. - coordonnées du point de partage dun segment : - coordonnées du point milieu dun segment : x y P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) P(x, y) a b x y P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) P(x, y) 1 1 P partage ax 2 +bx 1 a + b, ay 2 +by 1 a + b P milieu x2x2 + x1x1 2, y2y2 + y1y1 2

4 Pour comprendre comment on obtient ces formules, il faut connaître les propriétés des triangles semblables : - mêmes mesures dangles homologues; - rapports des segments homologues proportionnels. Prenons un triangle rectangle: On lui applique une homothétie de K = 2 et de centre A, A B C A B C Les angles homologues A et A sont de mêmes mesures, ainsi que les angles B et B et les angles C et C. puis une translation.

5 3 4 5 A B C A B C Les rapports des segments homologues sont proportionnels = 8 4 = 6 3 = 2 Les formules pour trouver les coordonnées du point de partage et du point milieu dun segment sont déduites à partir de cette propriété des triangles semblables. m A B = m A C = m B C

6 Coordonnées du point de partage dun segment x y P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) P(x, y) x1x1 x - y1y1 y - xx2x2 - yy2y2 - a b Prenons un segment; plaçons un point P (x, y ); ce point partage le segment dans un rapport a : b; complétons 2 triangles rectangles semblables; déterminons les expressions algébriques représentant les dimensions des cathètes de ces triangles; Nous pouvons maintenant poser les proportions suivantes en utilisant les côtés homologues: x1x1 x - xx2x2 - = a b y1y1 y - yy2y2 - = a b et

7 x y P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) P(x, y) x1x1 x - y1y1 y - xx2x2 - yy2y2 - a b Par transformations, nous obtenons: x1x1 x - xx2x2 - = a b Pour labscisse du point de partage : b ( x – x 1 ) = a ( x 2 – x ) bx – bx 1 = ax 2 – ax ax + bx = ax 2 + bx 1 x ( a + b ) = ax 2 + bx 1 ( a + b ) ax 2 + bx 1 a + b x =

8 y1y1 y - yy2y2 - = a b x y P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) P(x, y) x1x1 x - y1y1 y - xx2x2 - yy2y2 - a b Par transformations, nous obtenons: Pour lordonnée du point de partage : b ( y – y 1 ) = a ( y 2 - y ) by – by 1 = ay 2 – ay ay + by = ay 2 + by 1 y ( a + b ) = ay 2 + by 1 ( a + b ) ay 2 + by 1 a + b y = Coordonnées du point de partage: P partage ax 2 +bx 1 a + b, ay 2 +by 1 a + b

9 Remarques: 1) x y P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) P(x, y) x1x1 x - y1y1 y - xx2x2 - yy2y2 - a b origine du segmentextrémité du segment coordonnées du point dorigine du segment; coordonnées du point de lextrémité du segment; Lorigine dun segment est toujours représenté par le couple de coordonnées possédant la plus petite abscisse. Exemple: Un segment est déterminé par les couples de coordonnées suivants: ( 2, 7 ) et ( 5, 13 ) origine du segmentextrémité du segment P partage ax 2 +bx 1 a + b, ay 2 +by 1 a + b

10 Remarques: 2) x y P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) P(x, y) 1 3 si le rapport de partage a : b < 1 exemple: 1 3 < 1 si le rapport de partage a : b > 1 exemple: 3 1 > 1 alors le point de partage est plus près de lorigine du segment. alors le point de partage est plus près de lextrémité du segment. P(x, y) 3 1 P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 )

11 Problème Quelles sont les coordonnées du point de partage qui sépare un segment délimité par les points C ( 1, 2 ) et D ( 5, 6 ) selon un rapport de 1 : 3 ? P 1 ( x 1, y 1 ) P 2 ( x 2, y 2 ) C ( 1, 2 )D ( 5, 6 ) a = 1 b = 3 P partage ( 2, 3 ) 1 X 5+3 X , 1 X 6+3 X , , 12 4 P partage ax 2 +bx 1 a + b, ay 2 +by 1 a + b x y C ( 1, 2 ) D( 5, 6 ) a = 1 b = 3 ( 2, 3 )

12 Remarque: À la lecture dune mise en situation, il faut être capable de distinguer le rapport de distance et le rapport de partage. Une personne se promène sur une route rectiligne. Après quelques heures, elle a franchi les 3 / 4 de la distance. Exemple: Elle est donc rendue ici : Cependant, sa position partage le segment dans un rapport de 3 : Cest le rapport de partage. La formule du point de partage utilise le rapport de partage. Lis attentivement la mise en situation. Cest un rapport de distance. départ

13 Coordonnées du point milieu dun segment x y P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) P(x, y) 1 1 Le rapport de partage étant de 1 : 1, la formule du point de partage en est simplifiée ! a = 1 et b = 1 Remarque:À la moitié du chemin ( rapport de distance ), le rapport de partage est de 1 : 1. P partage ax 2 +bx 1 a + b, ay 2 +by 1 a + b P milieu 1x 2 +1x , 1y 2 +1y P milieu x2x2 +x1x1 2, y2y2 + y 1 2

14 Problème Quelles sont les coordonnées du point qui sépare le segment, dont les extrémités sont les points C (2, 8 ) et D ( 10, 24 ), en son milieu ? P milieu ( 6, 16 ) , , 32 2 P milieu x2x2 +x1x1 2, y2y2 + y 1 2


Télécharger ppt "Géométrie analytique - coordonnées du point de partage dun segment - coordonnées du point milieu dun segment."

Présentations similaires


Annonces Google