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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Sommations et notation sigma Sommations et notation sigma.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Sommations et notation sigma Sommations et notation sigma

2 Introduction Dans le cadre du présent cours, nous aurons à manipuler, à diverses occasions, des sommes de termes. Dans cette présentation, nous verrons cette notation, ses propriétés et ses règles dutilisation. Pour alléger lécriture de ces sommes, il est dusage dutiliser une notation appelée « notation sigma ».

3 Sommation DÉFINITION Sommation On appelle sommation une expression de la forme : = ar ar + a r+1 + a r+2 + …. + a n–2 + a n–1 + anan où le symbole (lettre grecque sigma) est appelé symbole de sommation. La portée dun symbole de sommation est lexpression algébrique qui est affectée par le symbole de sommation. i = r n aiai i = r n aiai Le terme a i est le terme général de la sommation. Lindice i, appelé indice de sommation, prend toutes les valeurs entières de la borne inférieure r à la borne supérieure n. On a donc :

4 Portée dune sommation Considérons la sommation suivante : En développant, on obtient : i = 1 n xiaxia Lorsque le symbole de sommation est suivi dune expression algébrique constituée du produit ou du quotient dexpressions algébriques plus simples, on convient que toute cette expression est dans la portée du symbole de sommation. i = 1 n xiaxia Produits et quotients x1ax1a = x2ax2a + x3ax3a xnaxna + S De la même façon : i = 1 5 ax i = ax 1 + ax 2 + ax 3 + ax 4 + ax 5 REMARQUE : Lindice prend toutes les valeurs entières entre 1 et n et chaque valeur correspond à un terme de la somme. S

5 Portée dune sommation Ainsi : Lorsque lexpression algébrique qui suit le symbole de sommation est constituée de sommes ou de différences dexpressions algébriques plus simples, il faut préciser la portée du symbole à laide de parenthèses lorsque la portée sétend au-delà du premier terme de cette somme ou de cette différence. Sommes et différences S Cependant : i = 1 5 ax i + b = ax 1 + ax 2 + ax 3 + ax 4 + ax 5 + b S i = 1 5 (ax i + b) = (ax 1 + b)+ (ax 2 + b) + (ax 3 + b) + (ax 4 + b) + (ax 5 + b)b) REMARQUE : Les parenthèses sont utilisées pour indiquer la portée du symbole de sommation. Il ne faut pas les négliger.

6 S Exercices Écrire le développement des expressions suivantes et évaluer : a)a) S k = 3 7 k2k2 a)a) k = 3 5 k2k2 = = 135 b)b) j = 2 6 (2j – 1) b)b) j = 2 6 (2j – 1) = = 35 c)c) i = 1 5 3i – 10 c)c) i = 1 5 3i – 10 = 1 3 – – – 6 3 = –135 d)d) i = 0 5 (–1) i (i + 1) 3 d)d) i = 0 5 (–1) i (i + 1) 3 S = – 10 = 35 S

7 Propriétés du symbole de sommation i = 1 n a = nana Cette somme représente laddition de n termes égaux à a. i = 1 n ax i SSS = a i = 1 n xixi Mise en évidence dune constante qui multiplie chacun des termes. i = 1 n (x i + y i ) = i = 1 n xixi + i = 1 n yiyi Regroupement par commutativité et associativité de laddition. i = 1 n xixi = j = 1 n xjxj = k = 1 n xkxk =... Possibilité de renommer lindice dune sommation.

8 Exercice Démontrer que : SSS i = 1 n ax i = a i = 1 n xixi Développons la somme : i = 1 n ax i = a i = 1 n xixi = ax 1 + ax 2 + ax 3 + … + ax n–1 + ax n = a(x1 a(x1 + x2 x2 + x3 x3 + … + x n–1 + xn)xn), par mise en évidence;,en utilisant la notation sigma. REMARQUE : On démontre les propriétés du symbole de sommation en développant les sommes et en utilisant les manipulations algébriques habituelles.

9 Exercice Démontrer que : SSS Développons la somme : = i = 1 n xixi = (x1 (x1 + y 1 ) + (x2 (x2 + y2) y2) + … + (xn (xn + yn)yn) = (x1 (x1 + x2 x2 + … + x n ) + (y1 (y1 + y2 y2 + … + yn)yn),en utilisant la notation sigma. i = 1 n (x i + y i ) = i = 1 n xixi + i = 1 n yiyi i = 1 n (x i + y i ) + i = 1 n yiyi

10 Somme des puissances des premiers entiers Il est intéressant de pouvoir écrire une somme sous une forme compacte, mais il est encore plus intéressant de pouvoir leffectuer sans avoir à la développer. SSS Dans la suite du cours, nous aurons à utiliser certaines sommes dans des situations diverses. Ce sont : la somme des n premiers entiers; la somme des carrés des n premiers entiers; la somme des cubes des n premiers entiers. Nous allons maintenant déterminer les expressions donnant ces sommes. Létudiant devra, en plus de pouvoir effectuer ces démonstrations, devra en garder le résultat en mémoire.

11 Théorème Somme des n premiers entiers positifs La somme des n premiers entiers positifs est donnée par : i = 1 n i Somme des n premiers entiers SSS = … + (n (n – 2) + (n (n – 1) + n = n (n + 1) 2 i = r n i = n + (n (n – 1) + (n (n – 2) i = r n i i = r n i 2 = (n (n + 1) + (n (n +1) (n (n +1) + (n (n = n (n + 1) 2 = n(n n(n +1) i = r n i Doù lon tire : S

12 Théorème Somme des carrés des n premiers entiers positifs La somme des n premiers entiers positifs est donnée par : i = 1 n i2i2 Somme des carrés des n premiers entiers S = n (n + 1)(2n + 1) 6 La démonstration de cette formule utilise le fait que : (i (i + 1) 3 = i 3 + 3i 2 + 3i 3i + 1 Doù lon tire : 3i 2 + 3i 3i + 1 = (i (i + 1) 3 – i3i3 Nous allons considérer la somme pour i variant de 1 jusquà n des deux membres de cette égalité pour pouvoir isoler la somme des carrés. La somme des deux membres donne : i = 1 n (3i 2 + 3i + 1) = i = 1 n (i + 1) 3 – i 3

13 Somme des carrés des n premiers entiers SS En appliquant les propriétés au membre de gauche, on obtient : i = 1 n (3i 2 + 3i + 1) = i = 1 n (i + 1) 3 – i 3 i = 1 n (3i 2 + 3i + 1) = i = 1 n (i + 1) 3 – i 3 i = 1 n 3 i i + 1 i = 1 n i = 1 n i = 1 n = 3 i i + n i = 1 n En développant le membre de droite, on obtient : = [2 3 – 1 3 ] + [3 3 – 2 3 ] + [4 3 – 3 3 ] + … + [(n + 1) 3 – n3]n3] = – – – … + (n (n + 1) 3 – n3n3 = – (n (n + 1) 3 i = 1 n 3 i i + n i = 1 n = – (n (n + 1) 3 On obtient donc légalité suivante :

14 Somme des carrés des n premiers entiers SS Doù : i = 1 n 3 i i + n i = 1 n = – (n + 1) 3 On complète la preuve en effectuant les manipulations algébriques élémentaires et on obtient : i = 1 n 3 i 2 i = 1 n = – (n + 1) 3 – 3 i – n = – (n + 1) 3 – 3 – n n (n + 1) 2 i = 1 n i 2 = n (n + 1)(2n + 1) 6 Létudiant est prié deffectuer les manipulations algébriques permettant de compléter la preuve.

15 Théorème Somme des cubes des n premiers entiers positifs La somme des cubes des n premiers entiers positifs est donnée par : i = 1 n i 3 Somme des cubes des n premiers entiers S La démonstration peut être faite de façon analogue à celle de la somme des carrés. On utilise le fait que : = n (n + 1) 2 2 (i (i + 1) 4 = i 4 + 4i 3 + 6i 2 + 4i 4i + 1 La démonstration est laissée en exercice.

16 Évaluer la somme suivante : k = 1 24 k (k + 2) Exercice S k = 1 24 k (k + 2) k = 1 24 (k 2 + 2k)= k = 1 24 k k= k = 1 24 = = 5400, par distributivité;, propriété de la sommation;,par la somme des premiers entiers et des carrés; S S = 24 (25) (49) (25) 2

17 Conclusion En utilisant la notation sigma, on peut représenter les sommes sous diverses formes. i = 1 n i 2 n (n + 1)(2n + 1) 6 Pour les distinguer, nous allons utiliser les appellations suivantes : … + n2n2, forme compacte ou avec la notation sigma;, forme ouverte;, forme fermée.


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